九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题.docx
- 文档编号:30427446
- 上传时间:2023-08-14
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:478.04KB
九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题.docx
《九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题
中考冲刺:
动手操作与运动变换型问题
【中考展望】
1.对于实践操作型问题,在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值,经历“数学化”和“再创造”的过程,不断提高自己的创新意识与综合能力,这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一,因此,近年来实践操作性试题受到命题者的重视,多次出现.
2.估计在今年的中考题中,实践操作类题目依旧是出题热点,仍符合常规题型,与三角形的全等和四边形的性质综合考查.需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力.
图形的设计与操作问题,主要分为如下一些类型:
1.已知设计好的图案,求设计方案(如:
在什么基本图案的基础上,进行何种图形变换等).
2.利用基本图案设计符合要求的图案(如:
设计轴对称图形,中心对称图形,面积或形状符合特定要求的图形等).
3.图形分割与重组(如:
通过对原图形进行分割、重组,使形状满足特定要求).
4.动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案).
解决这样的问题,除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外,还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明,以获得重要的数据,辅助图案设计.
另外,由于折叠操作相当于构造轴对称变换,因此折叠问题中,要充分利用轴对称变换的特性,以获得更多的图形信息.必要时,实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效.
从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的.动态问题一般分两类,一类是代数综合题,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考查.所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分.
【方法点拨】
实践操作问题:
解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题.解答实践操作题的基本步骤为:
从实例或实物出发,通过具体操作实验,发现其中可能存在的规律,提出问题,检验猜想.在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程,利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象,从而发现所得到的结论,进而解决问题.
动态几何问题:
1、动态几何常见类型
(1)点动问题(一个动点)
(2)线动问题(二个动点)
(3)面动问题(三个动点)
2、运动形式
平移、旋转、翻折、滚动
3、数学思想
函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想
4、解题思路
(1)化动为静,动中求静
(2)建立联系,计算说明
(3)特殊探路,一般推证
【典型例题】
类型一、图形的剪拼问题
例1.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下(如图所示):
请你用上面图示的方法,解答下列问题:
(1)对下图中的三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形;
(2)对下图中的四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.
举一反三:
【变式】把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后,再按如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是( )
A.
B.
C.
D.
类型二、实践操作
例2.如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片
,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:
∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?
并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
例3.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠C=60°,∠A=30°,BC=6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:
他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).
(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:
F、C两点间的距离逐渐________.(填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:
问题①:
当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?
问题②:
当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?
问题③:
在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?
如果存在,求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.
请你分别完成上述三个问题的解答过程.
举一反三:
【变式】如图,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB,OB=6,CD=BC=4,BC⊥OB于B,以O为坐标原点,OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路(路宽不计),并且是这条路所在的直线
将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分,你认为直线
是否存在?
若存在求出直线
的解析式,若不存在,请说明理由.
类型三、平移旋转型操作题
例4.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1.固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:
(1)如图所示,△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连结DC、CF、FB,四边形CDBF的形状在不断地变化,但它的面积不变化,请求出其面积.
(2)如图所示,当D点移动到.AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由.
(3)如图所示,△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时,点恰好与B点重合,连结AE,请你求出sinα的值.
类型四、动态数学问题
例5.如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心,沿顺时针方向旋转90°,得到线段AB,过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D,运动时间为t秒.
(1)当点B与点D重合时,求t的值;
(2)当t为何值时,S△BCD=
?
举一反三:
【变式】如图,平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,∠A=60°,点P从点A出发沿折线AB-BC以每秒1个单位长的速度向点C运动,当P与C重合时停止运动,过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒,直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式.
【巩固练习】
一、选择题
1.将一张正方形纸片按如图所示对折两次,并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是( )
A.
B.
C.
D.
2.一张正方形的纸片,如图1进行两次对折,折成一个正方形,从右下角的顶点,沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形,再把余下的部分展开,展开后的这个图形的内角和是多少度?
( )
A.1080°B.360°C.180°D.900°
3.如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN(图甲),再把B点叠在折痕MN上的B′处.得到Rt△AB′E(图乙),再延长EB′交AD于F,所得到的△EAF是()
A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形
4.如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且ED⊥BC,则CE的长是()
A、
B、
C、
D、
二、填空题
5.如图
(1)是一个等腰梯形,由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图
(2)所示的一个菱形.对于图
(1)中的等腰梯形,请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论:
.
6.如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=
D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O
分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________
7.如图①,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,CD=6cm.动点Q从点B出发,以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止,同时,动点P也从B点出发,沿折线B→A→D运动到点D停止,且PQ⊥BC.设运动时间为t(s),点P运动的路程为y(cm),在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF(如图②).已知点M(4,5)在线段OE上,则图①中AB的长是 cm.
三、解答题
8.阅读下列材料:
小明遇到一个问题:
5个同样大小的正方形纸片排列形式如图
(1)所示,将它们分割后拼接成一个新的正方形.
他的做法是:
按图
(2)所示的方法分割后,将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处,依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形DEFG.
请你参考小明的做法解决下列问题:
(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图(3)所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求:
在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可);
(2)如图(4),在面积为2的平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ.请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果).
9.如图(a),把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…….已知标准纸的短边长为a.
(1)如图(b),把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠:
第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠,点B落在AD上的点B′处,铺平后得折痕AE;
第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠,点D正好与点E重合,铺平后得折痕AF;
则AD:
AB的值是________,AD,AB的长分别是________,________;
(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?
若相等,直接写出这个比值;若不相等,请分别计算它们的比值;
(3)如图(c),由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案,它的4个顶点E,F,G,H分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,DA上,求DG的长;
(4)已知梯形MNPQ中,MN∥PQ,∠M=90°,MN=MQ=2PQ,且四个顶点M,N,P,Q都在“4开”纸的边上,请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积.
10.操作与探究
(1)图(a)是一块直角三角形纸片.将该三角形纸片按图中方法折叠,点A与点C重合,DE为折痕.试证明△CBE是等腰三角形;
(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b)).通过折叠,原三角形恰好折成两个重合的矩形,其中一个是内接矩形,另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形,我们称这样的两个矩形为“组合矩形”.你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗?
如果能折成,请在图(c)中画出折痕;
(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形,同时满足下列条件:
①折成的组合矩形为正方形;②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上;
(4)有一些特殊的四边形,如菱形,通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上).请你进一步探究,一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时,一定能折成组合矩形?
11.在图1至图5中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上.
操作示例:
当2b<a时,如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连接FG和CG,裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH.
思考发现:
小明在操作后发现:
该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置,易知EH与AD在同一直线上,连接CH.由剪拼方法可得DH=BG,故△CHD≌△CGB,从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置.这样,对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示),过点F作FM⊥AE于点M(图略),利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD,易得FH=HC=GC=FG,∠FHC=90°.进而根据正方形的判定方法,可以判断出四边形FGCH是正方形.
实践探究:
(1)正方形FGCH的面积是________;(用含a、b的式子表示)
(2)类比图1的剪拼方法,请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.
联想拓展:
小明通过探究后发现:
当b≤a时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移.
当b>a时,如图所示的图形能否剪拼成一个正方形?
若能,请你在图中画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.
12.已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A、B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.
(1)如图1,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:
GF∥AC;
(2)如图2,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 九年级 数学 专题 复习 图形 折叠 问题
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)