苏科版八年级下册第9章《中心对称图形平行四边形》综合题专练五.docx
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苏科版八年级下册第9章《中心对称图形平行四边形》综合题专练五
八年级下册第9章《中心对称图形—平行四边形》综合题专练(五)
1.如图,AM∥BN,C是BN上一点,BD平分∠ABN且过AC的中点O,交AM于点D,DE⊥BD,交BN于点E.
(1)求证:
△ADO≌△CBO.
(2)求证:
四边形ABCD是菱形.
(3)若DE=AB=2,求菱形ABCD的面积.
2.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,D是BC边上一点,以AD为边作△ADE,使AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°.
(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示);
(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,
①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:
BD=CD;
②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:
BD=CF.
3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.
(1)求证:
BD=DF;
(2)求证:
四边形BDFG为菱形;
(3)若AG=13,CF=6,求四边形BDFG的周长.
4.如图,已知正方形ABCD,O为BD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连结DF,交BE的延长线于点G,连结OG.
(1)求证:
△BCE≌△DCF.
(2)求证:
BF=2OG.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上的一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证:
CE=AD;
(2)当D在AB中点时.
①四边形BECD是 形;
②则当∠A等于 度时,四边形BECD是正方形.
6.如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求证:
AG=BG;
(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积.
7.如图,已知△ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于E,连接CE,过点C作CF平行于BA交PQ于点F,连接AF.
(1)求证:
△AED≌△CFD;
(2)求证:
四边形AECF是菱形.
(3)若AD=3,AE=5,则菱形AECF的面积是多少?
8.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)证明:
PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
9.在菱形ABCD中,点O是对角线的交点,E点是边CD的中点,点F在BC延长线上,且CF=
BC.
(1)求证:
四边形OCEF是平行四边形;
(2)连接DF,如果DF⊥CF,请你写出图中所有的等边三角形.
10.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:
四边形OCED为矩形;
(2)在BC上截取CF=CO,连接OF,若AC=16,BD=12,求四边形OFCD的面积.
参考答案
1.解:
(1)证明:
∵点O是AC的中点,
∴AO=CO,
∵AM∥BN,
∴∠DAC=∠ACB,
在△AOD和△COB中,
∴△ADO≌△CBO(ASA);
(2)证明:
由
(1)得△ADO≌△CBO,
∴AD=CB,
又∵AM∥BN,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AM∥BN,
∴∠ADB=∠CBD,
∵BD平分∠ABN,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AD=AB,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(3)解:
由
(2)得四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AD=CB,
又DE⊥BD,
∴AC∥DE,
∵AM∥BN,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴AC=DE=2,AD=EC,
∴EC=CB,
∵四边形ABCD是菱形,
∴EC=CB=AB=2,
∴EB=4,
在Rt△DEB中,由勾股定理得BD=
=
∴
.
2.解:
(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,
∴∠BAC=180°﹣2α,
∵∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠DAE=2α,
∵AE=AD,
∴∠ADE=90°﹣α;
(2)①证明:
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥EF.
∴∠EDC=∠ABC=α,
由
(1)知,∠ADE=90°﹣α,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=CD;
②证明:
∵AB=AC,∠ABC=α,
∴∠C=∠B=α.
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AE∥BF,AE=BF.
∴∠EAC=∠C=α,
由
(1)知,∠DAE=2α,
∴∠DAC=α,
∴∠DAC=∠C.
∴AD=CD.
∵AD=AE=BF,
∴BF=CD.
∴BD=CF.
3.
(1)证明:
∵∠ABC=90°,BD为AC的中线,
∴BD=
AC,
∵AG∥BD,BD=FG,
∴四边形BGFD是平行四边形,
∵CF⊥BD,
∴CF⊥AG,
又∵点D是AC中点,
∴DF=
AC,
∴BD=DF;
(2)证明:
∵BD=DF,
∴四边形BGFD是菱形,
(3)解:
设GF=x,则AF=13﹣x,AC=2x,
∵在Rt△ACF中,∠CFA=90°,
∴AF2+CF2=AC2,即(13﹣x)2+62=(2x)2,
解得:
x=5,
∴四边形BDFG的周长=4GF=20.
4.解:
(1)∵四边形ABCD
是正方形,
∴∠BCE=∠DCF=90°,BC=DC,
在△BCE和△DCF中
∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)∵△BCE≌△DCF,
∴∠CBE=∠FDC,∠F=∠BEC,
∵BG平分∠DBC,
∴∠DBG=∠CBE=∠FDC,
∴∠BEC=∠DBG+∠BDC=∠FDC+∠BDC=∠BDF,
∴∠BDF=∠F,
∴BD=BF,
∵∠BCE=90°,
∴∠EBC+∠BEC=90°,
∵∠FDC=∠CBE,∠DEG=∠BEC,
∴∠FDC+∠DEG=90°,
∴∠BGD=180°﹣90°=90°,
∴BG⊥DF,
∵BD=BF,
∴GD=FG,
又∵BO=OD,
∴BF=2OG.
5.
(1)证明:
∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC∥DE,
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD;
(2)解:
①四边形BECD是菱形,理由如下:
∵D为AB中点,
∴AD=BD,
∵CE=AD,
∴BD=CE,
∵BD∥CE,
∴四边形BECD是平行四边形,
∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴CD=
AB=BD,
∴四边形BECD是菱形;
故答案为:
菱;
②当∠A=45°时,四边形BECD是正方形;理由如下:
∵∠ACB=90°,
当∠A=45°时,△ABC是等腰直角三角形,
∵D为AB的中点,
∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∴四边形BECD是正方形;
故答案为:
45.
6.
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠ABM=2∠BAM,
∴∠ABD=∠BAM,
∴AG=BG;
(2)解:
∵AD∥BC,
∴△ADG∽△MBG,
∴
=
∵点M为BC的中点,
∴
=2,
∴
=(
)2=4
∵S△BMG=1,
∴S△ADG=4.
7.解:
(1)由作图知:
PQ为线段AC的垂直平分线,
∴AE=CE,AD=CD,
∵CF∥AB,
∴∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,
在△AED与△CFD中,
∴△AED≌△CFD;
(2)∵△AED≌△CFD,
∴AE=CF,
∵EF为线段AC的垂直平分线,
∴EC=EA,FC=FA,
∴EC=EA=FC=FA,
∴四边形AECF为菱形.
(3)∵AD=3,AE=5,
∴根据勾股定理得:
ED=4,
∴EF=8,AC=6,
∴S菱形AECF=8×6÷2=24,
∴菱形AECF的面积是24
8.
(1)证明:
在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2)由
(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,
在△ABP和△CBP中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴PC=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠AEP,
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP,
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.
9.
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴BO=DO,
∵E点是边CD的中点,
∴OE是△BDC的中位线,
∴OE∥BC且OE=
BC,
∵CF=
BC,
∴OE=CF,
∵OE∥CF,
∴四边形OCFE是平行四边形;
(2)解:
∵DF⊥CF,E点是边CD的中点,
∴EF=
∵CE=
CF=
=
CD,
∴△ECF为等边三角形;
∵四边形OCFE是平行四边形,
∴OC=EF=CE=CF=OE,
∴△OCE为等边三角形;
∵△ECF为等边三角形,
∴∠ECF=60°,
∴∠ABC=60°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴△ABC为等边三角形;
同理得△ADC为等边三角形;
∴图中的等边三角形有:
△OCE,△ECF,△ABC,△ADC
10.
(1)证明:
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED为平行四边形,
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠DOC=90°,
∴四边形OCED为矩形;
(2)解:
作FH⊥OC于点H,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OD=OB=
BD=6,OA=OC=
AC=8,
∴S△DOC=
=24,
在Rt△OBC中,BC=
=10,sin∠OCB=
=
在Rt△CFH中,CF=CO=8,sin∠HCF=
=
∴FH=
CF=
∴S△OCF=
=
∴S四边形OFCD=S△DOC+S△OCF=
.
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