空间向量知识点归纳总结.docx
- 文档编号:30434604
- 上传时间:2023-08-15
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:237.76KB
空间向量知识点归纳总结.docx
《空间向量知识点归纳总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《空间向量知识点归纳总结.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
空间向量知识点归纳总结
・•••・••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••・・••••••••••••••••••••卡!
扌•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
空间向量知识点归纳总结
知识要点。
1。
空间向量的概念:
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量.
注:
(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向疑.
(2)空间的两个向量可用同一平而内的两条有向线段来表示.
2.空间向量的运算.
定义:
与平而向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
OB=OA+AB=a+b:
^=OA^OB=a^b\OP=Aa(AeR)运算律:
⑴加法交换律:
a+b=b+U
⑵加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
⑶数乘分配律:
A(ci+b)=Aa+Ab
3.共线向量。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量方平行于5,记作allb.
当我们说向量方、5共线(或allb)时,表示&、5的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线.
(2)共线向量定理:
空间任意两个向量N、b(5工6),allb存在实数人,使a=Xb.
40共面向量
(1)泄义:
一般地,能平移到同一平而内的向量叫做共而向量。
说明:
空间任意的两向量都是共面的。
(2)共而向量左理:
如果两个向量不共线"与向疑乳5共面的条件是存在实数兀〉,使”=xa+ybo
5.空间向量基本立理:
如果三个向量乳氏C不共而,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,Z,使p=xii+yb+Z.C。
若三向量打f不共而,我们把{a.h^c}叫做空间的一个基底.a.h.c叫做基向鱼空间任意三个不共面的向虽:
都可以构成空间的一个基底。
推论:
设O.A.B.C是不共而的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数忑”Z,使OP=xOA+yOB+zOC.
6c空间向量的直角坐标系:
(1)空间直角坐标系中的坐标:
在空间直角坐标系0-厂送中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组使
OA=5d+yi+2k,^序实数组(x,y,Z)叫作向量A在空间直角坐标系O-QN中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,乙叫竖坐标。
(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用
(1j^}表示。
(3)空间向量的直角坐标运算律:
①若a=(ava2,a3),b=(b^b2,b3),贝ija+b=(«,+bva2+b2,a3+by),a-b=(q-/?
ra2-b^a^-bj,Aa=(Aa{,Aa2.Aa3)(AeR),
ab=afy+a2b2+a打
allb<=>ax=砂,“2=视,“3=怂(久w/?
),
。
丄boqb]+a2b2+角伏=0。
②若人(州,廿也),3(尤2?
2弋2),则人〃=匕2-召,儿一”12-石)o
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
(6)两点间的距离公式:
若人0]」心),3(尤2」2必2),
贝IjlABI=\IaB~=yl(x2-xi)2+(y2-yl)2+(z2-z,y,
或^A.B=』(尤2一西)-+()‘2一XT+(?
2一乙J'
7.空间向量的数量积.
(1)空间向量的夹角及其表示:
已知两非零向量乳5,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则ZAOB叫做向量ci与5的夹角,记作;且规定0<
若<&/>=兰,则称&与5互相垂直,记作怖丄b°
(2)向量的模:
设OA=a^\有向线段丙的长度叫做向量刁的长度或模,记作:
山I。
(3)向量的数量积:
已知向^a,b,则iai-l^l-cos
=lnl-l/jlcos >0 (4)空间向量数量积的性质: ①ci-e=\a\cos 最新资料推荐 (5)空间向量数量积运算律: ①(Aa)b=A(ab)=a(Ab)•②a-b=ba(交换律)。 ®a(b+c)=a-b+a-c(分配律)。 (6): 空间向量的坐标运算: 1。 向量的直角坐标运算 设a=(ara2,a3),b=(b{,b2tb3)则 (1) (2)ci—b=(ax-bx.a2-b2,a3-b3); (4)a•b二qb]+a2b2+ajb3: a+b=(a)+bl9a2+b2>a3+b3); (3)X7二(加i,兄吆加3)(XeR);2.设A(X],)LZ]),B(X2』2,Z2),则AB=OB-OA=(x2-xl.y2-yrz2~Zl). —♦—♦ 3.设a=(x1,yI,zl),"(勺心屉),则 a\\bOa=Ab(b工6);"丄hOa-b=O<=>x{x2+yyy2+z}z2=0. 4. (Ad期) 夹角公式设〃=("1,“2,他),b cos=M+営也、。 Ja;+a;+&+b; 5.异而直线所成角 1州花+)卩2+砒2I T—♦ cos0=1cos/a.功I=g"I'. '/\a\-\b\yjxc+yc+zc-y]x^+y^+z2 6.平面外一点p到平而a的距禽 已知AB为平而a的一条斜线,n为平而a的一个法 向量,A到平面a的距离为: d=n' Ini 【典型例题】 例1.已知平行六面体ABCD-AECD,化简下列向量表达式,标出化简结果的向崑 (DAB+BC; (2)AB+AD+AA\ (3)AB+AD+-CC: ⑷-(AB+AD+A^)0 23 例2o对空间任一点0和不共线的三点人5C,问满足向量式: OP=xOA+yOB+zOC(中x+y+z=1)的四点P,A,3,C是否共而? B 例3・已知空间四边形OABCM对角线OB’ACMN分别是对边OA.BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,用基底向^OA,OB.OC表示 向量05・ 最新资料推荐 例4.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZQ4C=45」,ZQ4B=60,求OA与BC的夹角的余弦值。 八 说明: 由图形知向量的夹角易出错,如vCM,AC>=135易错写成<6M,AC>=45\切 记! 例5」长方体ABCD^Afi,C}D}中,AB=BC=4.E为与BQ的交点,F为BC、与B.C的交点,又AF丄BE,求长方体的髙BB、・ 二、填空题 4.若点A(l,2,3),8(—3,2,7),且走+茕=0,则点C的坐标为。 5.在正方体4BCD-A&CQ冲,直线AD与平而A.BQ夹角的余弦值为. 三、解答题 1、在正四棱柱ABCD-AiBCD冲,AB,与底面ABCD所成的角为仝, 4 (1)求证丄而AB】C (2)求二而角3—AC—B的正切值 2. 在三棱锥P-ABC中,AB=AC=3 AP=4,PA丄面ABC,ABAC=90°,D是PA中点,点E任BCJt,且BE=2CE,⑴求证: AC丄BD; (2)求直线DE与PC夹角&的余弦值: (3)求点A到平而BQE的距离〃的值. 3•在四棱锥P-ABCD中,底而ABCD是一直角梯形,,AD//BC,AB^BC=a.AD=2a.且PS丄底面ABCD、PD与底而成30°角. (1)若AELPD^E为垂足,求证: 亦丄刃: (2)求异而直线SE与CQ所成角的余弦值. 4、已知棱长为1的正方体-4Ci,E.F分别是AC,.GD的中点•⑴求证: E、F、D、万共 而: (2)求点儿到平而的於EF的距离;(3)求直线儿I)与平而切EF所成的角. 5、已知正方体ABCD~AbCD的棱长为2,点疋为棱曲的中点,求: (I)刀£与平而巧GD所成角的大小;(II)'而角D-BQ-C的大小; 【模拟试题】 1・已知空间四边形ABCD^结设M,G分别是BC.CD的中点,化简下列各表 ・•'•I•I•I■■・・■・•・■I• 达式,并标出化简结果向量: (1)AB+BC+CD, (2)AB+-(BD+BC)\2 一1一一 (3)AG一一(AB+AC). 2 2.已知平行四边形ABCD.从平面AC外一点O引向量。 OE=kOA.OF=kOB,OG=kOC.OH=kOD. (1)求证: 四点E、F,G、H共而; (2)平面ACII平而EG. 3.如图正方体ABCD-^QD,中"迟=0斤=丄人几 4 求与DR所成角的余弦。 4o已知空间三点A(02,3),B(-2J,6),C(1,-1,5)。 (1)求以向^AB.AC为一组邻边的平行四边形的而积S; ⑵若向量厅分别与向^AB.AC垂直.且1引=朽,求向量N的坐标. 5.已知平行六而体ABCD-AtB,CfD,中,AB=4,AD=3,AAf=5,ZBAD=907,Z.BAA! =Z.DAA! =60,求ACf的长。 最新资料推荐 [参考答案] 10解: 如图, )AB+BC+CD=AC+CD=AD III (2)AB+-(BD+BC)=AB+-BC+-BD. 222 =AB+BM+MG=AG (3)AG--(AB+AC)=AG-AM=MGO 2.解: (1)证明: •••四边形ABCD是平行四边形,.•.疋=而+丽 -EG=OG^OE9 =k・OC-k•刃=£(说一丙)=&疋=£(莊+X5) =k(OB^OA+OD^OA)=OF-OE+OH-OE =EF+EH •••E.FGH共而: (2)^: -EF=OF-OE=k(OB-OA)=kAB.^EG=kAC,: .EF//AB.EG//AC. 所以,平面AC//平而EG。 解: 不妨设正方体棱长为1•建立空间直角坐标系O-^z, 31 则3(1丄0)占(1,二,1),£>(0,0,0),^(0,-,1), 44 —-1—•1 •••硒=(0,-「1),砂=(0応,1), 44 ——•——•1115 BE、・DF\=0x0+(—x-)+lxl=— 4416 4. _,ABAC 分析: (1)・.・AB=(一2,—1,3),AC=(1,—3,2),・・・cosABAC=一_. \AB\\AC\ /.ZBAC=60°,z.S=\AB\\AC\sin60=7>/3 (2)设a=(x,y,z),则〃丄AB=>-2x-y+3z=0,刁丄AC=>x-3y+2z=0JJ1=>/3=>x2+y2+z2=3 1)。 解得x=y=z=l或x=y=z=・1,•: «=(1,b1)或«=(—1,一1,一5.解: IAC^^iAB+AD+A^)2 =IABI2+IADI2+IA? I2+2丽而+2莎Z? +2而 =42+32+52+2x4x3xcos90+2x4x5xcos60+2x3x5xcos60 =16+9+25+0+20+15=85所1=^85.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 空间 向量 知识点 归纳 总结