最新编辑北师大版九年级数学上册第二章教案.docx
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最新编辑北师大版九年级数学上册第二章教案
九(7)班数学教案
第二章一元二次方程
王彬彬
二〇一二年九月
第1课时
课题:
§2.1.1花边有多宽
(1)
课型:
新授
教学目标:
1、理解一元二次方程的定义,会判断满足一元二次方程的条件。
2、能根据具体情景应用知识。
3、体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
教学重点:
1、一元二次方程的定义;建立一元二次方程的模型
2、一元二次方程的一般形式。
教学难点:
一元二次方程的模型的建立
教学过程:
一、复旧引新:
1、什么是方程?
什么样的方程是一元一次方程?
2、多项式2x2-3x+1是几次几项式?
每项的系数和次数分别是几?
二、学习探究:
理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式。
阅读教材42-43页,回答:
(1)如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为m,宽为m
根据题意,可得方程
(2)试再找出其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和:
;
如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为、、
、,根据题意可得方程:
(3)根据图2-2,由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙m,如果设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙m,梯子顶端距地面的垂直距离为m,根据题意,可得方程:
三、合作交流:
观察上述三个方程,它们的共同点为:
①;②;象这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式,ax2,bx,c分别称为、、,a、b分别称为、。
1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)
(2)
(3)
(与同学交流你的想法)
四、归纳总结:
1、通过本节课的学习你学到了哪些知识?
与同学交流一下。
2、通过本节课你认为学的比较好的内容是什么?
不足又是什么?
五、当堂训练:
1、判断下列方程是否为一元二次方程,如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项:
(1)2x2+3x+5
(2)(x+5)(x+2)=x2+3x+1
(3)(2x-1)(3x+5)=-5(4)(3x+1)(x-2)=-5x
2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
3、关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0,当k时,是一元二次方程。
课后训练
1、在教材随堂练习1中:
如果设竹竿长为x尺,则门框长为尺,宽为尺。
列出的方程是。
2、根据题意,列出方程:
(1)有一面积为54平方米的长方形,将它的一边剪短5米,另一边剪短2米,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?
(2)三个连续的整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?
3、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
4、关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0
当k时是一元二次方程;当k时是一元一次方程。
5、关于x的方程(k-
)x2+(m-3)x-1=0,是一元二次方程。
则k和m的取值范围分别为什么?
作业:
习题2.1
板书设计:
教学后记:
第2课时
课题:
§2.1.2花边有多宽
(2)
课型:
新授
教学目标:
1、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识。
2、能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。
3、渗透“夹逼”思想,发展估算意识和能力,培养克服困难的勇气。
教学重点:
探究一元二次方程的解或近似解,发展估算意识和能力
教学难点:
用估算方法求一元二次方程的近似解。
教学过程:
一、复习引新:
1、什么是方程的解?
2、一元二次方程的一般形式是怎样的?
3、把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项、一次项、常数项:
(1)9x2-4x=5
(2)(x-7)(4x+3)=(x-1)2
二、学习探究:
通过估算地毯花边的宽,理解探索方程解的过程。
根据上节可的学习,如果设地毯花边的宽xm,则可得方程(8―2x)(5―2x)=18,化为一般形式为:
_____________________________。
你能求出x吗?
根据本题实际情况,思考下列问题:
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;______________________________。
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
。
由以上两题可知x的取值范围是___________________。
(3)完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
思考下面的方法可以吗?
因为8―2x比5―2x多3,将18分解为6×3,8―2x=6,x=1
说说你的观点,与同伴交流一下。
三、合作交流:
(自信是成功的前提)
阅读课本46页“做一做”,设梯子底端滑动的距离x(m)则得(x+6)2+72=102
化为一般形式为:
______________________________。
(1)小明认为底端也滑动了1米,他的说法正确吗?
简述你的观点:
______________________________________________
(2)滑动距离可能是2米,3米吗?
为什么?
_________________________________________________
(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(4)x的整数部分是几?
十分位是几?
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x-15
所以______ 进一步计算 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 所以______ 因此x的整数部分是______,十分位是______ 注意: (1)估算的精度不要求过高; (2)计算时提倡使用计算器。 四、归纳总结: (计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高。 ) 1、你学到了哪些知识? 与同学交流一下。 2、通过本节课你认为学的比较好的内容是什么? 不足又是什么? 五、当堂训练: 1、五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方和,你能求出这五个连续整数吗? 2、一个面积为120平方米的矩形苗圃,它的长比宽多2米,求苗圃的周长? 课后训练: 1、一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误。 假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作? 2、已知两个数的和为10,积为9,求这两个数。 作业: 习题2.2 板书设计: 教学后记 第3课时 课题: §2.2.1配方法 (1) 课型: 新授 教学目标: 1、用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程; 2、理解配方法,会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 3、会用转化的数学思想解决有关问题。 4、学会观察、分析,寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力。 教学重点: 理解并掌握配方法,能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 教学难点: 如何利用等式的性质进行配方 教学过程: 一、回顾交流: 1、若x2=4,则x=. 2、若(x+1)2=4,则x=. 3、若x2+2x+1=4,则x=. 4、若x2+2x=3,则x=. 二、学习探究: 理解配方法解一元二次方程的过程变化依据。 1、填上适当的数,使下列等式成立: x2+12x+=(x+6)2; x2-4x+=(x-)2; x2+8x+=(x+)2. 2、根据上述变形,你能解哪些一元二次方程? 三、合作交流: 1、你会解下列方程吗? 与同学交流一下你是如何做的? x2=5,(x+2)2=5,x2+12x+36=5 2、解方程x2+12x-15=0的困难在哪里? 你能将方程x2+12x-15=0转化成上面方程的形式吗? 与同学交流一下。 3、思考: 根据上面解答过程,你认为解一元二次方程的关键是什么? 4、在这里,解一元二次方程的基本思路是将方程转化成的形式,它的一边是另一边是,当时两边便可以求出它的根。 这种通过配成进一步求得一元二次方程根的方法称为配方法 四、归纳总结: 通过本节课的学习你学到了哪些知识? 与同学交流一下。 五、例题解析: 例1解方程x2+8x-9=0 分析: 将常数项移到方程的右边可得方程。 这样你将如何进行配方解方程? 试写出完整解答过程。 六、当堂训练: 解下列方程: 1、x2-10x+25=72、x2+6x=1 补充练习: 1、如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分种花草,要使剩余部分面积为850m2,道路的宽应为多少? 2、解下列方程: (1)x2+12x+25=0 (2)x2+4x=10 (3)x2-6x=11(4)x2-2x-4=0 (5)x2-4x-12=0 作业: 习题2.3 板书设计: 教学后记 第4课时 课题: §2.2.2、配方法 (2) 课型: 新授 教学目标: 1、能够熟练地、灵活的应用配方法解一元二次方程。 2、进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。 3、培养观察能力运用所学旧知识解决新问题。 教学重点: 能够熟练的应用配方法解一元二次方程。 教学难点: 两种方法的选用 教学过程: 一、知识回顾: 1、上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么? 其关键是什么? 二、学习探究: 熟练掌握解一元二次方程的两种方法。 1、解下列方程: (1)(2-x)2=3 (2)(x- )2=64(3)2(x+1)2= 2、用配方法解方程: (1)x2-6x-40=0 (2)x2-6x+7=0(3)x2+4x+3=0 (4)x2-8x+9=0(5)x2- x=2 三、合作交流: 1、当x取何值时,代数式10-6x+x2有最小值,是几? 2、配方法证明y2-12y+42的值恒大于0。 四、归纳总结: 通过本节课的学习你进一步熟练了哪些知识? 与同学交流一下。 五、例题学习: 例1解方程3x2+8x-3=0 分析: 如何将二次项系数化为1? 这样你可得方程。 试将解方程的解答过程写出。 做一做P51 六、当堂训练: 解下列方程: 1、2x2+5x-3=02、3x2-4x-7=0 3、5x2-6x+1=04、x2+6x=1 补充练习: 1、 (1)x2-4x+=(x-)2; (2)x2- x+=(x-)2 2、方程x2-12x=9964经配方后得(x-)2= 3、方程(x+m)2=n的根是 4、当x=-1满足方程x2-2(a+1)2x-9=0时,a= 5、已知: 方程(m+1)x2m+1+(m-3)x-1=0,试问: (1)m取何值时,方程是关于x的一元二次方程,求出此时方程的解; (2)m取何值时,方程是关于x的一元一次方程 6、关于x的一元二次方程(a+1)x2+3x+a2-3a-4=0的一个根为0,则a的值为() A、-1B、4C、-1或4D、1 7、不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值() A、总不小于2B、总不小于7C、可为任何实数D、可能为负数 作业: 习题2.4 板书设计: 教学后记 第5课时 课题: §2.2.3配方法(3) 课型: 新授 教学目标: 1、用一元二次方程解决现实情景中的问题; 2、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。 3、能力培养: 形成解决现实问题的一些基本方法和策略,培养创新意识。 4、情感与态度: 体会数学模型的应用价值,进一步提高学习数学的兴趣。 教学重点: 审明题意,寻找等量关系,将实际问题转化成一元二次方程的数学模型。 教学难点: 一元二次方程的实际应用 教学过程: 一、回顾引新: 1、上两节课我们学过的解一元二次方程的基本方法是什么? 二、学习探究: 用一元二次方程解决现实情景中的问题;。 学习教材P.54—55内容尝试回答下列问题: 1、你认为小明的结果对吗? 为什么? 2、你能帮小亮求出图中x的吗? 3、你还有其他设计方案吗? 三、合作交流: 1、与同伴交流自学探究中问题的答案,看一下你们做的情况。 2、你认为运用方程解决实际问题的关键是什么? 与同伴交流一下。 四、归纳总结: 通过本节课的学习你又学到了哪些知识? 与同学交流一下。 五、当堂训练: 对于本课中花园的设计问题,小颍的设计方案如图所示,你能帮她求出图中x的吗? 补充训练: 1、在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图,如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%,那么金色纸边的宽应该是多少? 2、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m。 (1)鸡场的面积能达到180m2吗? 能达到200m2吗? (2)鸡场的面积能达到250m2吗? 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由。 3、从一块正方形木块上锯掉2厘米宽的长方形木条,剩余部分的面积是48平方厘米,求这块正方形木板原来的面积。 作业: 习题2.5 板书设计: 教学后记 第6课时 课题: §2.3公式法 课型: 新授 教学目标: 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程; 2、会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。 3、提高运算能力并养成良好的运算习惯。 4、通过用公式解一元二次方程的训练,体验成功的喜悦,建立学好数学的信心。 教学重点: 用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 教学难点: 对求根公式的推导过程的理解 教学过程: 一、回顾引新: 1.利用配方法快速解下列两个方程: x2+2x-35=05x2-15x-10=0 2.通过对配方法解一元二次方程的学习,你认为利用配方法解方程的关键是什么? 步骤呢? 。 二、学习探究: 利用配方法推导一元二次方程的求根公式 若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)你觉得应如何利用配方法求解? (1)ax2+bx+c=0(a≠0)方程的两边同时除以a可得到: 。 (2)把上式中的常数项移项可得: (3)如果对上式进行配方,方程两边应加上什么式子,这个式子是怎样得到的? 。 (4)配方后可得: 。 (5)思考: 对于上式能不能直接利用直接开平方,为什么? 结论: 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当时,它的根是: x=。 式子称为求根公式,用解一元二次方程的方法称为公式法。 三、合作交流: 1、上面我们利用了推导出了解一元二次方程的另外一种方法: 。 2、你认为利用求根公式解一元二次方程的关键是什么? 与同学交流一下的想法。 3、利用公式法解方程的一般步骤: (1) (2)(3)(4)。 四、归纳总结: 通过本节课的学习你学到了哪些知识? 与同学交流一下。 五、例题解析: 例1利用公式法解方程x2-7x-18=0 分析: 此方程中哪些数字相当于ax2+bx+c=0(a≠0)中的a、b、c? 试写出解方程的完整过程。 六、当堂训练: 1、用公式法解下列方程: (1)x2+2x-35=0 (2)5x2-15x-10=0 (3)9x2+6x+1=0(4)16x2+8x=3 2、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,求这个三角形的三条边长。 补充练习: 1、用公式法解下列方程: (1)2x2-4x-1=0; (2)5x+2=3x2; (3)(x-2)(3x-5)=1 2、对于问题: k取何值时,kx2+3x+4=0有两个不相等的实数根,下面的解法是否正确? 若不正确,请给出正确解法。 解: ∵Δ=32-4·k·4=9-16k 令9-16k>0,则k< 即当k< 时,方程kx2+3x+4=0有两个不相等的实数根。 作业: 习题2.6 板书设计: 教学后记 第7课时 课题: §2.4分解因式法 课型: 新授 教学目标: 1、了解分解因式法的概念; 2、会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。 3、体验解决问题的方法的多样性,灵活选择方程的解法。 4、在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的信心。 教学重点: 会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。 教学难点: 会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。 教学过程: 一、回顾引新: 1、有两个数a、b,如果它们之间满足a•b=0,则a,b的值会是怎样的情况? 2、对下列各式分解因式: (1)5x2-4x (2)x-2-x2+2x 二、学习探究: 会用分解因式法解某些简单的数字系数的一元二次方程。 学习教材P.60—61的内容,解答下列问题: 1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗? 2、观察小颖、小明、小亮的做法,正确的有,思考错误的原因; 小颖的依据是,小亮是如何做的? (说明) 由小亮的做法可以得到: 如果,那么 3、当一元二次方程的一边为0,而另一边容易时,我们就可以采用的方法求解。 这种解一元二次方程的方法称为。 三、合作交流: 1、利用分解因式法解一元二次方程的步骤是什么? 2、你能用分解因式法解方程x2-4=0,(x+1)2-25=0吗? 与同学交流一下。 四、归纳总结: 通过本节课的学习你学到了哪些知识? 与同学交流一下。 五、例题解析: 例1、利用分解因式法解方程 (1)5x2=4x (2)x-2=x(x-2) 分析: 解上述两方程时第一步均应作什么变形? 试写出解方程的完整过程。 六、当堂训练: 用分解因式法解方程并思考做题依据: (1)x2-6x=0 (2)3(x-5)2=2(5-x)(3)2(x-3)2=x2-9 (4)4x2-4x+1=0(5)4(x-2)2=9(x+3)2 补充练习: 1、用分解因式法解下列方程: (1)4x(2x+1)=3(2x+1) (2)(2x+3)2=4(2x+3) (3)3x(x-1)=2-2x(4)2(x-3)2=x2-9 (5)5(x2-x)=3(x2+x)(6)(x-2)2=(2x+3)2 (7)(x-2)(x-3)=12(8)x2-5 x+8=0 2、解方程2x(x-1)=x-1时,有的同学在方程的两边同时除以(x-1),得2x=1,解方程得x=0.5,这种做法对吗? 如果不对,请你写出正确的答案并与同学交流. 作业: 习题2.7 板书设计: 教学后记 第8课时 课题: §2.5.1为什么是0.618 (1) 课型: 新授 教学目标: 1、能分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并能解决现实情景中的实际问题。 2、提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。 3、认识方程是刻画现实世界的有效数学模型,增强数学应用意识。 教学重点: 寻找等量关系,将实际问题转化成一元二次方程的数学模型,并根据实际问题检验解的合理性。 教学难点: 建立方程模型 教学过程: 一、回顾引新: 1、什么叫黄金分割? 黄金比是多少? 2、解方程: x2+x-1=0 3、列一元一次方程解应用题的步骤是什么? 二、学习探究: 掌握黄金分割中黄金比的来历。 学习教材P.63的内容,解答下列问题: 如图,如果 = ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点。 由 = ,得AC2=AB·CB。 设AB=1,AC=x,则CB=1-x 可列方程: ____________________,即____________________ 解这个方程得_______________,________________(不合题意,舍去) 所以: 黄金比 =________≈________ 注意: 黄金比的准确数为,近似数为__________。 三、合作交流: 1、思考: 列一元二次方程解应用题的步骤是什么? 与同学交流一下。 2、列一元二次方程解应用题应注意什么? 四、归纳总结: 通过本节课的学习你学到了哪些知识? 与同学交流一下。 五、例题解析: 例1如图 (1),某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C。 小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向上。 一首军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一首补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。 (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里) 分析: (1)提示: 利用相似三角形的性质 (2)勾股定理→一元二次方程 六、当堂训练: 1、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长。 2、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,它的长为8m,宽为5m。 如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽? 补充练习 1、有一个两位数等于其各位数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数。 2、某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价384元,如果两次降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 3、某商场一月份销售额为70万元,二月份下降10%,后改进管理,月销售额大幅度上升,四月份的销售额达112万元,求三月、四月平均每月增长的百分率 4、某服装店的老板用8000元购进一种夏季衬衫若干件,以每件58元的价格出售,很快售完,又用17600元购进同种衬衫,数量是第一次的2倍,每件进价比第一次多了4元,服装店按每件58元出售,全部售完。 问该服装店这笔生意两次共盈利多少元? 作业: 习题2.8 板书设计: 教学后记 第9课时 课题: §2.5.1为么什是0.618 (2) 课型: 新授 教学目标: 1、建立方程模型来解决生活中的实际问题; 2、总结运用方程解决实际问题的一般步骤。 3、提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。 4、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型,增强数学应用意识。 教学重点: 用一元二次方程的
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