小学奥数.docx
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小学奥数
小学奥数基础教程(五年级)
第1讲定义新运算
(一)
我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外,还会有什么别的运算吗?
这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1对于任意数a,b,定义运算“*”:
a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解:
根据题目定义的运算要求,直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
3,x>=2,求x的值。
分析与解:
按照定义的运算,
<1,2,3,x>=2,
x=6。
由上面三例看出,定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号,如+,-,×,÷,<,>等,以防止发生混淆,而表示新运算的运算意义部分,应使用通常的四则运算符号。
如例1中,a*b=a×b-a-b,新运算符号使用“*”,而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
分析与解:
按新运算的定义,符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同,即先进行小括号中的运算,再进行小括号外面的运算。
有重新规定运算次序,所以应该按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解:
从已知的三式来看,运算“
”表示几个数相加,每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数,而符号后面的数是几,就表示几个数之和,其中第1个数是1位数,第2个数是2位数,第3个数是3位数……按此规定,得
3
5=3+33+333+3333+33333=37035。
从例5知,有时新运算的规定不是很明显,需要先找规律,然后才能进行运算。
练习1
1.如果m,n表示两个数,那么规定:
m¤n=4n-(m+n)÷2。
求3¤(4¤6)¤12的值。
2.定义两种运算“※”和“△”如下:
a※b表示a,b两数中较小的数的3倍,
a△b表示a,b两数中较大的数的2.5倍。
比如:
4※5=4×3=12,4△5=5×2.5=12.5。
计算:
[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。
3.对于任意自然数,定义:
n!
=1×2×…×n。
例如4!
=1×2×3×4。
那么1!
+2!
+3!
+…+100!
的个位数字是几?
第2讲定义新运算
(二)
例1已知a※b=(a+b)-(a-b),求9※2的值。
分析与解:
这是一道很简单的题,把a=9,b=2代入新运算式,即可算出结果。
但是,根据四则运算的法则,我们可以先把新运算“※”化简,再求结果。
a※b=(a+b)-(a-b)
=a+b-a+b=2b。
所以,9※2=2×2=4。
由例1可知,如果定义的新运算是用四则混合运算表示,那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下,不妨先化简表示式。
这样,可以既减少运算量,又提高运算的准确度。
例2定义运算:
a⊙b=3a+5ab+kb,
其中a,b为任意两个数,k为常数。
比如:
2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
(1)已知5⊙2=73。
问:
8⊙5与5⊙8的值相等吗?
(2)当k取什么值时,对于任何不同的数a,b,都有a⊙b=b⊙a,
即新运算“⊙”符合交换律?
分析与解:
(1)首先应当确定新运算中的常数k。
因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2
=65+2k,
所以由已知5⊙2=73,得65+2k=73,求得k=(73-65)÷2=4。
定义的新运算是:
a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244,
5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
因为244≠247,所以8⊙5≠5⊙8。
(2)要使a⊙b=b⊙a,由新运算的定义,有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka,
3a+kb-3b-ka=0,
3×(a-b)-k(a-b)=0,
(3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a,b,要使上式成立,必有3-k=0,即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时,具有交换律,即 a⊙b=b⊙a。
例3对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为a☆b,即a☆b=[a,b]-(a,b)。
比如,10和14的最小公倍数是70,最大公约数是2,那么10☆14=70-2=68。
(1)求12☆21的值;
(2)已知6☆x=27,求x的值。
分析与解:
(1)12☆21=[12,21]-(12,21)=84-3=81;
(2)因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式,所以不能直接把数代入表达式求x,只能用推理的方法。
因为6☆x=[6,x]-(6,x)=27,而6与x的最大公约数(6,x)只能是1,2,3,6。
所以6与x的最小公倍数[6,x]只能是28,29,30,33。
这四个数中只有30是6的倍数,所以6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。
因为a×b=[a,b]×(a,b),
所以6×x=30×3,由此求得x=15。
例4a表示顺时针旋转90°,b表示顺时针旋转180°,c表示逆时针旋转90°,d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求:
a◎b;b◎c;c◎a。
分析与解:
a◎b表示先顺时针转90°,再顺时针转180°,等于顺时针转270°,也等于逆时针转90°,所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°,再逆时针转90°,等于顺时针转90°,所以b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°,再顺时针转90°,等于没转动,所以c◎a=d。
对于a,b,c,d四种运动,可以做一个关于“◎”的运算表(见下表)。
比如c◎b,由c所在的行和b所在的列,交叉处a就是c◎b的结果。
因为运算◎符合交换律,所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
例5对任意的数a,b,定义:
f(a)=2a+1,g(b)=b×b。
(1)求f(5)-g(3)的值;
(2)求f(g
(2))+g(f
(2))的值;
(3)已知f(x+1)=21,求x的值。
解:
(1)f(5)-g(3)=(2×5+1)-(3×3)=2;
(2)f(g
(2))+g(f
(2))
=f(2×2)+g(2×2+1)
=f(4)+g(5)=(2×4+1)+(5×5)=34;
(3)f(x+1)=2×(x+1)+1=2x+3,
由f(x+1)=21,知2x+3=21,解得x=9。
练习2
1.设m,n是任意的自然数,A是常数,定义运算m⊙n=(A×m-n)÷4,并且2⊙3=0.75。
试确定常数A,并计算:
(5⊙7)×(2⊙2)÷(3⊙2)。
2.用a,b,c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动:
a表示顺时针旋转240°,b表示顺时针旋转120°,c表示不旋转。
运算“∨”表示“接着做”。
试以a,b,c为运算对象做运算表。
3.对于任意的自然数a,b,定义:
f(a)=a×a-1,g(b)=b÷2+1。
(1)求f(g(6))-g(f(3))的值;
(2)已知f(g(x))=8,求x的值。
第3讲图形的分割与拼接
怎样把一个图形按照要求分割成若干部分?
怎样把一个图形分割成若干部分后,再按要求拼接成另一个图形?
这就是本讲要解决的问题。
例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
分析与解:
本题要求分成面积相等的三角形,因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。
方法一:
将某一边等分成四份,连结各分点与顶点(见左下图)。
方法二:
画出某一边的中线,然后将中线二等分,连结分点与另两个顶点(见右上图)。
方法三:
找出三条边上的中点,然后如左下图所示连结。
方法四:
将三条边上的中点两两连结(见右上图)。
前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分,然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。
本题还有更多的分割方法。
例2将右图分割成五个大小相等的图形。
分析与解:
因为图中共有15个小正方形,所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3(个)小正方形的面积。
3个小正方形有
和
两种形式,于是可得到很多种分割方法,下图是其中的三种。
例3右图是一个4×4的方格纸,请在保持每个小方格完整的情况下,将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
分析与解:
因为分割成完全相同的两块,所以每块有8个小方格,并且这两块关于中心点对称。
下面是六种分割方法。
例4有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯,现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。
请将它剪成形状相同、面积相等的两块,使其正好铺满房间。
分析与解:
首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等,然后考虑如何
以可将原来的长分为4份,宽分为3份(见下页左上图),现在的长与宽如下页右上图。
容易得到下图所示的分割与拼接的方法。
例5用四块相同的不等腰的直角三角板,拼成一个外面是正方形,里面有正方形孔的图形。
分析与解:
右图所示的三角板,∠A是直角,∠B+∠C=90°。
因为要拼的图形有内外两个正方形,所以有将∠A作为外正方形的角(左下图)和拼内正方形的角(下中图)两种情况。
若三角板可以重叠放置,还有右下图所示的拼法。
练习3
1.试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。
2.用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整。
3.将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。
4.将下图分成两块,然后拼成一个正方形。
5.将一个正方形分成相等的4块,然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。
小学奥数基础教程(五年级)
第1讲定义新运算
(一)
我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外,还会有什么别的运算吗?
这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1对于任意数a,b,定义运算“*”:
a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解:
根据题目定义的运算要求,直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
3,x>=2,求x的值。
分析与解:
按照定义的运算,
<1,2,3,x>=2,
x=6。
由上面三例看出,定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号,如+,-,×,÷,<,>等,以防止发生混淆,而表示新运算的运算意义部分,应使用通常的四则运算符号。
如例1中,a*b=a×b-a-b,新运算符号使用“*”,而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
分析与解:
按新运算的定义,符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同,即先进行小括号中的运算,再进行小括号外面的运算。
有重新规定运算次序,所以应该按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解:
从已知的三式来看,运算“
”表示几个数相加,每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数,而符号后面的数是几,就表示几个数之和,其中第1个数是1位数,第2个数是2位数,第3个数是3位数……按此规定,得
3
5=3+33+333+3333+33333=37035。
从例5知,有时新运算的规定不是很明显,需要先找规律,然后才能进行运算。
练习1
1.如果m,n表示两个数,那么规定:
m¤n=4n-(m+n)÷2。
求3¤(4¤6)¤12的值。
2.定义两种运算“※”和“△”如下:
a※b表示a,b两数中较小的数的3倍,
a△b表示a,b两数中较大的数的2.5倍。
比如:
4※5=4×3=12,4△5=5×2.5=12.5。
计算:
[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。
3.对于任意自然数,定义:
n!
=1×2×…×n。
例如4!
=1×2×3×4。
那么1!
+2!
+3!
+…+100!
的个位数字是几?
第2讲定义新运算
(二)
例1已知a※b=(a+b)-(a-b),求9※2的值。
分析与解:
这是一道很简单的题,把a=9,b=2代入新运算式,即可算出结果。
但是,根据四则运算的法则,我们可以先把新运算“※”化简,再求结果。
a※b=(a+b)-(a-b)
=a+b-a+b=2b。
所以,9※2=2×2=4。
由例1可知,如果定义的新运算是用四则混合运算表示,那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下,不妨先化简表示式。
这样,可以既减少运算量,又提高运算的准确度。
例2定义运算:
a⊙b=3a+5ab+kb,
其中a,b为任意两个数,k为常数。
比如:
2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
(1)已知5⊙2=73。
问:
8⊙5与5⊙8的值相等吗?
(2)当k取什么值时,对于任何不同的数a,b,都有a⊙b=b⊙a,
即新运算“⊙”符合交换律?
分析与解:
(1)首先应当确定新运算中的常数k。
因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2
=65+2k,
所以由已知5⊙2=73,得65+2k=73,求得k=(73-65)÷2=4。
定义的新运算是:
a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244,
5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
因为244≠247,所以8⊙5≠5⊙8。
(2)要使a⊙b=b⊙a,由新运算的定义,有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka,
3a+kb-3b-ka=0,
3×(a-b)-k(a-b)=0,
(3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a,b,要使上式成立,必有3-k=0,即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时,具有交换律,即 a⊙b=b⊙a。
例3对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为a☆b,即a☆b=[a,b]-(a,b)。
比如,10和14的最小公倍数是70,最大公约数是2,那么10☆14=70-2=68。
(1)求12☆21的值;
(2)已知6☆x=27,求x的值。
分析与解:
(1)12☆21=[12,21]-(12,21)=84-3=81;
(2)因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式,所以不能直接把数代入表达式求x,只能用推理的方法。
因为6☆x=[6,x]-(6,x)=27,而6与x的最大公约数(6,x)只能是1,2,3,6。
所以6与x的最小公倍数[6,x]只能是28,29,30,33。
这四个数中只有30是6的倍数,所以6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。
因为a×b=[a,b]×(a,b),
所以6×x=30×3,由此求得x=15。
例4a表示顺时针旋转90°,b表示顺时针旋转180°,c表示逆时针旋转90°,d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求:
a◎b;b◎c;c◎a。
分析与解:
a◎b表示先顺时针转90°,再顺时针转180°,等于顺时针转270°,也等于逆时针转90°,所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°,再逆时针转90°,等于顺时针转90°,所以b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°,再顺时针转90°,等于没转动,所以c◎a=d。
对于a,b,c,d四种运动,可以做一个关于“◎”的运算表(见下表)。
比如c◎b,由c所在的行和b所在的列,交叉处a就是c◎b的结果。
因为运算◎符合交换律,所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
例5对任意的数a,b,定义:
f(a)=2a+1,g(b)=b×b。
(1)求f(5)-g(3)的值;
(2)求f(g
(2))+g(f
(2))的值;
(3)已知f(x+1)=21,求x的值。
解:
(1)f(5)-g(3)=(2×5+1)-(3×3)=2;
(2)f(g
(2))+g(f
(2))
=f(2×2)+g(2×2+1)
=f(4)+g(5)=(2×4+1)+(5×5)=34;
(3)f(x+1)=2×(x+1)+1=2x+3,
由f(x+1)=21,知2x+3=21,解得x=9。
练习2
1.设m,n是任意的自然数,A是常数,定义运算m⊙n=(A×m-n)÷4,并且2⊙3=0.75。
试确定常数A,并计算:
(5⊙7)×(2⊙2)÷(3⊙2)。
2.用a,b,c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动:
a表示顺时针旋转240°,b表示顺时针旋转120°,c表示不旋转。
运算“∨”表示“接着做”。
试以a,b,c为运算对象做运算表。
3.对于任意的自然数a,b,定义:
f(a)=a×a-1,g(b)=b÷2+1。
(1)求f(g(6))-g(f(3))的值;
(2)已知f(g(x))=8,求x的值。
第3讲图形的分割与拼接
怎样把一个图形按照要求分割成若干部分?
怎样把一个图形分割成若干部分后,再按要求拼接成另一个图形?
这就是本讲要解决的问题。
例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
分析与解:
本题要求分成面积相等的三角形,因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。
方法一:
将某一边等分成四份,连结各分点与顶点(见左下图)。
方法二:
画出某一边的中线,然后将中线二等分,连结分点与另两个顶点(见右上图)。
方法三:
找出三条边上的中点,然后如左下图所示连结。
方法四:
将三条边上的中点两两连结(见右上图)。
前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分,然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。
本题还有更多的分割方法。
例2将右图分割成五个大小相等的图形。
分析与解:
因为图中共有15个小正方形,所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3(个)小正方形的面积。
3个小正方形有
和
两种形式,于是可得到很多种分割方法,下图是其中的三种。
例3右图是一个4×4的方格纸,请在保持每个小方格完整的情况下,将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
分析与解:
因为分割成完全相同的两块,所以每块有8个小方格,并且这两块关于中心点对称。
下面是六种分割方法。
例4有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯,现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。
请将它剪成形状相同、面积相等的两块,使其正好铺满房间。
分析与解:
首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等,然后考虑如何
以可将原来的长分为4份,宽分为3份(见下页左上图),现在的长与宽如下页右上图。
容易得到下图所示的分割与拼接的方法。
例5用四块相同的不等腰的直角三角板,拼成一个外面是正方形,里面有正方形孔的图形。
分析与解:
右图所示的三角板,∠A是直角,∠B+∠C=90°。
因为要拼的图形有内外两个正方形,所以有将∠A作为外正方形的角(左下图)和拼内正方形的角(下中图)两种情况。
若三角板可以重叠放置,还有右下图所示的拼法。
练习3
1.试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。
2.用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整。
3.将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。
4.将下图分成两块,然后拼成一个正方形。
5.将一个正方形分成相等的4块,然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。
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