五年级世界少年奥林匹克数学竞赛中国区选拔赛全国总决赛.docx

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五年级世界少年奥林匹克数学竞赛中国区选拔赛全国总决赛

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛

五年级初赛试题

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考生须知：

1.每位考生将获得“题目及草稿纸一份”。

2.本卷共120分

3.比赛期间，不得使用计算工具或手形。

五年级试卷

（本试卷满分120分，考试时间120分钟）

一、填空题（每空3分，共45分）

1.九九重阳节，一批老人决定乘若干辆至多可乘32人的大巴前去兵马俑，如果打算每辆车坐22个人，就会有一个人没有座位；如果少开一辆车，那么这批老人刚好平均分乘余下的大巴。

那么有（）个老人，原有（）辆大巴。

2.在1—100的100个数中取出两个不同数相加，使其和是3的倍数，问有（）种不同取法。

3.有5050张数字卡片，其中1张上写着数字“1”，2张上写着数字“2”；3张上写着数字“3”；……99张上写着数字“99”；100张上写着数字“100”。

现在要从中任意取出若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字，至少要抽出（）张卡片。

4.将100个小球放入依次排列的36个盒子中。

如果任意相邻的5个盒子中的小球总数均为14，且第1个盒中有2个小球。

求第36个盒子中小球的个数（）

5.一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后是一个完全平方数，A加B的平方后仍是一个完全平方数，当满足条件的B最小时，A是（）。

6.在6点和7点之间，两针（）时刻重合？

7.1995的数字和是1+9+9+5=24。

那么小于2000的四位数中数字和等于24的数有（）个。

8.求自然数2100+3101+4102的个位数字是（）。

9.父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，其中有一些脚印与父亲重合，在120米内一共留下（）个脚印。

10.在桌子放置着两两重叠、形状相同的圆形纸片（如图），它们的面积都是68平方厘米，盖住桌面的总面积是154平方厘米，三张纸共同重叠的这块面积是8平方厘米，图中阴影部分面积是（）平方厘米。

11.甲、乙、丙三种货物，买3件甲，7件乙与1件丙共用了3.15元。

买4件甲、10件乙与1件丙共用4.20元。

问：

买甲、乙、丙三种货物各一件需（）元钱

12.“

”表示一种新的运算，它是这样定义的：

a

b=a×b+（a－b），求[（2

1）

2]

5=（）

13.一个数在1500—2000之间，除以5余3，除以8余1，除以9余5，这个数是（）

二、计算题（每题5分，共20分）

1.如图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD=5厘米。

又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等，求三角形DEF的面积是（）

2.一个长方体容器，底面是一个边长为50厘米的正方形，容器里直立着一根高1米、底面边长为15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为40厘米，现在把铁块轻轻向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长（）厘米

3.甲、乙两只小虫从周长是90厘米的圆周的同一地点出发同向爬行，甲虫爬行的速度每秒3厘米，乙虫爬行18厘米后，立即反向爬行，速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲虫相遇，求乙虫原来的速度是（）

2.已知两个自然数的平方和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数

3.现有1分，2分，4分，8分邮票各一张，从中取出若干张，能组成多少种不同面值？

4.小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间是多少？

小明解题共用了多少时间？

5.自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：

红桃、红方、黑桃、黑梅。

每种牌都有1点，2点，……，13点，牌各一张）.洗好后背面朝上放好，一次至少抽取（）张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同，如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取（）张牌

6.A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个球队之间都只比赛一场）。

进行到中途时，发现A、B、C、D比赛过的场次分别为4、3、2、1.问这时E队赛过几场？

E队和哪几个球队赛过？

7.有6块长3厘米、宽2厘米，高1厘米的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？

四、趣味数学（共6分）

1.如图，星球大厦第八层的写字楼共用16个面积相等的房间，阴影部分表示公用的过道，现将这层楼出租给四家公司做办公室用，要求：

（1）每家公司“三室一厅”，面积相等；

（2）每家公司“三室一厅”的平面图形形状不同（经旋转后形状相同，算同一种形状）；

（3）每家公司至少有一个房间的门与公共过道相通。

请你设计出一种符合以上3个条件的方案（只需在图中画出分割线）

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）初赛

五年级数学答案

一、填空题

1.529（个）；24（辆）

2.1650（种）

3.865（张）

4.2

5.11

6.6点32

分

7.15（个）

8.5

9.301（个）

10.34（平方厘米）

11.1.05（元）

12.37

13.1553或1913

二、计算题

1.3（平方厘米）

2.21.98（厘米）

3.2.1厘米/秒

4.4

三解答题

1.分析：

为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析。

我们把每一个黑、白格看作是一个座位，从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到邻座，又必须坐到黑格“座位”上。

因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等

解：

从上图可知：

黑色座位有13个，白色座位有12个，13≠12.因此，不可能使每个座位的人换为邻座位

解法采用了黑白两色间隔染（着）色的办法，因为整数按奇偶分类只有两类，所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色，可以帮助我们较直观地理解和处理问题。

2.解：

设所求的两个自然数为a、b，且a

由所给的条件得到d2×（a21+b21）=900，d2a1b1=432

两式相除得

所以12×（a21+b21）=25a1b1

由于（12，25）=1所以（a21+b21）|25，a1b1|12

因此a1=3，b1=4代入d2×（a21+b21）=900，得d=6所以a=18，b=24

经检验，18，24为所求

答：

这两个自然数为18与24.

3.15种

4.要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时什么时刻，解完题时时什么时刻。

①小明开始解题时的时刻：

因为小明开始解题时，分针与时分正好成一条直线，也就是分针与时分的夹角为1800，此时分针落后时针60×（180÷36）=30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7=35（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走35-30=5（个）格，则这一段时间为：

5÷（1-

）=5

（分针），所以小明开始解题时时7点5

分。

②小明解题结束的时刻：

因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走5×7=35（个）格，因此这一段时间为：

35÷（1-

）=38

（分）所以小明解题结束时是7点38

分

这样小明解题所用的时间久可以求出来了。

解：

先求小明开始解题的时刻：

[5×7-60×（180÷360）]÷（1-

）=5

（分钟），所以小明开始解题时时7点5

分，再求小明结束解题的时刻：

5×7÷（1-

）=38

（分钟），所以小明结束解题的时是7点38

分。

最后求小明解题所用的时间：

7点38

分-7点5

=38

（分钟）答：

小明解题共用了38

分钟。

5.对前一种情况，可取红、黑色的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13点各2张，共13×2=26（张），那么再取一张牌，必定和其中某一张牌点相同，于是就是2张牌点数和颜色都相同，这是最坏的情况，因此，至少要取27张牌，必能保证有2张牌点数、颜色都相同。

对后一种情况，有以下的搭配：

（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12），13，因而对涂阴影的9个数，四种花色的牌都取，这样可以取到9×4=36（张）牌，其中没有3张点数都相邻的

现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13，则至少要有33张牌取自（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12）四个抽屉，根据抽屉原理，必有9个数来自其中的一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数是相邻的。

因此，至少要取37张牌。

6.我们用平面上的点来分别表示A、B、C、D、E队，两队比赛过，就把这两点用线连起来，便可看出各队之间的关系。

已知A队比赛过4场，即A于其余4个球队各赛一场，用线把A与B、C、D、E连起来，B比赛过3场，除与A赛过一场外，还赛过了2场，而D只与A赛过一场，所以B只能是又与C和E赛过。

此时正好C赛过2场，D赛过1场，全部符合题目中的条件。

从右图中可以看出，这时E队赛过2场，E队分别和A、B两队

赛过

7.要使面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起，表面积最小的拼法有两种，表面积是：

（3×3+3×4×2）×2=66（平方厘米）

四、趣味数学

1.方法较多，下图是其中两种：

2010世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛

五年级总决赛试题

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考生须知：

4.每位考生将获得“题目及草稿纸一份”。

5.本卷共150分

6.比赛期间，不得使用计算工具或手形。

五年级试卷

（本试卷满分150分，考试时间150分钟）

一填空题（每空3分，共45分）

1.有四个相同的瓶子里分别装有不同重量的酒，每瓶与其他各瓶分别合称一次，重量分别是8，9，10，11，12，13千克。

已知4只空瓶重量之和及酒的重量之和均是质数，问最重的两瓶内共有（）千克酒

2.在1—100的100个数中取出两个不同数相加，使其和是3的倍数，问有（）种不同取法.

3.某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播，问：

最后一集在星期（）播出

4.如果一个101位数33…3N55…5，这个数能被7整除，那么N等于（）

5.一个四位数的数码都是非零偶数，它又恰是某个偶数字组成的数的平方，则这个四位数是（）

6.电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置，问：

这种交换方法是否可行：

（）

7.一旧钟钟面上的两针每66分钟重合一次，这只旧钟在标准时间的一天中快或慢（）分钟

8.有一个两位数，将这个两位数乘以1—9中任意一个数，所得积的各位数字之和都和原来的两位数的各位数字之和相等，请找出所有的这样的两位数（）

9.将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是（），一共可据（）块。

10.在10×10方格纸的每个方格中任意填入1，2，3，4四个数之一，然后分别对2×2方格的四个数求和。

在这些和中，至少有（）个相同。

11.水果店有一批苹果，若每千克卖1.2元，就会亏40元，若每千克卖1.5元，就能赚80元，为尽快卖出，老板决定降价出售，结果赚得40元钱，每千克苹果应以（）元出售。

12.在一次数学竞赛中甲答错题目总数的

，乙答对7道题，两人都对的题目是题目总数的

，问：

甲答对了（）道题

13.甲、乙、丙、丁均买了奖券，他们中只有1个人中奖，而中奖号码的最后四位数字组成的四位数（不变顺序）恰是一个完全平方数，已知甲的奖券最后四位数是1□□8，乙的奖券最后四位数是□□45,丙的奖券最后四位数是34□1，丁的奖券的最后四位数是□□40，则中奖号码的后四位数字组成的四位数是（）

14.王小明从家到学校上学。

他以每分钟50米的速度走了2分钟后，发觉如果这样走下去要迟到8分钟，于是他加快速度，每分钟多走10米，结果到学校时离上课还有5分钟。

王小明家离学校有（）米远

二、计算题（每题5分，共25分）

1.如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形（三角形EFD）面积是4平方厘米，黄色三角形（三角形CFD）面积是6平方厘米，求绿色四边形ABEF的面积是（）

2.把一个长、宽、高分别是8、7、4厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大是（）最小是（）

3.规定3△2=3+33=36，2△3=2+22+222=246，1△4=1+11+111+1111=1234，那么6△7等于（）

4.甲、乙两人在与铁路平行的马路上背向而行，甲骑车每小时行36千米，乙步行每小时行3.6千米，一列火车匀速向甲驶来，列车在甲旁开过用了10秒钟，而在乙旁开过用了21秒钟，问这列火车的长是（）米

5.8□□□□2是3个相邻偶数相乘的积，求这三个偶数的积是（）

三、解答题（每题8分，共56分）

1.等边三角形ABC周长为360米，D是BC上一点，CD=30米，甲从A点出发每分钟走55米，逆时针前进，乙从D点顺时针出发，每分钟行50米。

问：

两个人同时出发，几分钟相遇？

当乙到达A时，甲在哪条边上，离乙多远？

2.甲、乙两人玩下面的游戏；有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个，甲、乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（>0）不限，规定拿到最后一个球的人为输。

问如果甲先拿，他有无必胜的策略？

（说明理由）

3.如图，四边形ABCD的面积是3平方厘米，将BA、CB、DC、AD分别延长一倍到E,F,G,H，联结E,F,G,H,求四边形EFGH的面积

4.黑板上写着1，2，3，4，…，498，共498个数，每次任意擦去其中两个数，并写上它们的差，若干次后，黑板上只剩下一个数字0，这种情况有可能吗？

为什么？

5.如图，一个正方形木块棱长12厘米，在这个木块的六个面的中心位置各挖去一个边长为2厘米的正方体孔，直通对面，问这个立体图形的体积、表面积各是多少？

6.南京在举办“十运会”期间，有157吨比赛器械要从奥体中心运到市郊的比赛场地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，它们的耗油量分别是10公升和5公升，用大、小卡车各几辆耗油量最少？

7.某水库有10个泄洪闸，若水库的水位已经超过安全线，且上游河水还在按不变的速度增加。

为了防洪，需调节泄洪速度。

假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸30小时，水位降至安全线；若打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部要求在5.5个小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开多少个闸门？

.

四、趣味数学（每题8分，共24分）

1.有10个村庄，分别用A1，A2,…，A10表示，某人从A1出发按箭头方向绕一圈最后经由A10再回到A1，有多少种不同走法？

注：

每点（村）至多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆周上弧线，但都必须按箭头方向走。

A3

2.有红球3个，白球2个，黄球1个，每次可取两个异色球，把它们改为另一种颜色，问：

能否经过有限次改色，最后使全部球同色?

3.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除，怎么修改？

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）总决赛

五年级数学试卷答案

一、填空题

1.12千克

2.1650种

3.星期五

4.N=3

5.4624

6.不可行

7.11

分钟

8.18，45，90，99

9.125立方分米；60块

10.7（个）

11.1.4元

12.32道题

13.3481

14.4000米

二、计算题

1.11平方厘米

2.344（平方厘米）；288（平方厘米）

3.7407402

4.210米

5.884352

三、解答题

1.相遇时间：

（360÷3×2-30）÷（55+50）=2（分钟），乙从D到A用时（360÷3×2-30）÷50=4.2（分钟），乙到A时，甲行55×4.2=231（米），即离乙231米；甲到C距离：

360÷3×2-231=9（米），在BC边上。

2.解：

如果甲先拿，甲有必胜的策略，甲的具体做法是：

从9个球的那一堆中拿1个，使两堆球数相等，都是8个。

此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿，如果乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；如果乙使得一堆球就剩下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；否则，当乙拿几个时，甲也拿同样多的个数。

在前两种情形，因为只剩下一堆球，并且这堆中只有一个球，因此乙必输；在后一种情形两堆球的个数相同，只是必原来少了。

这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球的局面，这时，乙只有两种选择：

拿2个或拿1个，然后，甲拿一个或拿2个，乙也必输

3.DC=24×

=16（厘米），AE=24-9=15（厘米），EF=

×15=10（厘米），阴影部分长：

15-9=6（厘米），阴影部分宽：

10-（16-10）=4（厘米），阴影部分面积：

6×4=24（平方厘米）

4.不可能剩下0.1+2+3+…+498=（1+498）×498÷2=124251（奇数），设擦去两个数为a，b（令a>b），擦去后写上a-b，总和减少了（a+b）-（a-b）=2b，显然2b是个偶数，每次擦去两个数后剩下数的总和减少了一个偶数，奇-偶=奇，经若干次后黑板上剩下的是一个奇数，不可能是0.

5.体积=12×12×12-2×2×12-2×2×5×4=1600（立方厘米）

表面积：

12×12×6-2×2×6+2×5×4×6=1080（立方厘米）

6.用大卡车运货，每吨耗油量10÷5=2（公升）；用小卡车运货，每吨耗油量5÷2=2.5（公升），因此要使耗油量最少，应尽量安排用大卡车运输，剩下不足5吨的，在考虑用小车运输，157÷5=31…2，所以用31辆大卡车和1辆小卡车运输这批货物耗油量最少

7.假设1个闸门1小时泄洪量为“1”份

（1）每分钟上游的涌入量：

（1×30-1×2×10）÷（30-10）=0.5；

（2）超过安全线的原有水量：

1×30-0.5×30=15

（3）5.5小时泄洪总量：

15+0.5×5.5=17.75；

（4）至少打开闸门数：

17.75÷（5.5+1）≈4（个）（用进一法）

四、趣味数学

1.

解：

设从A1按箭头方向走到An+1的走法数为an，n=1，2，…，9，则a9即为所求（因为A10回到A1只有一种方式），可见，a1=1，a2=2，ak+1=ak+ak-1为递推公式

∴an（n=1，2，…9）依次为1，2，3，5，8，13，21，34，55，即共55种不同的走法。

也可以用图来表示解答过程。

每一个村（点）旁边的数字就是到这村的不同走法个数，正好符合斐波那契数列的特点。

从A1出发走到A2点只有一种方式，A2点标有数目1，从A1到A3，一种直接沿圆弧走，另一种途径A2走，所以共有1+1=2种方式，从A1到A4，有两种方式，一种途径A2再沿从A2到A4的直线走，另一种途径A3到A4，所以总方式数目等于A1到A2的方式数加A1到A3的方式数

也即（A1→→A4）方式数

=（A1→→A2）方式数+（A1→→A3）方式数

=1+2

=3

其余类推

2.不能，用“○”表示一个红球，用“ⅹ”表示白球，用“√”表示一个黄球，下面的改色没有用处因为

→

三种球数目仍分别是1、2、3。

如果按下列方式改色则又回到“1、2、3”的情形，可见，上述改色方式也不能使

→→

所有球同色，如第一次先取○和√改为ⅹⅹ，最后仍回到1个○，2个√，3个ⅹⅹⅹ，也失败了

综上所述，不能使所有球同色

3.因为225=25×9，所以修改后数要能被225整除，就是既能被25整除，又能被9整除，能被25整除，末两位不必修改，只要改前三位数。

2+1+4+7+5=19，19=18+1=27-8.可以有如下答案：

把“1”改为“0”，或把“4”改为“3”，或把“1”改为“9”，或把“2”改为“1”

1.

2.已知以下算式的每个字各代表1个数字，试求「庆」代表的数字？

庆

祝

香

港

回

归

祖

国

拾

××

庆

年

庆

祝

香

港

回

归

祖

国

拾

年

3.

4.

5.

6.

7.钟面上的时针和分针于10时x分，将重迭一起。

已知x不是整数，求x？

8.请问少于2007的最大质数是多少？

（质数只有两个正因子，例子：

2、3）

9.下图由4个相同大小的圆形划出若干逻辑区域，阴影部分

包含A和C但不包含B和D；已知4个相同大小的规则图形可划出更多逻辑区域，试找出下图没有划出的逻辑区域。

10.一列火车的车长是1000米，它通过路边的一棵大树用了4分钟；而它以同样的速度通过一座大桥则需要12分钟。

那么这座大桥长多少米？

11.公历规定，公元年被4整除且不被100整除，或被400整除者即为闰年。

问一百年后的今天（2107/08/12）是星期几？

（提示：

今天是星期日）

12.工厂生产一批零件，已知甲单独完成需20天，乙单独完成需30天。

现安排甲和乙合作完成共15天，期间甲因病请假数天，那么甲因病请假多少天？

13.P和Q相距223公里，Q和R相距251公里，一条河流把他们直线连在一起，河水以均速8公里每小时由P流到R。

船X于P以静水速H公里每小时航行到R，船Y于Q以静水速K公里每小时航行到P，船Z于Q以静水速K公里每小时航行到R。

若X、Y、Z同时启程，X出发10小时后遇到Y，再过10小时后遇到Z，那么H¸K=?

14.A、B、C、D四人互相传球。

先由A作第1次传球，要求接球后马上把球传给别人。

求经过5次传球后，球仍回到发球人A的手中不同的传球方法最多有多少种？

15.故事书「哈利鲁实」有1021单页，若要求找到某页，请问最少要翻多少次才保证找到该页？