数学专升本考试试题.docx
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数学专升本考试试题
高等数学
(二)命题预测试卷
(二)
、选择题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分。
在每个小题给出的选
项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)
F列函数中,当X-.1时,与无穷小量(1-x)相比是高阶无穷小的是()
A.In(3-x)
B.x3-2x2x
2.
C.cos(x-l)
D.x2-1
L1
曲线y=3、..x-3在(1,:
:
)内是()
x
A.处处单调减小
B.处处单调增加
C.具有最大值
D.具有最小值
3.
设f(x)是可导函数,且龙叫
f(x°2h)—f(X0)「,则f(x°)为()
1
若f(丄)
x
10个空,每空4分,共40分,把答案填在
C.2
A.
一
B.
1-ln2
2
C.
1
D.
ln2
5.设u
二xyz,a等于(
)
ex
A.
z
B.
zJ
zxy
xy
C.
z1
y
D.
z
y
)
4.
、填空题:
本大题共10个小题,
x1
芦,则of(x)dx为
题中横线上。
7.
设f(x)二exlnx,贝Uf(3)二
9.设二重积分的积分区域D是1 D 10.Iim(1—丄)=. x—;: 2x 1 11.函数f(x)二㊁©%e^)的极小值点为 2 12.若lim-岂4=3,则a=XT」x+1 13.曲线y二arctanx在横坐标为1点处的切线方程为 15. 2 1xsinx, 2dx= cosx 16. 解答题: 本大题共13小题, 90分,解答应写出推理、演算步骤。 (本题满分6分) x七0 x0的间断点. 17. (本题满分6分) 计算漿如一1 18. (本题满分6分) 计算limlnarcsinx(1x) 19.(本题满分6分) 「1 x0,求f(x). 一1: : x込0 设函数f(x)="e7 ln(1+x) 20.(本题满分6分) 求函数y=sin(x•y)的二阶导数. 21.(本题满分6分) 求曲线f(x)=x4-2x3的极值点. 22.(本题满分6分) 3 计算dx. ,x2+1 23.(本题满分6分) 若f(x)的一个原函数为xlnx,求xf(x)dx. 24.(本题满分6分) 已知Jdx^1,求常数k的值. 25.(本题满分6分) 求函数f(x,y)二y‘「x2•6x「12y-5的极值. 26.(本题满分10分) 求ii(x2y)dxdy,其中D是由曲线y=x2与x=y2所围成的平面区域. D 27.(本题满分10分) 3 2aaa 设f(x)=x-;f(x)dx,且常数a-1,求证: °f(x)dx= 28.(本题满分10分) 求函数丫一哑的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近 x 线并作出函数的图形. 参考答案 1.B 2.B 3.D 4.D5.D 、填空题 2 6.2e1 31 7.e- 3 8.1 9.3: x-1 1 10.e^ 11.x=0 12.5 13.y-- 2 4 14.sin- 4 15.0 、解答题 、选择题 f(X)在点 16.解 冷(x") 这是一个分段函数, x=0的左极限和右极限都存在. limf(x) x)0- Iimf(x) x)0■ Iimf(x) x]0- +1arctan x2 1兀=Iimarctan-x-0x2 -Iimf(x) x]0 =lim x]0- JI 故当 X—0时,f(x)的极限不存在,点x=0是f(x)的第一类间断点. 1 18.解 设f(x)二arcsinx(1x)x. 由于x=0是初等函数Inf(x)的可去间断点, limInf(x)二Inlimf(x)LInlim|arcsxn(1x) x)0x)0x)0 -丄1 =Inlimarcsinx+lim(1+x)x IxTxT 19. 首先在x=0时,分别求出函数各表达式的导数,即 1 当x0时,f(x)=(xex)=e 1 当「1: : x: : 0时,f(x)二In(x1)1 xT 然后分别求出在X二0处函数的左导数和右导数, 1 f(0)=lim1 一x_p—X+1 丄1 f(0)=limex(1_)=0 7+x 20. 从而f_(0Hf(0),函数在X=0处不可导. 所以f(x)= 1 ex(1-) x 1 n y=sinx(y) y=cos(xy)(1y) 二cos<(y)ycos<(y)① ysin(xy)(1y )ycosx(y)yLsirx(y)hy) -cos(xy)»=sin(xy)(1y)2 sin(xy)(1y)2 1-cos<(y) cos(xy) 又由①解得y、 1—cos(x+y) "丄、,丄cos(x+y)co&x+y)」1+ 代入②得y二 -1cos(x+y) 1-cos(xy) sinx(y) -cos 21. 先出求f(x)的一阶导数: f(x)二4x3-6x2 4x2(x-3) 2 33 令f(x)=0即4x(x-q)=0解得驻点为=0,x2: 再求出f(x)的二阶导数f“(x)=12x2—12x=: 12x(x—1). 当X1 3 -0时,f(0)=0,在(-: : 0)内,f(x): : : 0,在(0,-)内f(x): : : 0 Xi二0不是极值点. 总之 3 曲线5'鸟2只有极小值点r 22. x3x3x-xx(x21)-xx xz 2222 x1x1x1x1 3 xdx=(x x1 x x21 x )dx二xdx-rdx *2+1 23. 24. 2 1d(x1)121.,2 xlnx1)C2x122 由题设知f(x)=(xlnx)=Inxx(lnx)=Inx1 故xf(x)dx二x(lnx1)dx =xlnxdxxdx 1212=Inx—dxx 22 _2 nxx2-'■x2d(lnx) 12 x 2 2112 dxx x2 12 1.21Inxxx 22 =lx21nx-1xdxx 222 =^x2lnx_1x2C. 24 010dx=k2dx二klim 1x2ar,a1x 1? dx =k-limarctanx 0■: a=k脱-arcypk? 匚丄Tdx」 一1x2 dx 2 X a■Io TT11 故k丄解得k二丄• 22n 25.解二=_2x6,兰=3y2一12 dxcy 2x+6=0 解方程组丿2得驻点Ao(3,2),Bo(3,_2) Sy2_12=0 又A=f&--2,B=fxy=°,C=fyy=6y 对于驻点A): A=—2,B=0,C=6yx=3=-12,故B2—AC=24>0y= .驻点Ao不是极值点. 对于驻点Bo: A=-2,B=0,C=6yx=3=-12 y=^ 故B2—AC--24: : 0,又A--2: : 0. 函数f(x,y)在B°(3,-2)点取得极大值 f(3,-2)=(-2)3-918245=30 26. 由y=x2与x二y2得两曲线的交点为O(0,0)与A(1,1) =y2(y一0)的反函数为y-X. 1 (x+y)dy=((xy+? y) aaa 0-of(x)dx0dx 3 aaa )f(x)dxa0f(x)dx= 3 aa3 于是0f(x)d"B 28.解 (1)先求函数的定义域为(0,=). (2)求y•和驻点: y;J一? x,令y丄0得驻点x=e. x (3)由y•的符号确定函数的单调增减区间及极值. 1_inx 当0: : : x: : : e时,y———2—•0,所以y单调增加;x 当xe时,y厶: 0,所以y单调减少. 由极值的第一充分条件可知yx$£为极大值. (4)求y”并确定y”的符号: 3 2|nX-32 y3,令y=0得x二e2. x 3 当0■xe2时,y: : : 0,曲线y为凸的; 3 当xe2时,y”•0,曲线y为凹的. 33 3■■■ 根据拐点的充分条件可知点(e2,-e2)为拐点. 2 这里的y•和y的计算是本题的关键,读者在计算时一定要认真、仔细。 另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷,现列表如下: x (0,e) e 3 (e,e2) 3e? 3 (e2,^) Fy + 0 一 一 0 + 就表上所给的y•和y“符号,可得到: 函数y「吨的单调增加区间为(0,e); x Inx 函数y二——的单调减少区间为(e/: : ); x 函数y=吨的极大值为y(e)=1; xe |nx- 函数y二巴仝的凸区间为(0,e2); x InxInx一 (5)因为lim0,lim —乂xt+x Inx 所以曲线y=吹有 x 水平渐近线y二0铅垂渐近线x二0 (6)根据上述的函数特性作出函数图形如下图.
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