全国各地压轴题13.docx
- 文档编号:30464591
- 上传时间:2023-08-15
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:252.90KB
全国各地压轴题13.docx
《全国各地压轴题13.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国各地压轴题13.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全国各地压轴题13
2013全国各地压轴题
1.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=
(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).
(1)直接写出B、C、D三点的坐标;
(2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
2.)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,x1,x2是方程x2+4x﹣5=0的两根.
(1)若抛物线的顶点为D,求S△ABC:
S△ACD的值;
(2)若∠ADC=90°,求二次函数的解析式.
3.某地区为了进一步缓解交通拥堵问题,决定修建一条长为6千米的公路.如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数x(天)之间在30≤x≤120,具有一次函数的关系,如下表所示.
X
50
60
90
120
y
40
38
32
26
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)后来在修建的过程中计划发生改变,政府决定多修2千米,因此在没有增减建设力量的情况下,修完这条路比计划晚了15天,求原计划每天的修建费.
4.先化简,再求值:
÷
+1,在0,1,2三个数中选一个合适的,代入求值.
5.已知抛物线yn=﹣(x﹣an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An﹣1(bn﹣1,0)和An(bn,0),当n=1时,第1条抛物线y1=﹣(x﹣a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推.
(1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式;
(2)抛物线y3的顶点坐标为( _________ , _________ );依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为( _________ , _________ );所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 _________ ;
(3)探究下列结论:
①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长,直接写出A0A1的值,并求出An﹣1An;
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?
若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
6.生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉,造成极大的浪费,为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查,为期半天的会议中,每人发一瓶500ml的矿泉水,会后对所发矿泉水喝的情况进行统计,大致可分为四种:
A、全部喝完;B、喝剩约
;C、喝剩约一半;D开瓶但基本未喝.同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)参加这次会议的有多少人?
在图
(2)中D所在扇形的圆心角是多少度?
并补全条形统计图;
(2)若开瓶但基本未喝算全部浪费,试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升?
(计算结果请保留整数)
(3)据不完全统计,该单位每年约有此类会议60次,每次会议人数约在40至60人之间,请用
(2)中计算的结果,估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水(500ml/瓶)约有多少瓶?
(可使用科学记算器)
7.如图AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;
(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.
8.如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
9.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是 _________ (填序号即可)
①AF=AG=
AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.
(2)数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?
请给出证明过程;
(3)类比探究:
(i)在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.答:
_________ .
(ii)在三边互不相等的△ABC中(见备用图),仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中点,连接MD和ME,要使
(2)中的结论此时仍然成立,你认为需增加一个什么样的条件?
(限用题中字母表示)并说明理由.
10.如图,二次函数y=x2+bx﹣3b+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b﹣2,2b2﹣5b﹣1).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)⊙M过A,B,C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标;
(3)连接AM,DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA,MD与x轴,y轴分别交于点E,F.若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标.
地压轴题参考答案与试题解析
1.(2013•南昌)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=
(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).
(1)直接写出B、C、D三点的坐标;
(2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).
∴AB=CD=2,AD=BC=4,
∴B(2,4),C(6,4),D(6,6);
(2)A、C落在反比例函数的图象上,
设矩形平移后A的坐标是(2,6﹣x),C的坐标是(6,4﹣x),
∵A、C落在反比例函数的图象上,
∴k=2(6﹣x)=6(4﹣x),x=3,
即矩形平移后A的坐标是(2,3),
代入反比例函数的解析式得:
k=2×3=6,
即A、C落在反比例函数的图象上,矩形的平移距离是3,反比例函数的解析式是y=
.
2.(2013•内江)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,x1,x2是方程x2+4x﹣5=0的两根.
(1)若抛物线的顶点为D,求S△ABC:
S△ACD的值;
(2)若∠ADC=90°,求二次函数的解析式.
解:
(1)解方程x2+4x﹣5=0,得x=﹣5或x=1,
由于x1<x2,则有x1=﹣5,x2=1,∴A(﹣5,0),B(1,0).
抛物线的解析式为:
y=a(x+5)(x﹣1)(a>0),
∴对称轴为直线x=﹣2,顶点D的坐标为(﹣2,﹣9a),
令x=0,得y=﹣5a,∴C点的坐标为(0,﹣5a).
依题意画出图形,如右图所示,则OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a,
过点D作DE⊥y轴于点E,则DE=2,OE=9a,CE=OE﹣OC=4a.
S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC
=
(DE+OA)•OE﹣
DE•CE﹣
OA•OC=
(2+5)•9a﹣
×2×4a﹣
×5×5a=15a,
而S△ABC=
AB•OC=
×6×5a=15a,∴S△ABC:
S△ACD=15a:
15a=1;
(2)如解答图所示,
在Rt△DCE中,由勾股定理得:
CD2=DE2+CE2=4+16a2,
在Rt△AOC中,由勾股定理得:
AC2=OA2+OC2=25+25a2,
设对称轴x=2与x轴交于点F,则AF=3,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:
AD2=AF2+DF2=9+81a2.
∵∠ADC=90°,∴△ACD为直角三角形,由勾股定理得:
AD2+CD2=AC2,
即(9+81a2)+(4+16a2)=25+25a2,化简得:
a2=
,∵a>0,∴a=
,
∴抛物线的解析式为:
y=
(x+5)(x﹣1)=
x2+
x﹣
.
3.(2013•内江)某地区为了进一步缓解交通拥堵问题,决定修建一条长为6千米的公路.如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数x(天)之间在30≤x≤120,具有一次函数的关系,如下表所示.
X
50
60
90
120
y
40
38
32
26
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)后来在修建的过程中计划发生改变,政府决定多修2千米,因此在没有增减建设力量的情况下,修完这条路比计划晚了15天,求原计划每天的修建费.
解:
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由题意,得
,解得:
,∴y与x之间的函数关系式为:
y=﹣
x+50(30≤x≤120);
(2)设原计划要m天完成,则增加2km后用了(m+15)天,由题意,得
,解得:
m=45∴原计划每天的修建费为:
﹣
×45+50=41(万元).
4.(2013•南昌)先化简,再求值:
÷
+1,在0,1,2三个数中选一个合适的,代入求值.
解:
÷
+1=
÷
+1
=
×
+1=
+1=
,
当x=0或2时,分式无意义,故x只能等于1,原式=
.
5.(2013•南昌)已知抛物线yn=﹣(x﹣an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An﹣1(bn﹣1,0)和An(bn,0),当n=1时,第1条抛物线y1=﹣(x﹣a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推.
(1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式;
(2)抛物线y3的顶点坐标为( 9 , 9 );依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为( n2 , n2 );所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 y=x ;
(3)探究下列结论:
①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长,直接写出A0A1的值,并求出An﹣1An;
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?
若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵当n=1时,第1条抛物线y1=﹣(x﹣a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0),
∴0=﹣(0﹣a1)2+a1,解得a1=1或a1=0.由已知a1>0,∴a1=1,
∴y1=﹣(x﹣1)2+1.令y1=0,即﹣(x﹣1)2+1=0,解得x=0或x=2,
∴A1(2,0),b1=2.
由题意,当n=2时,第2条抛物线y2=﹣(x﹣a2)2+a2经过点A1(2,0),
∴0=﹣(2﹣a2)2+a2,解得a2=1或a2=4,
∵a1=1,且已知a2>a1,∴a2=4,∴y2=﹣(x﹣4)2+4.
∴a1=1,b1=2,y2=﹣(x﹣4)2+4.
(2)抛物线y2=﹣(x﹣4)2+4,令y2=0,即﹣(x﹣4)2+4=0,解得x=2或x=6.
∵A1(2,0),∴A2(6,0).
由题意,当n=3时,第3条抛物线y3=﹣(x﹣a3)2+a3经过点A2(6,0),
∴0=﹣(6﹣a3)2+a3,解得a3=4或a3=9.∵a2=4,且已知a3>a2,
∴a3=9,∴y3=﹣(x﹣9)2+9.∴y3的顶点坐标为(9,9).
由y1的顶点坐标(1,1),y2的顶点坐标(4,4),y3的顶点坐标(9,9),
依此类推,yn的顶点坐标为(n2,n2).
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标,
∴顶点坐标满足的函数关系式是:
y=x.
(3)①∵A0(0,0),A1(2,0),∴A0A1=2.
yn=﹣(x﹣n2)2+n2,令yn=0,即﹣(x﹣n2)2+n2=0,
解得x=n2+n或x=n2﹣n,
∴An﹣1(n2﹣n,0),An(n2+n,0),即An﹣1An=(n2+n)﹣(n2﹣n)=2n.
②存在.
设过点(2,0)的直线解析式为y=kx+b,则有:
0=2k+b,得b=﹣2k,∴y=kx﹣2k.
设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣(x﹣n2)2+n2交于E(x1,y1),F(x2,y2)两点,
联立两式得:
kx﹣2k=﹣(x﹣n2)2+n2,整理得:
x2+(k﹣2n2)x+n4﹣n2﹣2k=0,
∴x1+x2=2n2﹣k,x1•x2=n4﹣n2﹣2k.
过点F作FG⊥x轴,过点E作EG⊥FG于点G,则EG=x2﹣x1,
FG=y2﹣y1=[﹣(x2﹣n2)2+n2]﹣[﹣(x1﹣n2)2+n2]=(x1+x2﹣2n2)(x1﹣x2)=k(x2﹣x1).
在Rt△EFG中,由勾股定理得:
EF2=EG2+FG2,
即:
EF2=(x2﹣x1)2+[k(x2﹣x1)]2=(k2+1)(x2﹣x1)2=(k2+1)[(x1+x2)2﹣4x1•x2],
将x1+x2=2n2﹣k,x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入,整理得:
EF2=(k2+1)[4n2•(1﹣k)+k2+8k],
当k=1时,EF2=(1+1)(1+8)=18,
∴EF=2
为定值,∴k=1满足条件,此时直线解析式为y=x﹣2.
∴存在满足条件的直线,该直线的解析式为y=x﹣2.
6.(2013•南昌)生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉,造成极大的浪费,为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查,为期半天的会议中,每人发一瓶500ml的矿泉水,会后对所发矿泉水喝的情况进行统计,大致可分为四种:
A、全部喝完;B、喝剩约
;C、喝剩约一半;D开瓶但基本未喝.同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)参加这次会议的有多少人?
在图
(2)中D所在扇形的圆心角是多少度?
并补全条形统计图;
(2)若开瓶但基本未喝算全部浪费,试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升?
(计算结果请保留整数)
(3)据不完全统计,该单位每年约有此类会议60次,每次会议人数约在40至60人之间,请用
(2)中计算的结果,估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水(500ml/瓶)约有多少瓶?
(可使用科学记算器)
解:
(1)参加这次会议的人数:
25÷50%=50,D所在扇形的圆心角:
360°×
×100%=36°,
C的人数:
50﹣25﹣10﹣5=10,如图所示:
(2)(500×
×25+500×
×10+500×5)÷50≈183(毫升);
(3)183×60×
÷500≈1098(瓶),
7.(2013•南昌)如图AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;
(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.
8.(2013•南宁)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
解:
(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD=CD,∠B=∠D,
∵点E、F分别是边BC、AD的中点,∴BE=DF,
在△ABE和△CDF中,
∵
,∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,
∵点E是边BC的中点,∴AE⊥BC,
在Rt△AEB中,∠B=60°,AB=4,sin60°=
=
,解得AE=2
.
9.(2013•南昌)某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是 ①②③④ (填序号即可)
①AF=AG=
AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.
(2)数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?
请给出证明过程;
(3)类比探究:
(i)在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.答:
等腰直角三角形 .
(ii)在三边互不相等的△ABC中(见备用图),仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中点,连接MD和ME,要使
(2)中的结论此时仍然成立,你认为需增加一个什么样的条件?
(限用题中字母表示)并说明理由.
解:
(1)∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°,∠ADB=∠AEC=90°
∵在△ADB和△AEC中,
,∴△ADB≌△AEC(AAS),∴BD=CE,AD=AE,
∵DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,∴AF=BF=DF=
AB,AG=GC=GE=
AC.
∵AB=AC,∴AF=AG=
AB,故①正确;
∵M是BC的中点,∴BM=CM.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE,即∠DBM=∠ECM.
在△DBM和△ECM中
∴△DBM≌△ECM(SAS),∴MD=ME.故②正确;
连接AM,根据前面的证明可以得出将图形1,沿AM对折左右两部分能完全重合,
∴整个图形是轴对称图形,故③正确.
∵AB=AC,BM=CM,∴AM⊥BC,∴∠AMB=∠AMC=90°,
∵∠ADB=90°,∴四边形ADBM四点共圆,∴∠AMD=∠ABD=45°.
∵AM是对称轴,∴∠AME=∠AMD=45°,∴∠DME=90°,∴MD⊥ME,故④正确,
(2)MD=ME,
理由:
作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,∴AF=
AB,AG=
AC.
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形,∴DF⊥AB,DF=
AB,EG⊥AC,EG=
AC,
∴∠AFD=∠AGE=90°,DF=AF,GE=AG.
∵M是BC的中点,∴MF∥AC,MG∥AB,∴四边形AFMG是平行四边形,
∴AG=MF,MG=AF,∠AFM=∠AGM.
∴MF=GE,DF=MG,∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE,∴∠DFM=∠MGE.
∵在△DFM和△MGE中,
,∴△DFM≌△MGE(SAS),∴DM=ME;
(3)∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点,
∴MF∥AC,MF=
AC,MG∥AB,MG=
AB,
∴四边形MFAG是平行四边形,∴MG=AF,MF=AG.∠AFM=∠AGM.
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,∴DF=AF,GE=AG,∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG,DF=MG,∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE,即∠DFM=∠MGE.
∵在△DFM和△MGE中
,∴△DFM≌△MGE(SAS),∴MD=ME,∠MDF=∠EMG.
∵MG∥AB,∴∠MHD=∠BFD=90°,∴∠HMD+∠MDF=90°,∴∠HMD+∠EMG=90°,
即∠DME=90°,∴△DME为等腰直角三角形;
ii如图4,△ADB和△AEC是直角三角形,∠ADB=∠AEC=90°,当∠BAD=∠CAE时,DM=EM.
理由:
作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,
∴MF=
AC,MF∥AC,MG=
AB,MG∥AB,
∴四边形AFMG是平行四边形,∴MF=AG,MG=AF,∠AFM=∠AGM.
∵∠ADB=∠AEC=90°,∴DF=AF,EG=AG,
∴DF=MG,MF=EG,∠FDA=∠DAF,∠AGE=∠GAE.
∵∠BAD=∠CAE,∴∠FDA=∠DAF=∠AEG=∠GAE,
∴∠AFD=∠AGE,∴∠AFD﹣∠AFM=∠AGE﹣∠AGM,即∠DFM=∠MGE.
∵在△DFM和△MGE中,
,∴△DFM≌△MGE(SAS),∴DM=ME.故答案为:
①②③④.
10.(2013•南充)如图,二次函数y=x2+bx﹣3b+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b﹣2,2b2﹣5b﹣1).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)⊙M过A,B,C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标;
(3)连接AM,DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA,MD与x轴,y轴分别交于点E,F.若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标.
解:
(1)把点(b﹣2,2b2﹣5b﹣1)代入抛物线解析式,得:
2b2﹣5b﹣1=(b﹣2)2+b(b﹣2)﹣3b+3解得b=2,
故抛物线解析式为y=x2+2x﹣3.
(2)由x2+2x﹣3=0,得x=﹣3或x=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3).
抛物线的对称轴为直线x=﹣1,圆心M在直线x=﹣1上,
∴设M(﹣1,n),作MG⊥x轴于点G,MH⊥y轴于点H,连接MC,MB.
∴MH=1,BG=2.∵MB=MC,∴BG2+MG2=MH2+CH2,
∴4+n2=1+(3+n)2解得n=﹣1,∴点M(﹣1,﹣1).
(3)如图,由M(﹣1,﹣1),得MG=MH.
∵MA=MD,∴Rt△AMG≌Rt△DMH,∴∠1=∠2.
由旋转可知∠3=∠4,∴△AME≌△DMF.
若△DMF为等腰三角形,则△AME必为等腰三角形.
设E(x,0),△AME为等腰三角形,分三种情况:
①AE=AM=
,则x=
﹣3,∴E(
﹣3,0);
②∵点M在AB的垂直平分线上,∴MA=ME=AB,∴E(1,0);
③点E在AM的垂直平分线上,则AE=ME.
AE=x+3,ME2=MG2+EG2=1+(﹣1﹣x)2
∴(x+3)2=1+(﹣1﹣x)2解得:
x=
,∴E(
,0).
∴所求点E的坐标为(
﹣3,0),(1,0),(
,0).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全国各地 压轴 13