高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修.docx
- 文档编号:30470995
- 上传时间:2023-08-15
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:163.66KB
高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修.docx
《高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高三数学33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修
2019-2020年高三数学3.3函数的和、差、积、商的导数(第一课时)大纲人教版选修
课时安排
2课时
从容说课
本节主要是讨论函数的和、差、积、商的导数的运算法则,利用导数定义证明了四个运算法则,明确三个法则使用的前提条件:
函数f(x)、g(x)在x=x0处都可导时,它们的和、差、积、商才可导,而当求商的导数时要注意g(x)≠0(即分母不等于0).从如下三个方面讲解:
(1)运用定义推导和、差的导数运算法则.教法上,让学生自己推导,也可以到黑板上板演.
(2)让学生概括公式,并用文字语言进行叙述,培养学生的概括能力是十分重要的,这也是高考中常考的方法和题型.
(3)让学生推导函数的积、商的导数.这一点课本上没有给出证明.让学生自主建构,研究交流,合作创新.特别是求商的导数时学生的争论是最激烈的.[g(x)≠0],
=
=
∴
.再利用定义即可.
此处的恒等式变形是关键,要让学生自主探索建构.这样学生不仅是学会了导数的四则运算法则,而更重要的是学会了解决问题的方法,要培养学生的创造探索精神.因为课本中已经给出了三个法则的证明,学生自然要想到第四个如何证明.这种好奇心还是创造性能力的雏形.在教学中要注意“做中学”的思想,让学生由被动接受型→主动建构型→主动进攻型.
第六课时
课 题
§3.3.1 函数的和、差、积、商的导数
(一)
教学目标
一、教学知识点
1.和(或差)的导数法则.
2.积的导数法则.
二、能力训练要求
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数.
2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数.
三、德育渗透目标
1.培养学生的推理论证能力.
2.培养学生的运算能力.
3.培养学生的直观猜想的能力.
4.培养学生由特殊到一般进行归纳总结的能力.
教学重点
和(或差)的导数法则、积的导数的法则.
教学难点
和(或差)的导数法则,积的导数法则的引入,以及它们的证明过程,仍然用定义来证明.
教学方法
建构主义式中的启发式.
(让学生通过具体的实例,自己发现规律,进行归纳和猜想,主动地得到结论)
教具准备
实物投影仪
教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]我们大家先拿出笔和纸来求几个导数,可以用上节课学过的四个公式求,也可以用导数的定义求.
[板书]
求下列函数的导数.
(1)x2;
(2)x3;(3)x2+x3;(4)5;(5)x3+5;(6)sinx;(7)x2-sinx;(8)sinx-5.
(或者写在纸上用实物投影仪放出来)
(给5分钟左右,拿几个学生写的答案由实物投影仪放出来)
解:
(1)(x2)′=2x.
(2)(x3)′=3x3-1=3x2.
(3)(x2+x3)′
=
=
=
=2x+3x2
(4)5′=0.
(5)(x3+5)′=
=
=
.
(6)(sinx)′=Cosx.
※(7)(x2-sinx)′
=
=
=
=2x+0-Cosx·1
=2x-Cosx.
※(8)(sinx-5)′
=
=
=
=
=Cosx·1=Cosx.
Ⅱ.讲授新课
[师]我们学极限的时候,学习了极限的四则运算法则,知道了函数的和、差、积、商的极限,等于函数的极限的和、差、积、商,那观察一下上面八道题目,我们可以发现什么?
[生](x2+x3)′=(x2)′+(x3)′.
[生](x3+5)′=(x3)′+5′.
[生](x2-sinx)′=(x2)′-(sinx)′.
[生](sinx-5)′=(sinx)′-5′.
[师]那么对于一般的两个函数u、v,它们的和与差的导数与它们的导数的和与差有什么关系?
能否根据刚才得到的几个等式进行猜想呢?
[生](u+v)′=u′+v′,(u-v)′=u′-v′.
[师]这只是我们的猜想,要验证它是否正确,必须经过证明,这就是数学所要求的严谨性.下面我们用导数的定义来证明一下,和或差的导数等于导数的和或差.
[板书](u±v)′=u′±v′(可让学生证明).
证明:
y=f(x)=u(x)±v(x),
Δy=u(x+Δx)±v(x+Δx)-[u(x)±v(x)]
=u(x+Δx)-u(x)±[v(x+Δx)-v(x)]
=Δu±Δv.
∴.
∴
=u′(x)±v′(x),
即y′=(u±v)′=u′±v′.
1.和(或差)的导数
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即(u±v)′=u′±v′.
[师]猜想一下两个函数的积的导数与两个函数的导数有什么关系?
[生](uv)′=u′v′.
[师]我们猜想出来的结论,有时是正确的,有时却是错误的.经过证明正确,才能说明确实是正确的,下面看一个例子.
[板书]例如u=x2,v=x3.
u′=(x2)′=2x,v′=(x3)′=3x2,
u′·v′=2x·3x2=6x3,
(u·v)′=(x2·x3)′=(x5)′=5x4,
∴(u·v)′≠u′v′.
[师]所以两个函数的积的导数不一定等于两个函数的导数的积.
[板书]2.积的导数
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即(uv)′=u′v+uv′.
证明:
y=f(x)=u(x)v(x),
Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)
=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)
=[u(x+Δx)-u(x)]v(x+Δx)+u(x)·[v(x+Δx)-v(x)].
∴
.
∵v(x)在点x处可导,
∴v(x)在点x处连续.
∴当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).
∴
=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
∴y′=(uv)′=u′v+uv′.
[师]我们由极限的性质可以知道,常数C可以直接提出来,
∴(Cu)′=Cu′.我们也可以从法则2得出结论.
[板书](Cu)′=C′u+Cu′=0·u+Cu′=Cu′.
3.常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即(Cu)′=Cu′.
[师]这说明,在求导时,可以把函数的常数因子直接提出来.
下面我们用和、差、积的导数法则来计算几个函数的导数.
4.课本例题
[例1]求y=x3+sinx的导数.
解:
y′=(x3+sinx)′=(x3)′+(sinx)′=3x2+Cosx.
[例2]求y=x4-x2-x+3的导数.
解:
y′=(x4-x2-x+3)′
=(x4)′-(x2)′-x′+3′
=4x3-2x-1,即y′=4x3-2x-1.
[例3]求y=2x3-3x2+5x-4的导数.
解:
y′=(2x3-3x2+5x-4)′
=(2x3)′-(3x2)′+(5x)′-4′
=2·3x2-3·2x+5
=6x2-6x+5,
即y′=6x2-6x+5.
[例4]求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.
解:
y′=[(2x2+3)(3x-2)]′
=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=[(2x2)′+3′](3x-2)+(2x2+3)·[(3x)′-2′]
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3
=18x2-8x+9,
即y′=18x2-8x+9.
5.精选例题
[例1]求函数y=(2x+3)(1-x)(x+2)的导数.
[师生共评]这是求三个函数相乘的导数的题,先要把两个看作一个,根据法则2,进行求导,要连续用两次法则2.
解:
(uvt)′=(uv)′t+uvt′=(u′v+uv′)t+uvt′=u′vt+uv′t+uvt′.
∴y′=[(2x+3)(1-x)(x+2)]′
=(2x+3)′(1-x)(x+2)+(2x+3)(1-x)′(x+2)+(2x+3)(1-x)(x+2)′
=2(1-x)(x+2)+(2x+3)(-1)(x+2)+(2x+3)(1-x)
=-6x2-10x+1.
[师生共评]求三个函数乘积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个、第三个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数乘第三个函数,再加上第一个函数乘第二个函数乘第三个函数的导数.
[师]那么求四个函数乘积的导数,五个……甚至是n个函数乘积的导数呢?
猜想一下应该是什么形式呢?
[生](f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1f2…fn-1′fn+f1f2…fn-1fn′.(板书)
[师]三个函数乘积的导数,我们求的时候是连续用了两次法则2,那现在有n个函数,是否要用n-1次法则2呢?
像这一类与n有关的命题,我们要证明它,可以用什么方法?
[生]可以用数学归纳法.
[学生板演]证明:
用数学归纳法.
1°当n=1时,f1′=f1′,
当n=2时,(f1f2)′=f1′f2+f1f2′,等式成立.
2°假设当n=k时,等式成立,即
(f1f2…fk)′=f1′f2…fk+f1f2′f3…fk+…+f1…fk-2fk-1′fk+f1…fk-1fk′,
当n=k+1时,
(f1f2…fkfk+1)′
=(f1f2…fk)′fk+1+f1f2…fkfk+1′
=(f1′f2…fk+f1f2′f3…fk+…+f1…fk-2fk-1′fk+f1…fk-1fk′)fk+1+f1f2…fkfk+1′
=f1′f2…fkfk+1+f1f2′f3…fkfk+1+…+f1…fk-2fk-1′fkfk+1+f1…fk-1fk′fk+1+f1f2…fkfk+1′,等式也成立.
∴由1°、2°知,对任意的n∈N*等式都成立,即
(f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2fn-1′fn+f1…fn-1fn′.
对于加法呢?
求(f1+f2+…+fn)′.
[生]解法一:
(f1+f2+…+fn)′=f1′+(f2+…+fn)′
=f1′+f2′+(f3+…+fn)′=…=f1′+f2′+…+fn′.
[师评]这样虽然可以明显地看出来,但如果是一个证明题,则如方法一的证明过程,理由不充分,我们仍然可以用数学归纳法证明.
解法二:
猜想(f1+f2+…+fn)′=f1′+f2′+…+fn′.
证明:
用数学归纳法.
1°当n=1时,f1′=f1′,
当n=2时,(f1+f2)′=f1′+f2′,等式成立.
2°假设当n=k时,等式成立,即(f1+f2+…+fk)′=f1′+f2′+…+fk′,
当n=k+1时,(f1+f2+…+fk+fk+1)′=(f1+f2+…+fk)′+fk+1′
=f1′+f2′+…+fk′+fk+1′,等式也成立.
∴由1°、2°知,对任意的n∈N*,等式都成立,即
(f1+f2+…+fn)′=f1′+f2′+…fn′.
[师]等式中如果把“+”换成“-”号,或者全部换,或者部分换,等式都成立.
[例2][xx年苏州市高考模拟题(2月考)]
已知fn(x)=(+x)(+x)(+x)·…·(+x),则fn′(0)=__________.
[师生共析]利用上面结论先求f′n(x),再将x=0代入求得.
[学生板演]解:
∵(+x)′=0+1=1,
k=1,2,3,…,n,
∴f′n(x)=1·(+x)·(+x)·…·(+x)+(+x)·1·(+x)·…·(+x)+…+(+x)·(+x)·…·(+x)·1.
令x=0,得f′n(0)=··…·+··…·+…+··…·
=
Ⅲ.课堂练习
1.求下列函数的导数.
(1)2x3+3x2-5x+4.
解:
(2x3+3x2-5x+4)′
=(2x3)′+(3x2)′-(5x)′+4′
=2·3x2+3·2x-5
=6x2+6x-5.
(2)y=sinx-x+1.
解:
y′=(sinx-x+1)′
=(sinx)′-x′+1′=Cosx-1.
(3)y=(3x2+1)(2-x).
解:
y′=[(3x2+1)(2-x)]′
=(3x2+1)′(2-x)+(3x2+1)(2-x)′
=3·2x(2-x)+(3x2+1)(-1)
=-9x2+12x-1.
(4)y=(1+x2)Cosx.
解:
y′=[(1+x2)Cosx]′
=(1+x2)′Cosx+(1+x2)(Cosx)′
=2xCosx+(1+x2)(-sinx)
=2xCosx-(1+x2)sinx.
2.(xx年湖北省宜昌市模拟题)过点(2,1)作曲线f(x)=x2-2x+2的切线,则切线方程为________.
解:
∵f′(x)=2x-2,点P(2,1)不在曲线上,
设切点为T(t,t2-2t+2),
∴过T的切线的斜率为k=f′(t)=2t-2.
∴切线方程为y-t2+2t-2=(2t-2)(x-t).
又∵切线过点P(2,1),
∴1-t2+2t-2=(2t-2)(2-t),
化简为(t-1)(3-t)=0.
∴t1=1,t2=3.
当t1=1时,切线方程为y=1;
当t=3时,T(3,5),切线方程为y-5=4(x-3),
即4x-y-7=0.
故过点P(2,1)的切线方程为y=1,4x-y-7=0.
故应填y=1,4x-y-7=0.
3.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
思路分析:
(1)求曲线在某点处切线的步骤:
先求曲线在这点处的导数,这点对应的导数值即为过此点切线的斜率,再用点斜式写出直线方程.
(2)求面积用即可完成.
解:
(1)∵y=x2+x-2,
∴导数y′=2x+1.
又∵点A(1,0)在曲线上,
∴y′|x=1=2×1+1=3,
即过点(1,0)的切线l1的斜率为k1=3.
由点斜式可得l1:
y-0=3(x-1),
即直线l1的方程为y=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(t,t2+t-2),
∴l2的斜率为k2=y′|x=t=2t+1.
∴l2的方程为y-(t2+t-2)=(2t+1)(x-t),
即y=(2t+1)x-t2-2.
又∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即3·(2t+1)=-1.∴.
∴直线l2的方程为
即l2的方程为,也就是3x+9y+22=0.
(2)将l1、l2的方程联立,
得
将①代入②得3x+9(3x-3)+22=0,
即30x-5=0,∴,故.
∴直线l1与l2的交点坐标为C(,).
又∵l1、l2与x轴的交点坐标分别为M(1,0)、N(,0),
∴|MN|=|-1|=,顶点C到MN的距离(三角形的高)h=||=,
所以△CMN的面积为|MN|·h=××=.
答:
由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积为.
解题回顾:
(1)这是一道集导数与直线等知识点于一题的一道小型综合题,难度系数不大,属于中档偏下题.主要考查了导数的几何意义,两条直线的位置关系,特别是垂直的性质等知识,考查了学生的分析问题、解决问题的能力,以及学生的综合运算能力.
(2)本题也可以不用导数知识求解,利用直线与抛物线的位置关系来解,用待定系数法求出切线的斜率.设切线的方程为y=k1(x-1),代入曲线y=x2+x-2,得x2+(1-k1)x+k1-2=0,∵相切,故Δ1=0,∴有(1-k1)2-4(k1-2)=0,k12-6k1+9=0.∴(k1-3)2=0,故k1=3,切线l1的方程为y=3(x-1),又l1⊥l2,所以,设切线l2的方程为,代入y=x2+x-2,得x2+x-2-b=0,由相切条件可知Δ2=0,∴-4(-2-b)=0.∴.∴l2的方程为.下面同原解法.从这种解法来看,运算量也不算太大,但不如用导数知识求解一目了然.由此可知,利用导数的几何意义求曲线的切线是十分明快的.
Ⅳ.课时小结
这节课主要学习了和(或差)的导数和积的导数,即(u±v)′=u′±v′和(uv)′=u′v+uv′.把这三个公式推广成n个函数的公式为(f1+f2+…+fn)′=f1′+f2′+…+fn′和(f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2fn-1′fn+f1…fn-1fn′.利用这些公式,以及上节课学习的四个公式,可以方便地求解一些函数的导数.
Ⅴ.课后作业
P120~121习题3.3 1
(1)
(2),2
(1)
(2).
(二)1.预习内容:
课本P119~120商的导数.
2.预习提纲:
(1)商的导数法则的文字语言、符号语言的表示.
(2)预习例5、例6,利用法则3会求分式的导数.
板书设计
§3.3.1 函数的和、差、积、商的导数
(一)
1.和(或差)的导数
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即(u±v)′=u′±v′.
2.积的导数
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即(uv)′=u′v+uv′.
3.常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即(Cu)′=Cu′.
(u±v)′=u′±v′的证明过程.
(uv)′=u′v+uv′的证明过程.
课本例题
例1.求y=x3+sinx的导数.
例2.求y=x4-x2-x+3的导数.
例3.求y=2x3-3x2+5x-4的导数.
例4.求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.
精选例题
例1.求y=(2x+3)(1-x)(x+2)的导数.
(f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1f2…fn-1fn′.
变题:
(f1+f2+…+fn)′=f1′+f2′+…+fn′.
例2.
课堂练习
1.求下列函数的导数.
(1)2x3+3x2-5x+4;
(2)y=sinx-x+1;
(3)y=(3x2+1)(2-x);
(4)y=(1+x2)Cosx.
2.xx年湖北省宜昌市模拟题
3.
课后作业
2019-2020年高三数学3.3函数的和、差、积、商的导数(第二课时)大纲人教版选修
教学目标
一、教学知识点
商的导数法则.
二、能力训练要求
1.理解商的导数法则,并能运用.
2.能够综合运用各种法则求函导数.
三、德育渗透目标
1.提高学生的运算速度,培养学生的运算能力.
2.培养学生思维的严密性、科学性.
教学重点
商的导数法则.
教学难点
商的导数法则的理解与记忆,以及它的证明过程,证明过程要讲究严密性,在用极限的四则运算法则时,要使每个函数都有极限.
教学方法
讲授法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]我们先来看一下下面几个函数的导数.
[板书](x5)′=5x4,(x3)′=3x2.
∴.
而()′=(x2)′=2x,
∴(′≠.
[师]所以,商的导数不等于导数的商,那么商的导数有什么法则呢?
可以直接根据法则进行求导,而不需要用定义来求.上节课我们学习了和(或差)的导数法则,以及积的导数法则,这节课再来学习商的导数法则.
Ⅱ.讲授新课
[师]先复习一下和、差、积的导数法则,以及n个函数的和、积的导数.(学生回答,老师板书)
1.和(或差)的导数
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即(u±v)′=u′±v′.
2.积的导数
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,
即(uv)′=u′v+uv′.
特例(Cu)′=Cu′.
3.(f1+f2+…+fn)′=f1′+f2′+…+fn′.
4.(f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2fn-1′fn+f1…fn-1fn′.
5.商的导数
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,
即(v≠0).
证明:
=
=
=
.
∵v(x)在点x处可导,所以v(x)在点x处连续,
∴当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).
∴
即.
[师]用商的导数法则时,要注意分母v不能等于0.到现在我们已经学习了和、差、积、商的导数法则,并会用几种常见函数的导数公式,在求一些函数的导数时,就可以很方便地运用这些公式、法则去求,而不必从导数的定义出发了.
6.课本例题
[例5]求的导数.
[分析]该题可以直接利用商的导数法则.
解:
[例6]求在点x=3处的导数.
[分析]该题既要用到商的导数法则,还要用到和的导数法则.
解:
=
=
.
∴y′|x=3=
.
7.精选例题
[例1]求·Cosx的导数.
[师生共析]这道题可以看作两个函数的乘积,也可以看作两个函数的商,所以不同的看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求.
解法一:
y′=(·Cosx)′
=()′Cosx+(Cosx)′
=()′Cosx-sinx
=
=
=.
解法二:
y′=(·Cosx)′=()′
=
=
=
=
.
[例2]求y=Cotx的导数.
解:
y′=(Cotx)′=()′
=
=
=
[例3](xx年南通市高考模拟题第16题)设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-xx),则f′(xx)=_________.
[师生共析]共有xx个一次因式相乘,若直接用积的求导法则运算量太大,要去括号又困难重重.考虑到它只求x=1处的导数,不妨把这xx个因式划分成两部分求导.
[学生板演]f′(x)={(x-1)[(x-2)(x-3)…(x-xx)]}′
=(x-1)′[(x-2)…(x-xx)]+(x-1)[(x-2)…(x-xx)]′
=(x-2)(x-3)…(x-xx)+(x-1)[(x-2)…(x-xx)]′
=…
=(x-2)(x-3)(x-xx)+(x-1)(x-3)…(x-xx)+…+(x-1)(x-2)…(x-xx).
令x=xx,得f′(xx)
=(xx-2)(xx-3)…(xx)+(xx-1)(xx-2)…(xx)+…+(xx-1)(xx-2)…(xx)
=0+0+…+0+xx×xx×…×1=xx!
.
[生]也可以这样解:
把(x-1)(x-2)…(x-xx)写成[(x-1)(x-2)…(x-xx)]与(x-xx)的积.
∴f′(x)=[(x-1)(x-2)…(x-xx)]′(x-xx)+(x-1)(x-2)…(x-xx)·(x-xx)′
=[(x-1)(x-2)…(x-xx)]′(x-xx)+(x-1)(x-2)…(x-xx).
∴f′(xx)=0+(xx-1)(xx-2)…(xx)
=xx×xx×
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高三数学 33函数的和差积商的导数第一课时大纲人教版选修 数学 33 函数 差积商 导数 第一 课时 大纲 人教版 选修