初中数学最新一元二次方程的应用及复杂证明题 精品.docx
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初中数学最新一元二次方程的应用及复杂证明题精品
一元二次方程的应用
(一)
1.数字问题
2.几何图形问题
列方程解应用题是初中代数的重点内容,学习掌握数学知识的目的在于应用,用以解决工作生活中遇到的实际问题.近几年,中考试卷中的应用问题必不可少,考查题型多见工程问题、行程问题、平均增长率(降低率)问题、面积问题等贴近现实生活的实际问题,同学们一定要认真学习,打好基础,提高逻辑思维,分析问题的能力和用数学的意识.
二.重点内容分析与讲解
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审,设,列,解,验,答”.我们复习如下:
(1)审:
是指读懂题目,审清题意,特别是问题的实际背景明确哪些是已知的,哪些是未知的,以及它们之间的数量关系.
(2)设:
是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,如果直接设元,方程比较难列或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.
(3)列:
就是列方程,这是最重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系.再根据这个关系列出含有未知数的等式.即方程.
(4)解:
就是求出所列方程的解.
(5)验:
检验分为两层含义.
①检验方程的根是否有意义.在列一元二次方程时不会遇到.
②检验求得的解是否符合应用题的实际意义.
(6)答:
就是完整书写答话.
以上六个步骤缺一不可,其中,审题是基础,列方程是关键.
2.列方程解应用题应该注意的一些问题
(1)要注意各类应用题中常用的等量关系,例如面积问题中有关的面积公式,还要注意挖掘题目中的隐含的等量关系.
(2)注意语言和代数表达式的互化.题目中有些条件是通过语言给出的,只有把它转化成代数式才能为列方程服务.
(3)注意从语言叙述中写出等量关系.
(4)注意单位问题,一是在设元时必须写清单位,用对单位,例如不要把速度单位写成路程单位.二是在列方程时,要注意方程两边的单位必一致.
注意:
“设”和“答”都需要写清数量的单位.
典型例题讲解
1.数字问题应用题解法.
例1.两个连续奇数的积是899,求这两个数.
分析:
本题考查用一元二次方程求解的数字问题,正确理解连续奇数的意义是解题关键.
解:
设较小的一个奇数为x,则另一个为x+2.
根据题意得:
x(x+2)=899
x2+2x-899=0
(x-29)(x+31)=0
x1=29x2=-31
由x=29得x+2=31
由x=-31得x+2=-29
答:
这两个奇数是29、31或者-31、-29.
注意:
因为在负数范围内也存在奇数,所以本题解出的值不能随意舍去.
例2.一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数.
解:
设原来两位数的十位数字为x,则个位数字为5-x.
根据题意得
[10x+(5-x)]·[10(5-x)+x]=736
x2-5x+6=0
(x-2)(x-3)=0
x1=2x2=3
当x=2时,5-x=3,符合题意,原两位数是23
当x=3时,5-x=2,符合题意,原两位数是32
答:
原来的两位数是23或32.
例3.三个连续整数,最大数的立方与最小数的立方之差比中间数的40倍大16,求这三个数.
解:
设这三个数是x-1,x,x+1
根据题意,列方程
(x+1)3-(x-1)3=40x+16
[(x+1)-(x-1)][(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2]=40x+16
2(3x2+1)=40x+16
3x2-20x-7=0
(x-7)(3x+1)=0
当x=7时,x-1=6x+1=8
答:
这三个数是6、7、8.
例4.有两个自然数,其差是94,某学生作此两数之积时,将其积的十位上少算了4,他又用这两个数中较大者除所得的错误积数得商52余118,求此二数.
分析:
根据商及余数的意义,可以知道,被除数=除数×商+余数.
解:
设两数中较大者是x,则较小者为x-94
根据题意,列方程:
x(x-94)-40=52x+118
x2-146x-147=0
(x-147)(x+1)=0
∴x1=147x2=-1(不合题意,舍去)
当x=147时,x-94=53
答:
此两数是147和53.
注意:
十位数上少算4,实际上错误积比真实际少算40.
例5.一个两位数,其值等于其数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求此两位数.
解:
设十位数字是x,则个位数字是x+2
10x+x+2=3x(x+2)
11x+2=3x2+6x
3x2-5x-2=0
(x-2)(3x+1)=0
当x=2时,x+2=4
答:
这个两位数是24.
2.几何图形问题的应用题解法
例1.把100厘米长的铅丝折成一个长方形模型.
(1)要使这个长方形的面积是525平方厘米,它的长和宽应该各是多少厘米?
(2)面积是625平方厘米呢?
(3)面积是700平方厘米呢?
解:
(1)当长方形的面积是525平方厘米时,根据题意,列得方程:
x(50-x)=525,
x2-50x+525=0,
(x-15)(x-35)=0,
∴x1=15,x2=35
(2)当长方形的面积是625平方厘米时,根据题意,列得方程:
x(50-x)=625,
x2-50x+625=0,
(x-25)2=0,
∴x1=x2=25.
(3)当长方形的面积是700平方厘米时,根据题意,列出方程:
x(50-x)=700,
x2-50x+700=0,
∴这个方程没有实数解.
答:
(1)这个长方形模型的长是35厘米,宽是15厘米;
(2)这个长方形模型的长和宽都是25厘米,这时做成一个正方形.
(3)要用100厘米长的铅丝做成一个面积是700平方厘米的长方形,是不可能的.
注:
在问题
(1)中,按照方程的解,可以得出长方形的长是35厘米,宽是15厘米,或者长是15厘米,宽是35厘米,但是这表明是同一大小的长方形,因此只要回答一种结果,不必重复.
例2.一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600m2,那么水渠应挖多宽?
分析:
本题考查应用方程知识解决实际问题.这类问题的特点是,挖渠所占用土地面积只与挖渠的条数、渠道的宽度有关,而与渠道的位置无关,为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起.(最好靠一边)如下图所示,那么剩余可耕的长方形土地的长为(162-2x)m,宽为(64-4x)m.
解:
设水渠应挖xm宽,依题意得:
(162-2x)(64-4x)=9600
化简得x2-97x+96=0
x1=1x2=96(舍去)
答:
水渠应挖1m宽.
例3.有一块长方形的铅皮,长40厘米,宽30厘米.现在把它的四角各剪去一个小方块,然后把四边折起来做成一只没有盖的盒子,使这个盒子的底面积是原来铅皮面积的一半,求这盒子的高.
解:
设盒子的高是x厘米,因为小方块每边长x厘米,所以盒子的长和宽分别是(40-2x)厘米和(30-2x)厘米.
根据题意,列得方程:
x1=30和x=5虽然都是正数,但是只有x=5是适合题目条件的,因为如果盒子的高是30厘米,那么铅皮的两边各要剪去60厘米,而原来铅皮的长和宽分别只有40厘米和30厘米,显然这是不合题意的.
答:
盒子的高是5厘米.
例4.有一面积为150米2的长方形鸡场,鸡场一边靠墙(墙长18米),另三边用竹篱笆围成.如果竹篱笆的长为35米.求鸡场的长与宽各为多少米.
解:
设垂直于墙面的边为x米,则另一边为(35-2x)米.
根据题意,列出方程:
答:
鸡场长为15米,宽为10米.
例5.将一块铁皮剪成中部为一个正方形,两边突出部分是两个小正方形(相同).如果其全面积是72cm2,全周长是40cm,求大小正方形边长是多少厘米?
解:
设大正方形边长是xcm.则小正方形边长为
依据题意,列出方程:
注:
本题在表示小正方形边长时,可以这样理解:
将小正方形的一边放在虚线位置,将大正方形补全.这样,两个小正方形的四条边长之和是(40-4x)cm.
四.练习题
A组
1.两个数的差是2,积是15,求这两个数.
2.三个连续偶数,使第三个数的平方等于前两个数的平方和.求这三个数.
3.有一个两位数,它的个位数字与十位数字的和为8,如果把个位数字与十位数字对调,所得的两位数乘以原来的两位数就是1855,问原来的两位数是多少?
4.两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm,大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm2,求大小两个正方形的边长?
B组
1.把一个长方形铁皮的四角剪去四块边长5cm的正方形组成一个无盖的长方体,长方体的体积是3000cm3,铁皮长和宽的比为4:
3,求这块铁皮的长和宽是多少厘米?
2.利用27m长的墙为一边,再用70m长的篱笆围成一个面积为528m2的长方形鸡场,求鸡场的长和宽各是多少?
解答:
A组
1.解设一个数为x,则另一个数为x-2
由题意:
x(x-2)=15
x2-2x-15=0
(x-5)(x+3)=0
x1=5x2=-3
当x=5时x-2=3
当x=-3时x-2=-5
答:
这两个数是3和5,或-3和-5.
2.解:
设三个连续偶数为2x-2,2x,2x+2
由题意(2x-2)2+(2x)2=(2x+2)2
(2x+2)2-(2x-2)2=4x2
4×2x×2=4x2
x2=4x
x1=0x2=4
当x=0时,三数为-2、0、2
当x=4时,三数为6、8、10
答:
三个数为-2,0,2或6,8,10.
3.解:
设个位数字为x,则十位数字为8-x
[10(8-x)+x][10x+8-x]=1855
(80-9x)(9x+8)=1855
81x2-648x+1215=0
x2-8x+15=0
(x-3)(x-5)=0
x1=3x2=5
答:
所求两位数为35或53.
4.解:
x2-16x=0
x(x-16)=0
x1=0(舍)x2=16
答:
大正方形边长是16cm,小正方形边长为12cm.
B组
1.解:
设铁皮长为4xcm,则铁皮宽为3xcm
(4x-10)(3x-10)×5=3000
12x2-70x+100-600=0
12x2-70x-500=0
6x2-35x-250=0
(6x+25)(x-10)=0
∴4x=403x=30
答:
铁皮长为40cm,宽为30cm.
2.解:
70x-x2=1186
x2-70x+1186=0
(x-48)(x-22)=0
x1=48x2=22
∵墙长27m,∴x=48舍去
答:
鸡场的长为24米,宽为22米.
一.主要内容:
1.例题解析
2.综合练习
二.重点内容分析与讲解
本次课我们将分析一些较复杂的证明题,从中总结归纳解题规律.
例题一.
已知:
△ABC中,AD是中线,过C任作CF,CF交AD于E,交AB于F
证法1.作DG//CF交AB于G
证法2.作DG//AB交CF于G
∵D为BC中点,∴G为CF中点
∴DG是△BCF中位线
说明:
证明中的理由“三角形一边平
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