最新初二数学压轴几何证明题含答案.docx

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最新初二数学压轴几何证明题含答案

1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．

（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；

（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问

（1）中所得的结论是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．

解：

（1）EG⊥CG，

=

，

理由是：

过G作GH⊥EC于H，

∵∠FEB=∠DCB=90°，

∴EF∥GH∥DC，

∵G为DF中点，

∴H为EC中点，

∴EG=GC，GH=

（EF+DC）=

（EB+BC），

即GH=EH=HC，

∴∠EGC=90°，

即△EGC是等腰直角三角形，

∴

=

；

（2）

解：

结论还成立，

理由是：

如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，

∵在△EFG和△HDG中

∴△EFG≌△HDG（SAS），

∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，

∴EF∥DH，

∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，

∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，

在△EBC和△HDC中

∴△EBC≌△HDC．

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，

∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵G为EH的中点，

∴EG⊥GC，

=

，

即

（1）中的结论仍然成立；

（3）

解：

连接BD，

∵AB=

，正方形ABCD，

∴BD=2，

∴cos∠DBE=

=

，

∴∠DBE=60°，

∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，

∴∠ABF=45°-15°=30°，

∴tan∠ABF=

，

∴DE=

BE=

，

∴DF=DE-EF=

-1．  

解析：

（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=

（EF+DC）=

（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；

（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；

（3）连接BD，求出cos∠DBE=

=

，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．

2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG．

（1）延长EG交DC于H，试说明：

DH=BE．

（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G（如图2），莎莎同学发现：

EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：

若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？

请写出来．

（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度α（0＜α＜90°），再连接DF，取DF的中点G（如图3），第2问中的结论是否成立？

若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．

（1）证明：

∵∠BEF=90°，

∴EF∥DH，

∴∠EFG=∠GDH，

而∠EGF=∠DGH，GF=GD，

∴△GEF≌△GHD，

∴EF=DH，

而BE=EF，

∴DH=BE；

（2）连接DB，如图，

∵△BEF为等腰直角三角形，

∴∠EBF=45°，

而四边形ABCD为正方形，

∴∠DBC=45°，

∴D，E，B三点共线．

而∠BEF=90°，

∴△FED为直角三角形，

而G为DF的中点，

∴EG=GD=GC，

∴∠EGC=2∠EDC=90°，

∴EG=CG且EG⊥CG；

（3）第2问中的结论成立．理由如下：

连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，

∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，

∴OG∥BF，GM∥OB，

∴四边形OGMB为平行四边形，

∴OG=BM，GM=OB，

而EM=BM，OC=OB，

∴EM=OG，MG=OC，

∵∠DOG=∠GMF，

而∠DOC=∠EMF=90°，

∴∠EMG=∠GOC，

∴△MEG≌△OGC，

∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，

又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，

∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，

∴EG=CG且EG⊥CG．  

解析：

（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到结论．

（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到结论．

（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，则△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．

3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．

（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；

（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问

（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论；

（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问

（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

解：

（1）EG=CG且EG⊥CG．

证明如下：

如图①，连接BD．

∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，

∴∠EBF=∠DBC=45°．

∴B、E、D三点共线．

∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，

∴EG=DG=GF=CG．

∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．

∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，

即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．

（2）仍然成立，

证明如下：

如图②，延长EG交CD于点H．

∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠4，FG=DG，

∴△FEG≌△DHG，

∴EF=DH，EG=GH．

∵△BEF为等腰直角三角形，

∴BE=EF，∴BE=DH．

∵CD=BC，∴CE=CH．

∴△ECH为等腰直角三角形．

又∵EG=GH，

∴EG=CG且EG⊥CG．

（3）仍然成立．

证明如下：

如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．

∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，

∴△HFG≌△CDG，

∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，

∴HF∥CD．

∵正方形ABCD，

∴HF=BC，HF⊥BC．

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，

∴△BEC≌△FEH，

∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，

∴∠BEF=∠HEC=90°，

∴△ECH为等腰直角三角形．

又∵CG=GH，

∴EG=CG且EG⊥CG．

解析：

（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；

（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：

EG=CG且EG⊥CG．

（3）首先证明：

△BEC≌△FEH，即可证得：

△ECH为等腰直角三角形，从而得到：

EG=CG且EG⊥CG．

已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．

（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为______；

（2）

（2）如图2，若△BEF的直角边BE在BC上，则

（1）中的结论是否还成立？

请说明理由；（3）如图3，若△BEF的直角边BE在∠DBC内，则

（1）中的结论是否还成立？

说明理由．

1

2

1

2

解：

（1）GC=EG，（1分）理由如下：

∵△BEF为等腰直角三角形，

∴∠DEF=90°，又G为斜边DF的中点，∴EG=DF，

∵ABCD为正方形，

∴∠BCD=90°，又G为斜边DF的中点，∴CG=DF，

∴GC=EG；

（2）成立．如图，延长EG交CD于M，

1

2

∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，∴EF∥CD，

∴∠EFG=∠MDG，

又∠EGF=∠DGM，DG=FG，

∴△GEF≌△GMD，

∴EG=MG，即G为EM的中点．

∴CG为直角△ECM的斜边上的中线，

∴CG=GE=EM；

（3）成立．

取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．

∵CB=CD，∠DCB=90°，∴CO=BD

1

2

1

2

．

∵DG=GF，

∴GH∥BD，且GH=BD，

1

2

OG∥BF，且OG=BF，

∴CO=GH．

1

2

∵△BEF为等腰直角三角形．

∴EH=BF

∴EH=OG．

∵四边形OBHG为平行四边形，

∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．

∴∠GOC=∠EHG．

∴△GOC≌△EHG．

∴EG=GC．

此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．

解析：

（1）EG=CG，理由为：

根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到∠DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；

（2）成立．理由为：

延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；

（3）成立．理由为：

取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于BF的一半，根据等量代换得到OG与EH相等，再根据OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

小学生习惯养成教育三字经

小学生行为三字经

1.守纪律　循秩序　爱集体　摒私欲　讲文明　有情趣

2.排路队　紧跟随　快静齐　守交规　保平安  把家回

3.讲卫生　防病症　勿乱扔  桌椅整  勤保洁　体质增

4.广播操　很重要　天天练　身体好　雏鹰飞　长空翱

5.眼保健　莫等闲　坐姿正　内心恬　穴位准　不可偏

6.绿化带  人人爱  多呵护  别踩摘  草青青  花常开

小学生文明礼仪三字经

新世纪，好儿童。

懂礼仪，讲文明。

见老师，要鞠躬。

先问好，口齿清。

体端正，貌真诚。

面带笑，声含情。

尊师长，爱园丁。

为子弟，获先生。

如父母，岂敢轻。

升国旗，要庄重。

穿校服，要洁整。

昂起头，挺起胸。

齐肃立，怀崇敬。

须知道，旗色红。

是烈士，血染成。

好传统，经继承。

唱国歌，气势雄。

声刚健，血沸腾。

爱国心，油然生。

进校门，正仪容。

与年龄，要适应。

穿衣服，求洁净。

饰脸面，禁丹青。

切莫留，怪发型。

集会时，注意听。

该鼓掌，莫懈松。

小动作，万不能。

办公室，师办公。

若有事，莫匆匆。

轻敲门，恐扰惊。

上课前，听铃声。

进教室，应肃静。

回座位，坐如钟。

听讲课，要聚精。

提问题，要谦恭。

同学间，情意浓。

是伙伴，是友朋。

是姐妹，是兄弟。

应互助，莫嘲讽。

齐努力，同用功。

下课后，搞活动。

打与闹，都不行。

踢踢毽，跳跳绳。

打打球，吹吹风。

笑呵呵，喜盈盈。

兴冲冲，乐融融。

百花园，春潮涌。

新气象，日蒸蒸。

新世纪，好儿童。

懂礼仪，讲文明。

敬父母，爱家庭。

养育恩，记心中。

对父母，要温恭。

父母病，要侍奉。

父母言，要聆听。

孺子心，赤子情。

如火热，如月明。

小皇帝，惹人憎。

小公主，人不疼。

小主人，人人称。

做家务，爱劳动。

帮父母，把家撑。

不能做，寄生虫。

祖父母，应敬重。

敬老人，好家风。

家若和，万事兴。

新世纪，好儿童。

懂礼仪，讲文明。

全社会，大家庭。

多谦让，少纷争。

坐汽车，人拥挤。

让座位，要主动。

买东西，按队形。

守秩序，莫专横。

街上走，要从容。

切不可，乱折腾。

人问路，要告清。

切不可，把人懵。

去做客，应谦恭。

要善待，主人翁。

用餐时，要适中。

切不可，一扫空。

对外宾，要热情。

打招呼，表欢迎。

躺卧姿，坐立行。

言与笑，视与听。

各方面，各阶层。

礼仪繁，难说清。

做好事，最光荣。

莫忘记，学雷锋。

诸礼仪，贯其中。

我中华，古文明。

礼仪邦，举世称。

要发扬，待后生。

我中华，要振兴。

小学生文明习惯三字经

排队：

动作快，听指挥，不出声，脚步轻，横成行，竖成线，队伍整齐人人赞。

升旗：

升国旗，快静齐，先脱帽，后敬礼，唱国歌，须肃立，尊敬国旗懂礼仪

上课：

铃声响，进课堂，坐端正，看前方，敏于听，善于想，敢于说，长于写，乐交流，口齿清，声音亮，学生个性得张扬。