孪生素数猜想证明王.docx
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孪生素数猜想证明王
“孪生素数猜想”证明
务川自治县实验学校王若仲(王洪)贵州564300
摘要:
对于“孪生素数猜想”,我们探讨一种简捷的初等证明方法,要证明孪生素数对无穷的情形,我们可以把这样的情形转换到间接地利用奇合数的个数来加以理论分析,从而判定孪生素数对是否无穷。
关键词:
特异奇数;特异奇合数;孪生素数;孪生素数猜想。
引言
孪生素数猜想,最初由古希腊数学家欧几里得提出,表述为:
在自然数中,存在无穷多个素数p,有(p+2)也是素数。
正文
孪生素数的概念:
当两个素数的差为2时,这样的两个素数称为孪生素数。
如:
3和5,5和7,11和13,17和19,29和31等等。
现在把由全体奇数组成的集合,称为奇数集合。
记为G。
定义1:
奇数集合G中(除1外),不能被3整除的整数,称为特异奇数。
如:
5,7,11,13,17,19,23,25,29,……。
定义2:
由全体特异奇数组成的集合,称为特异奇数集合。
记为G′。
定理1:
任一特异奇数均可表为6k+1或6k-1的形式,k∈N,k>0。
证明:
因为集合G中能被3整除的整数均可表为3(2m-1)的形式,m∈N,m>0。
则3(2m-1)+2=6m-1,3(2m-1)-2=6(m-1)+1,对于[6(m-1)+1],令m>1。
(6m-1)和[6(m-1)+1]均为不能被3整除的奇数,根据定义1,(6m-1)为特异奇数,[6(m-1)+1](m>1)为特异奇数。
故定理1成立。
定义3:
我们把既是特异奇数,又是素数的整数,称为特异素数。
如:
5,7,11,13,17,19等等。
定义4:
我们把既是特异奇数,又是合数的整数,称为特异奇合数。
如:
25,35,49,55,77等等。
定理2:
对于任一特异奇合数a,a均可表为下列三种形式之一:
(1)a=36kh-6k-6h+1,
(2)a=36kh+6k+6h+1,
(3)a=36kh+6k-6h-1,
其中k∈N,h∈N,k>0,h>0。
证明:
对于任一特异奇合数a,a总可以分解为两个特异奇数的乘积,我们令a=bc,根据定理1,b=6k+1或6k-1,k∈N,k>0,c=6h+1或6h-1,h∈N,h>0。
则有:
(1)、a=(6k-1)(6h-1)=36kh-6k-6h+1,
(2)、a=(6k+1)(6h+1)=36kh+6k+6h+1,(3)、a=(6k+1)(6h-1)=36kh-6k+6h-1,(4)、a=(6k-1)(6h+1)=36kh+6k-6h-1。
因为{36kh+6k-6h-1/k,h=1、2、3、…、n、…}={36kh-6k+6h-1/k,h=1、2、3、…、n、…},故定理2成立。
定理3:
对于特异奇数a和b,a=6k-1,b=6k+1,k∈N,k>0,关于下列不定方程:
6xy-x-y=k
(1)
6xy+x+y=k
(2)
6xy+x-y=k(3)
若不定方程
(1),
(2),(3)均无正整数解,那么特异奇数a和b为孪生素数。
证明:
假定特异奇数a和b不为孪生素数,因为a=6k-1,b=6k+1,k∈N,k>0,那么特异奇数a和b中至少有一个特异奇数为特异奇合数,(Ⅰ)我们不妨设特异奇数b为特异奇合数,根据定理2,我们令b=36pq-6p-6q+1,p∈N,q∈N,p>0,q>0,又令x=p,y=q,说明不定方程
(1)有正整数解,这与题设产生矛盾。
(Ⅱ)我们还是不妨设特异奇数b为特异奇合数,根据定理3,我们令b=36pq+6p+6q+1,p∈N,q∈N,p>0,q>0,又令x=p,y=q,说明不定方程
(2)有正整数解,这与题设产生矛盾。
(Ⅲ)我们不妨设特异奇数a为特异奇合数,根据定理2,我们令a=36pq+6p-6q+1,p∈N,q∈N,p>0,q>0,又令x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解,这与题设产生矛盾。
故定理3成立。
定义5:
我们把既是奇数又是合数的正整数,称为奇合数。
引理1:
对于任一正整数M(M>2),关于某一奇素数p,p<M,设集合{p,2p,3p,…,mp}中奇数的总个数与集合{1,2,3,4,5,6,…,M}中正整数的总个数的比值为t,则:
(1)、当mp=M时,t=1÷p;
(2)、当mp≠M时,t<1÷p。
其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数。
证明:
因为集合{p,2p,3p,…,mp}中共有m个奇数,集合{1,2,3,4,5,6,…,M}中共有M个正整数,那么集合{p,2p,3p,…,mp}中奇数的总个数与集合{1,2,3,4,5,6,…,M}中正整数的总个数的比值t为下列情形之一:
(ⅰ)、当mp=M时,t=m÷(mp)=1÷p;
(ⅱ)、当mp≠M时,因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数,那么mp<M,而t=m÷M<m÷(mp)=1÷p。
综上所述,引理1成立。
引理2:
对于一个相当大的正整数M,关于任一小于正整数M的奇素数p,设集合{p,2p,3p,…,mp}中正整数的总个数与集合{1,2,3,4,5,6,…,M}中正整数的总个数的比值为t,则t≈1÷p(其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数)。
证明:
对于任一奇素数p,集合{p,2p,3p,…,mp}有m个元素,集合{1,2,3,4,5,6,…,M}有M个无素,那么集合{p,2p,3p,…,mp}中正整数的总个数与集合{1,2,3,4,5,6,…,M}中正整数的总个数的比值t为下列情形之一:
(ⅰ)、当mp=M时,t=m÷(mp)=1÷p;
(ⅱ)、当mp≠M时,因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数,那么mp<M,我们令M=mp+h,那么h<p,所以mp<M=mp+h<(m+1)p,则m÷(m+1)p<t=m÷M<1÷p,因为正整数M相当大,那么正整数m也相当大,那么m÷(m+1)p≈1÷p≈m÷M,故t≈1÷p。
综上所述,引理2成立。
引理3:
对于任一比较大的正整数M,设奇素数p1,p2,p3,…,pt均为不大于√M的全体奇素数(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),那么在区间[√M,M]中任何一个奇合数a,奇合数a均能被集合{p1,p2,p3,…,pt}中某一个奇素数pi(i=1,2,3,…,t)整除。
证明:
设奇数a为区间[√M,M]中的一个奇合数,那么奇数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的乘积,我们在具体分析如下:
(1)、当M=bc,b≥3,c≥3,如果b=c,b和c均为素数,那么M=b2=c2;则素数b不大于√M;
(2)、当M=bc,b≥3,c≥3,如果b=c,b和c均为奇合数,那么奇合数b中必有一个奇素数因子q小于√M;
(3)、当M=bc,b≥3,c≥3,如果b>c,b和c均为奇合数,那么奇合数c中必有一个奇素数因子q小于√M;
(4)、当M=bc,b≥3,c≥3,如果b>c,b和c均为奇素数,那么奇素数c小于√M;
(5)、设奇数a为区间[√M,M)中的一个奇合数,令奇合数a=bc,b≥3,c≥3,a<M,如果b=c,b和c均为素数,那么奇素数b小于√M奇素数;
(6)、设奇数a为区间[√M,M)中的一个奇合数,令奇合数a=bc,b≥3,c≥3,a<M,如果b=c,b和c均为奇合数,那么奇合数b中必有一个素数因子p小于√M;
(7)、设奇数a为区间[√M,M)中的一个奇合数,令奇合数a=bc,b≥3,c≥3,a<M,如果b≠c,b和c中一个为奇素数一个为奇合数,那么奇数b和c必为一大一小的奇数,不妨设小的一个奇数为奇素数,则小的一个奇素数小于√M;
(8)、设奇数a为区间[√M,M)中的一个奇合数,令奇合数a=bc,a<M,如果b≠c,b和c中一个为奇素数和一个为奇合数,那么奇数b和c必为一大一小的奇数,不妨设大的一个奇数为奇素数,那么小的一个奇数必为奇合数,不妨令小的一个奇数为c,则奇合数c总可以分解为素因子的乘积,其中任何一个素因子必小于√M。
综上所述,引理3成立。
推论1:
对于任一比较大的正整数M,设奇素数p1,p2,p3,…,pt均为除3外不大于√M的全体奇素数(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),那么在区间[√M,M]中任何一个特异奇合数a,特异奇合数a均能被集合{p1,p2,p3,…,pt}中某一个奇素数pi(i=1,2,3,…,t)整除。
证明:
与引理3同理可证。
定义6:
对于正实数x,符号〔x〕表示为不小于x的最小正整数;符号【x】表示为不大于x的最大正整数。
引理4:
设有一个相当大的正整数M,对于任一小于正整数M的奇素数p,集合{p,2p,3p,…,mp}中正整数的总个数为m,其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数,那么m≤M÷p。
证明:
(ⅰ)、当mp=M时,那么m=M÷p;
(ⅱ)、当mp≠M时,因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数,我们设M=mp+k,显然k为正整数,且k<p,那么m<(mp+k)÷p,即m<M÷p。
综上所述,引理4成立。
引理5:
对于一个相当大的奇数M,关于任何两个均小于正整数M的奇素数p和q(p≠q),若在集合{1,3,5,7,9,…,M}中筛除属于集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中的全体元素和筛除属于集合{q,3q,5q,7q,9q,…,(2m´-1)q}中的全体元素,则有下列不等式成立:
W-【W÷p】-【W÷q】+【W÷(pq)】≈【W(1-1÷p)(1-1÷q)】。
其中W为集合{1,3,5,7,9,…,M}中元素的个数,(2m-1)p为该形式下不大于奇数M的最大奇数,(2m´-1)q为该形式下不大于奇数M的最大奇数。
证明:
对于一个相当大的奇数M,由引理1和引理2以及引理3和引理4可知,关于任一小于奇数M的奇素数g,那么集合{g,3g,5g,7g,9g,…,(2m-1)g}中奇数的总个数与集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数的比值约等于1÷g,其中(2m-1)g为该形式下不大于奇数M的最大正整数;那么任何两个均小于正整数M的奇素数p和q(p≠q),若要在集合{1,3,5,7,9,…,M}中筛除属于集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中的全体奇数和筛除属于集合{q,3q,5q,7q,9q,…,(2m´-1)q}中的全体奇数,又因【W÷p】≈W÷p,【W÷q】≈W÷q,【W÷(pq)】≈W÷(pq),则有W-【W÷p】-【W÷q】+【W÷(pq)】≈〔W(1-1÷p)〕-【W÷q(1-1÷p)】≈【W(1-1÷p)(1-1÷q)】,其中W为集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数。
故引理5成立。
引理6:
对于一个相当大的奇数M,设奇素数p1,p2,p3,…,pt均为不大于√M的全体奇素数(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),若需在集合{1,3,5,7,9,…,M}中筛除全体奇合数,那么只需在集合{1,3,5,7,9,…,M}中筛除属于集合{p1,3p1,5p1,7p1,9p1,…,(2m-1)p1}中的全体元素,筛除属于集合{p2,3p2,5p2,7p2,9p2,…,(2m-1)p2}中的全体元素,筛除属于集合{p3,3p3,5p3,7p3,9p3,…,(2m-1)p3}中的全体元素,…,筛除属于集合{pt,3pt,5pt,7pt,9pt,…,(2m-1)pt}中的全体元素;则有下列不等式成立:
W-(【W÷p1】+【W÷p2】+【W÷p3】+…+【W÷pt】)+[【W÷(p1p2)】+【W÷(p1p3)】+【W÷(p1p4)】+…+【W÷(pt-1pt)】]-[(【W÷(p1p2p3)】+【W÷(p1p2p4)】+【W÷(p1p2p5)】+…+【W÷(pt-2pt-1pt)】]+…+(-1)t【W÷(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】≈【W(1-1÷p1)(1-1÷p2)(1-1÷p3)…(1-1÷pt-1)(1-1÷pt)】。
其中W为集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数,(2m-1)p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数,(2m-1)p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数,(2m-1)p3为该形式下不大于奇数M的最大奇数,…,(2m-1)pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数,(2m-1)pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。
证明:
由引理2和引理3以及引理4和引理5可知,因为在区间[√M,M]中的任何一个奇合数a,奇合数a均能被集合{p1,p2,p3,…,pt}中某一个奇素数pi整除,那么W-(【W÷p1】+【W÷p2】+【W÷p3】+…+【W÷pt】)+[【W÷(p1p2)】+【W÷(p1p3)】+【W÷(p1p4)】+…+【W÷(pt-1pt)】]-[(【W÷(p1p2p3)】+【W÷(p1p2p4)】+【W÷(p1p2p5)】+…+【W÷(pt-2pt-1pt)】]+…+(-1)t【W÷(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】=W-【W÷p1】-(【W÷p2】-【W÷(p1p2)】)-(【W÷p3】-【W÷(p1p3)】-【W÷(p2p3)】+【W÷(p1p2p3)】)-…-(【W÷pt】-【W÷(p1pt)】-【W÷(p2pt)】-【W÷(p3pt)】-…-【W÷(pt-1pt)】+【W÷(p1p2pt)】+【W÷(p1p3pt)】+【W÷(p1p4pt)】+…+【W÷(pt-2pt-1pt)】)-…+(-1)t【W÷(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】≈〔W(1-1÷p1)〕-【W÷p2(1-1÷p1)】-(【W÷p3】-【W÷(p1p3)】-【W÷(p2p3)】+【W÷(p1p2p3)】)-…-(【W÷pt】-【W÷(p1pt)】-【W÷(p2pt)】-【W÷(p3pt)】-…-【W÷(pt-1pt)】+【W÷(p1p2pt)】+【W÷(p1p3pt)】+【W÷(p1p4pt)】+…+【W÷(pt-2pt-1pt)】)-…+(-1)t【W÷(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】≈【W(1-1÷p1)(1-1÷p2)】-(【W÷p3(1-1÷p1)(1-1÷p2)】)-…-(【W÷pt】-【W÷(p1pt)】-【W÷(p2pt)】-【W÷(p3pt)】-…-【W÷(pt-1pt)】+【W÷(p1p2pt)】+【W÷(p1p3pt)】+【W÷(p1p4pt)】+…+【W÷(pt-2pt-1pt)】)-…+(-1)t【W÷(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】≈【W(1-1÷p1)(1-1÷p2)(1-1÷p3)】-…+(-1)t【W÷(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】≈【W(1-1÷p1)(1-1÷p2)(1-1÷p3)…(1-1÷pt-1)(1-1÷pt)】。
故引理9成立。
定理4:
孪生素数对无限多。
证明:
由定理3可知,对于下列不定方程:
6xy-x-y=k
(1)
6xy+x+y=k
(2)
6xy+x-y=k(3)
k∈N,k>0,若不定方程
(1),
(2),(3)均无正整数解,那么特异奇数a和b为孪生素数。
对于6xy-x-y=k,我们设为6mn-m-n,可以转换为:
5m-1,11m-2,17m-3,23m-4,29m-5,35m-6,41m-7,…,(6n-1)m-n,…;对于6xy+x+y=k,我们设为6mn+m+n,可以转换为:
7m+1,13m+2,19m+3,25m+4,31m+5,37m+6,43m+7,49m+8,55m+9,61m+10,67m+11,…,(6n+1)m+n,…;对于6xy+x-y=k,我们设为6mn-m+n,可以转换为:
5m+1,11m+2,17m+3,23m+4,29m+5,35m+6,41m+7,…,(6n-1)m+n,…。
从上面的情形,不难得出集合{4,9,14,19,…,(5m-1),…}包含集合{29,64,99,…,(35m-6),…},集合{8,15,22,29,…,(7m+1),…}包含集合{57,106,155,…,(49m+8),…},集合{6,11,16,21,…,(5m+1),…}包含集合{41,76,111,…,(35m+6),…};而集合{9,14,19,24,…,(5m+4),…}包含集合{29,54,79,…,(25m+4),…},集合{9,14,19,24,…,(5m+4),…}包含集合{64,119,174,…,(55m+9),…}。
所以我们就只考虑奇素数的情形。
显然集合{4,9,14,19,…,(5m-1),…}∩{6,11,16,21,…,(5m+1),…}=ф,{4,9,14,19,…,(5m-1),…}∩{9,14,19,24,…,(5m+4),…}=ф,{6,11,16,21,…,(5m+1),…}∩{9,14,19,24,…,(5m+4),…}=ф,{9,20,31,42,…,(11m-2),…}∩{13,24,35,46,…,(11m+2),…}=ф,…,{[pt-(pt+1)÷6],[2pt-(pt+1)÷6],[3pt-(pt+1)÷6],…,[ptmt-(pt+1)÷6]}∩{[pt+(pt+1)÷6],[2pt+(pt+1)÷6],[3pt+(pt+1)÷6],…,[ptmt+(pt+1)÷6]}=ф。
根据推论1,对于任一比较大的正整数M,设奇素数p1,p2,p3,…,pt均为除3外不大于√M的全体奇素数(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),设集合{1,2,3,4,5,…,(M-2),(M-1)}中元素的总个数为W;我们用【W÷p1】表示集合{4,9,14,19,…,(5m1-1)}中全体整数的总个数,【W÷p1´】表示集合{6,11,16,21,…,(5m1´+1)}中全体整数的总个数,【W÷p1"】表示集合{9,14,19,24,…,(5m1"+4)}中全体整数的总个数,【W÷p2】表示集合{8,15,22,29,…,(7m2+1)}中全体整数的总个数,【W÷p3】表示集合{9,20,31,42,…,(11m3-2)}中全体整数的总个数,【W÷p3´】表示集合{13,24,35,46,…,(11m3´+2)}中全体整数的总个数,【W÷(p1p2)】表示集合{4,9,14,19,…,(5m1-1)}∩{8,15,22,29,…,(7m2+1)}中全体整数的总个数,【W÷(p2p1´)】表示集合{6,11,16,21,…,(5m1´+1)}∩{8,15,22,29,…,(7m2+1)}中全体整数的总个数,【W÷(p1"p2)】表示集合{9,14,19,24,…,(5m1"+4)}∩{8,15,22,29,…,(7m2+1)}中全体整数的总个数,【W÷(p1p3)】表示集合{4,9,14,19,…,(5m1-1)}∩{9,20,31,42,…,(11m3-2)}中全体整数的总个数,【W÷(p1p3´)】表示集合{4,9,14,19,…,(5m1-1)}∩{13,24,35,46,…,(11m3´+2)}中全体整数的总个数,…,【W÷(pt´pt-1´…p3´p2p1")】表示集合{9,14,19,24,…,(5m1"+4)}∩{8,15,22,29,…,(7m2+1)}∩{13,24,35,46,…,(11m3´+2)}∩…∩{[pt+(pt+1)÷6],[2pt+(pt+1)÷6],[3pt+(pt+1)÷6],…,[ptmt+(pt+1)÷6]}中全体整数的总个数。
其中整数(5m1-1)为该表达形式下不大于整数M的最大整数,整数(5m1´+1)为该表达形式下不大于整数M的最大整数,整数(5m1"+4)为该表达形式下不大于整数M的最大整数,…,整数[ptmt-(pt+1)÷6]为该表达形式下不大于整数M的最大整数,整数[ptmt+(pt+1)÷6]为该表达形式下不大于整数M的最大整数。
当正整数M相当大时,显然有【W÷p1】≈【W÷p1´】≈【W÷p1"】,【W÷p3】≈【W÷p3´】,【W÷p4】≈【W÷p4´】,【W÷p5】≈【W÷p5´】,…,【W÷pt】≈【W÷pt´】;【W÷(p1p2)】≈【W÷(p1´p2)】≈【W÷(p1"p2)】,【W÷(p1p3)】≈【W÷(p1´p3)】≈【W÷(p1"p3)】≈【W÷(p1p3´)】≈【W÷(p1´p3´)】≈【W÷(p1"p3´)】,【W÷(p2p3)】≈【W÷(p2p3´)】;【W÷(p1p2p3)】≈【W÷(p1´p2p3)】≈【W÷(p1"p2p3)】≈【W÷(p1p2p3´)】≈【W÷(p1´p2p3´)】≈【W÷(p1"p2p3´)】;…;【W÷(ptpt-1…p3p2p1)】【W÷(pt´pt-1´…p3p2p1")】≈…≈【W÷(pt´pt-1´…p3´p2p1")】。
根据减多了要加进来,加多了要减出去的原则;那么我们令u=W-【W÷p1】-【W÷p1´】-【W÷p1"】-【W÷p2】+【W÷(p1p2)】+【W÷(p1´p2)】+【W÷(p1"p2)】-【W÷p3】-【W÷p3´】+【W÷(p1p3)】+【W÷(p1´p3)】+【W÷(p1"p3)】+【W÷(p2p3)】+【W÷(p1p3´)】+【W÷(p1´p3´)】+【W÷(p1"p3´)】+【W÷(p2p3´)】-【W÷(p1p2p3)】-【W÷(p1´p2p3)】-【W÷(p1"p2p3)】-【W÷(p1p2p3´)】-【W÷(p1´p2p3´)】-【W÷(p1"p2p3´)】-【W÷p4】-【W÷p4´】+…+(-1)t【W÷(pt´pt-1´…p3´p2p1")】≈【W(1-3÷p1)(1-1÷p2)(1-2÷p3)(1-2÷p4)…(1-2÷pt-1)(1-2÷pt)】。
对于等式u´=【W(1-3÷p1)(1-1÷p2)(1-2÷p3)(1-2÷p4)…(1-2÷pt-1)(1-2÷pt)】,因为u=【W(1-3÷p1)(1-1÷p2)(1-2÷p3)(1-2÷p4)…(1-2÷pt-1)(1-2÷pt)】=【W×(2÷5)×(6÷7)×(9÷11)×(11÷13)×(15÷17)×…×(1-2÷pt-1)×(1-2÷pt)】>W÷pt,pt为不大于√M的最大奇素数,所以我们从比值(W÷pt)不难得出这样一个结论:
随着正整数M不断地增大,并且增大的幅度很大时,那么u´的值也会增大。
现在我们假定孪生素数对不存在无限多,那么就必然存在一个正整数X,从这个正整数X开始,后面的自然数不会存在孪生素数对,也就是说对于等式u´=【W(1-3÷p1)(1-1÷p2)(1-2÷p3)(1-2÷p4)…(1-2÷pt-1)(1-2÷pt)】,从正整数X开始,u´的值不会随着正整数M的增大而增大,这样就产生了矛盾。
所以假定孪生素数对不存在无限多不成立。
综上所述,定理4成立。
参考文献
[1]XX百科
[2]戎士奎,十章数论(贵州教育出版社)1994年9月第1版
[3]王文才,施桂芬,数学小辞典(科学技术文艺出版社)1983年2月第1版
[4]闵嗣鹤,严士健,初等数论(人民教育出版社)1983年2月第6版
[5]刘玉琏,付沛仁,数学分析(高等教育出版社)1984年3月第1版
二〇一五年一月二十三日
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