利用空间向量解立体几何.docx
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利用空间向量解立体几何
向量法解立体几何
引言
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:
一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。
教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难,下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法,起到一个抛砖引玉的作用。
基本思路与方法
一、基本工具
1.数量积:
ababcos
3.直线AxByC0的法向量为A,B,方向向量为B,A
4.平面的法向量(略)
二、用向量法解空间位置关系
1.平行关系
线线平行
线面平行
面面平行
2.垂直关系
两线的方向向量平行
线的方向向量与面的法向量垂直
两面的法向量平行
线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直
线面垂直线与面的法向量平行
面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离
1.点点距离
点Px1,y1,z1
与Qx2,y2,z2的
uuur距离为PQ
求点P
x0,y0
到直线l:
Ax
ByC0的距离:
方法:
在直线上取一点Q
x,y,
uuur
则向量uPuQur在法向量
uuur
PQ
n
n
Ax0By0C
nA,B上的射影
A2B2
即为点P到l的距离.
3.点面距离
求点Px0,y0到平面的距离:
方法:
在平面上去一点Qx,y,得向量uPuQur,计算平面的法向量n,
计算uPuQur在上的射影,即为点P到面的距离.
四、用向量法解空间角
1.线线夹角(共面与异面)
线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角
2.线面夹角
求线面夹角的步骤:
①先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若
为钝角,则取其补角;
②再求其余角,即是线面的夹角.
3.面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.
实例分析
、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线a,b所成角θ,只要在两条异面直线
uuuruuuruuuruuur
θ或π-θ,因为θ
1、运用法向量求直线和平面所成角
设平面α的法向量为rn=(x,y,1),则直线
uuurr
AB?
n
AB
?
n
2、运用法向量求二面角
a,b上各任取一个向量AA'和BB',则角
uruururuururuur
设二面角的两个面的法向量为n1,n2,则
这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定
是所求,还是π-
二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为在a、b上任取一点A、B,则异面直线
uuurr
d=AB·cos∠BAA'=|ABr?
n|
|n|
略证:
如图,EF为a、b的公垂线段,a'为过F与a平行的直
线,
在a、b上任取一点A、B,过A作AA'//EF,交a'于A',uuuu?
rˉruuurr
则AA?
ˉ//n,所以∠BAA'=
∴异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA'=|ABr?
n|*
|n|
rrruuuruuur其中,nr的坐标可利用a、b上的任一向量a,b(或图中的AE,BF),
r
及n的定义得
r
解方程组可得n
rrrr
nan?
a0
rrrr
nbn?
b0
2、求点到面的距离
求A点到平面α的距离,设平面α的法向量法为n(x,y,1),在α内
任取一点B,则A点到平面α的距离为d=|ABr?
n|,nr的坐标由nr与|n|
平面α内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所述,若方程组无解,则法向量与XOY平面平行,此时可改设nr(1,y,0),下同)。
3、求直线到与直线平行的平面的距离
求直线a到平面α的距离,设平面α的法向量法为nr(x,y,1),在直线a上任取一点A,在平面α内任取一点B,则直线a到平面α的距uuurr
离d=|ABr?
n|
|n|
4、求两平行平面的距离
设两个平行设平面α、β的公共法向量法为rn(x,y,1),在平面α、βuuurr内各任取一点A、B,则平面α到平面β的距离d=|ABr?
n|
|n|
三、证明线面、面面的平行、垂直关系
uruur
设平面外的直线a和平面α、β,两个面α、β的法向量为n1,n2,则uruur
a//an1aa//n1
uruururuur
//n1//n2n1n2
四、应用举例:
例1:
如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD
=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.
(1)求二面角C—DE—C1的正切值;
(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解:
(I)以A为原点,
uuruuuruuur
AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴的正向建
立空间直角坐标系,则D(0,3,0)、C1(4,3,2)uuur于是,DE(3,设法向量nruuurnDEruuurnEC1
D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、
uuuruuur
3,0),EC1(1,3,2),FD1(4,2,2)
(x,y,2)与平面C1DE垂直,则有3x3y0
x3y2z0
1,2),
(0,0,2)与平面
n(
Q向量AA1
ruuur
n与AA1所成的角为二面角CDEruuurn?
AA1uruuu1ur|n||AA1|
2
2
II)设EC1与FD1所成角为β,则
Qcos
tan
cos
1,uuur
CDE垂直
1010
11400
C1的平面角
6
3
22
4
uuuruuur
EC1?
FD1
|EC1||FD1|
1(4)3222
1222
3222(4)22222
21
14
例2:
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是
菱形,∠DAB=600,PD⊥平面ABCD,PD=AD,
点E为AB中点,点F为PD中点。
1)
证明平面PED⊥平面PAB;
2)
求二面角P-AB-F的平面角的余弦值
证明:
1)∵面ABCD是菱形,∠DAB=600,
∴△ABD是等边三角形,又
E是AB中点,连结BD
∴∠EDB=300,∠BDC=600,
∴∠EDC=900,
如图建立坐标系D-ECP,设
AD=AB=1,则PF=FD=12,
ED=2,
∴P(0,0,1),E(23,0,0),B(23,
12,0)
uuur31
∴PB=(23,21,-1),
uuur3
PE=(23,
0,
-1)
平面PED的一个法向量为
uuur
DC=(0,1,
0)
设平面PAB的法
向量为n=
x,y,1)
由nr
n
uuur
PB
uuur
PE
(x,y,1)?
1
12,1)0
(x,y,1)?
0,1)0
3x
x
2
3x
x
2
12y1
10
2
n=(23
0,1)
uuurr∵DC·n=0
uuurr
即DC⊥n∴平面PED⊥平面PAB
2)解:
由
(1)知:
平面PAB的法向量为nr=(
0,1),设平面
FAB的法向量为n1=(x,y,-1),
由
(1)知:
1uuur
F(0,0,12),FB=
3,
2,
1,
2,
12),
uur
FE
23,0,
2
-12),
n1
n1
uuurFBuuurFE
(x,y,
(x,y,
311
1)?
(3,1,1)0
222
1)?
(3,0,1)0
22
3
x
2
3
x
2
1
2y
10
2
∴n1=
1
-13,0,-1)
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值
cos
|cos
57
14
433
33
例3:
在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:
D1H⊥AP;(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
解:
(Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1,
∵棱长为4
∴A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1)uuruuuur
∴AP=(-4,4,1),显然DC=(0,4,0)为平面BCC1B1的一个法向量
∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sin
uuur16
DC>|=42421?
42
∵θ为锐角,∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin433
33
r
(Ⅲ)设平面ABD1的法向量为n=(x,y,1),
uuru
∵AB=
uuuur
(0,4,0),AD1=(-4,0,4)
ruururuuuur由n⊥AB,n⊥AD1
得4x40
∴nr=(1,0,1),
∴点P到平面ABD1的距离d=
uuurr
32
2
例4:
在长、宽、高分别为2,2,
3的长方体
ABCD-A1B1C1D1
中,O是底面中心,求A1O与B1C的距离。
解:
如图,建立坐标系D-ACD
1,
则O(1,
A1(2,2,3),C(0,2,0)
uuuruuur
∴A1O(1,1,3)B1C(2,0,3)
uuuur
A1B1(0,2,0)
设A1O与B1C的公共法向量为
(x,y,1),
ruuur
nA1O(x,y,1)?
(1,1,3)0
ruuur
nB1C(x,y,1)?
(2,0,3)0
2
n(23,32,1)
22
∴A1O与B1C的距离为
uuuurrd=|A1Br1?
n||n|
0,2,0?
3,3,1
22
22
32321
221
x
2x
3
11
y3
30
322
11
例5:
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E、F分别是B1C1、
C1D1的中点,求A1到面BDFE的距离。
解:
如图,建立坐标系D-ACD1,
1
1),E(21,1,1)
uuuruuur
∴BD(1,1,0)BE
1
12,0,1)
设面BDFE的法向量为
(x,y,1)
则B(1,1,0),A1(1,0,
uuur
A1B(0,1,1)
uuurr
=|A1Br?
n|=
|n|
求点D1到面BDE的距离.
uuur
BD
(x,y,1)?
(
1,1,0)0
xy0
x2
uuur
1
1
y2
BE
(x,y,1)?
(
2,0,1)0
x10
2
r
∴n
(2,2,1)
A1
到面
BDFE的
距离为
d
0,1,1?
2,2,1
3|
1
1
nrn
|
3
五、课后练习:
1、如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.
(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线;
(2)
2、已知正方形ABCD,边长为1,过D作PD⊥平面ABCD,且PD=1,E、F分别是AB和BC的中点,
(1)求D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离
3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2(如图)
1)求证:
平面A1BC1//平面ACD1;
2)求
(1)中两个平行平面间的距离;
3)求点B1到平面A1BC1的距离。
4、如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,
AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC.
Ⅰ)证明:
SE=2EB;
222
(x2x1)(y2y1)(z2z1)
2.点线距离
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