数学23讲义+第8章 83 正态分布曲线.docx
- 文档编号:3044628
- 上传时间:2022-11-17
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:97.11KB
数学23讲义+第8章 83 正态分布曲线.docx
《数学23讲义+第8章 83 正态分布曲线.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学23讲义+第8章 83 正态分布曲线.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学23讲义+第8章83正态分布曲线
8.3
正态分布曲线
[读教材·填要点]
1.正态曲线及其特点
(1)正态曲线的概念:
函数p(x)=e
,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③p(x)在x=μ处达到最大值;
④当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
⑤当μ一定时,σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡;
⑥曲线与x轴之间所夹的面积等于1.
2.标准正态分布
随机变量X为服务从参数为μ和σ2的正态分布,简记为X~N(μ,σ2).
特别当μ=0,σ2=1时称为标准正态分布,其密度函数记为φ(x)=e
(-∞ (3)正态分布在三个特殊区间内取值的概率. P(μ-σ P(μ-2σ P(μ-3σ [小问题·大思维] 1.正态曲线φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义是什么? 提示: 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值E(X)去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本方差D(X)去估计. 2.如何由正态曲线求随机变量X在(a,b]的概率值? 提示: 随机变量X落在区间(a,b]的概率为P(a<X≤b)≈φμ,σ(x)dx,即由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积,就是随机变量X落在区间(a,b]的概率近似值,如图所示. 3.设两个正态分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图像如图所示.则μ1与μ2,σ1与σ2的大小关系是什么? 提示: 根据正态分布曲线的性质: 正态分布曲线是一条关于x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”. 故μ1<μ2,σ1<σ2. 也可通过比较两图象的最高点来判断, 和, 显然有μ1<μ2,>, ∴σ1<σ2. 正态曲线及其性质 [例1] 某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( ) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 [解析] 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. [答案] A 利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合图象可求σ. (3)由σ的大小区分曲线的胖瘦. 1.若一个正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为,求该正态分布的概率密度函数的解析式. 解: 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数, 所以正态曲线关于y轴对称,即μ=0,而正态分布的概率密度函数的最大值是, 所以=, 解得σ=4. 故函数的解析式为φμ,σ(x)=·e , x∈(-∞,+∞). 利用正态分布的对称性求概率 [例2] 设X~N(1,22),试求: (1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5). [解] 因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827. (2)因为P(3<X≤5)=P(-3 所以P(3<X≤5)=[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] =[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] =[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] =(0.9545-0.6827)=0.1359. 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(μ-σ P(μ-2σ (3)注意概率值的求解转化: ①P(X ②P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); ③若b<μ, 则P(X 2.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(X 解析: 由正态分布图象的对称性可得:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学23讲义+第8章 83 正态分布曲线 数学 23 讲义 正态分布 曲线