普通高等学校招生全国统一考试数学江苏卷.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学江苏卷
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作
答一律无效。
5.如需改动,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位
置上
1.已知集合A
1,2,B
a,a2
3,若A
B={1}则实数a的值为________
2.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则
z的模是__________
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为
200,400,300,100
件,为检
验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取
60件进行检验,则应从丙种
型号的产品中抽取
件.
4.右图是一个算法流程图,若输入
1,则输出的y的值是
.
x的值为16
-
=
1
5.若tan
6,则tan=
.
4
6.如图,在圆柱O1
O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O1O2
的体积为V1
球O的体积为V2,则V1
的值是
V2
7.记函数f(x)6
xx2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x
D的概率
是
8.在平面直角坐标系
xoy中,双曲线x2
y2
1的右准线与它的两条渐近线分别交于点
3
P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是
9.等比数列
a
n
的各项均为实数,其前
n项的和为S,已知S3
7,S6
63
,
n
4
4
则a8=
10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用
为4x万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则
x的值是
11.已知函数f
3
x
1
x=x
2x+e-
x,其中e是自然数对数的底数,若
e
fa-1+f
2a2
0,则实数a的取值范围是
。
12.如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC,的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为
,且tan=7,OB与OC的夹角为45°。
若OC=mOA+nOB(m,nR),则m+n=
13.
在平面直角坐标系
PB
20,
xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:
x2+y2=50上,若PA·
则点P的横坐标的取值范围是
14.
设f(x)是定义在R且周期为1的函数,在区间0,1上,fx
x2,x
D其中集合
x,x
D
D=
xx
n1,n
N,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是
.
n
15.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D
不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
16.(本小题满分14分)
已知向量a=(cosx,sinx),,.
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记
求
的最大值和最小值以及对应的
x的值
17.(本小题满分
14分)
如图,在平面直角坐标系
xOy中,椭圆
:
x2
y2
1>>0
的左、右焦点分别为
2
+
2=
(ab
)
E
b
a
F1,F2,离心率为
1,两准线之间的距离为
8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1
2
作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
18.(本小题满分16分)
如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ
的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和
62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.
(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将
l放在容器Ⅰ中,
l的一端置于点
A处,另一端置于侧棱
CC上,求
1
l没入水中部分
的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分
的长度.
19.(本小题满分
16分)
对于
给定的
正整
数
k,
若数列
lanl
满足
an
k
a1
.n
.k
1.a
n1a
.
n
.a1k.
n
k
2n
k
n
=2kan对任意正整数
n(n>k)
总成立,则称数列
lanl
是“P(k)数列”
.
(1)证明:
等差数列lanl是“P(3)数列”;
(1)若数列lanl既是“P
(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:
lanl是等差数列.
20.(本小题满分16分)
已知函数fx=x3ax2bx1(a0,bR)有极值,且导函数
,
fx的极值点是fx的零点。
(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:
b2>3a;
(3)
若f
x,f
,
-7
,求a的取值范围。
x这两个函数的所有极值之和不小于
2
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学II(附加题)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共2页,均为非选择题(第21题~第23题)。
本卷满分为40分,考试时间为
30分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作
答一律无效。
5.如需改动,须用
2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗
21.【选做题】本题包括
A、B、C、D四小题,请选定其中两小题
,并在相应的答题区域内
........
..........
作答。
若多做,则按作答的前两小题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
..
A.【选修4-1:
几何证明选讲】(本小题满分10分)
如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足。
求证:
(1)∠PAC=∠CAB;
(2)AC2=AP·AB。
B.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A=,B=.
(1)求AB;
若曲线C1;
x2
y2
=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线
C2,求C2的方程.
8
2
C.[选修4-4:
坐标系与参数方程
](本小题满分10分)
x
8t
在平面坐标系中
xOy中,已知直线
l的参考方程为
t
y
2
(t为参数),曲线C的参
x2s2,
数方程为(s为参数)。
设p为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小
y22s
值
D.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8.
x2s2,
y22s
22.(本小题满分10分)
如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120
o.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值。
23.(本小题满分
10)
已知一个口袋有
m个白球,
n个黑球(
m,n
N2
n
2),这些球除颜色外全部相同。
现
将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为
1,2,3,,
m+n
的抽屉内,其
中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,,m+n).
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,
E(x)是
x的数学期望,证明
2017年高考江苏卷数学试题(标准答案)
一、填空题:
本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.
1.1
2.
10
3.18
4.
2
7
5.
3
5
5
7.
8.
2
3
9.32
10.30
6.
9
2
11.[1,1]
12.3
13.
[
52,1]
14.8
2
二
、解答题
15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能
力和推理论证能力.满分14分.
证明:
(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EFAD,所以EF∥AB.
又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD平面BCD=BD,
BC
平面BCD,BC
BD,
所以BC
平面ABD.
因为AD
平面ABD,所以BC
AD.
又
⊥
,BCAB
B,AB
平面
,BC
平面
,
AB
AD
ABC
ABC
所以AD⊥平面ABC,
又因为AC
平面ABC,
所以AD⊥AC.
16.本小题主要考查向量共线、数量积的概念及运算,考查同角三角函数关系、诱导公式、
两角和(差)的三角函数、三角函数的图像与性质,
考查运算求解能力满分
14分.
解:
(
)因为a
(cosx,sinx),
b
(3,3)
,
∥,
1
a
b
所以
3cosx
3sinx.
若cosx
0,则sinx
0,与sin2x
cos2x
1矛盾,故cosx0.
3
.
于是tanx
3
又
,所以
x
5π
.
6
(2)f(x)
ab(cosx,sinx)
(3,
3)3cosx
π
3sinx23cos(x).
π7π
6
因为
,所以x
π
[
6
6
],
6
从而1
cos(x
π
3
.
)
2
6
ππ
0时,
3;
于是,当x
,即x
取到最大值
6
6
π
5π
取到最小值2
3.
当x
,即x
时,
6
6
17.本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础
知识,考查分析问题能力和运算求解能力.满分14分.
解:
(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为1
,两准线之间的距离为
8,所以c
1
,2a2
8,
2
a
2
c
解得a2,c1,于是b
a2
c2
3,
因此椭圆E的标准方程是
x2
y
2
.
1
43
(2)由
(1)知,F1(1,0),F2(1,0).
设P(x0,y0),因为点P为第一象限的点,故
x0
0,y00.
当x0
1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.
当x0
1时,直线PF1的斜率为
y0
,直线
PF2
的斜率为
y0
.
x0
x0
1
1
因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为
x01
,直线l2
的斜率为
x0
1
y0
y0
,
从而直线l1的方程:
y
x0
1(x
1),①
y0
直线l2的方程:
x0
1
1).
y
(x
②
y0
由①②,解得x
x0,y
1
x02
,所以Q(
x0,
1
x02
).
y0
y0
因为点Q在椭圆上,由对称性,得
1
x02
y0,即x02
y02
1或x02
y02
1.
y0
又P在椭圆E上,故x02
y02
1.
4
3
x02
y02
1
47,y0
3
7;
x02
y02
1
由x02
y02
,解得x0
x02
y02
1
,无解.
4
3
1
7
7
4
3
因此点P的坐标为(47,37).
77
18.本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查
空间
想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力
.满分
16
分.
解:
(1)由正棱柱的定义,
CC1⊥平面
ABCD,所以平面
A1ACC1⊥平面
ABCD,
CC1⊥AC
.
记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.
因为AC107,AM
40,
所以MC402(10
7)2
30
,从而sin∠MAC
3
,
4
记
AM
与水面的焦点为
P
过
P
作
11⊥AC,Q1为垂足,
1
PQ
1,
则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,
从而AP1=
P1Q1
16.
sin∠MAC
答:
玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.
(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶,则结果为
24cm)
(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.
同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在
GG1上点N处.
过G作GK⊥E1G,K为垂足,
则GK=OO1=32.
因为EG=14,E1G1=62,
62
14
24,从而GG1
KG12
GK2
242
322
40.
所以KG1=
2
4
设∠EGG1
∠ENG,
则sin
sin(
∠KGG1)
cos∠KGG1
.
3
2
5
因为
,所以cos
.
2
5
在△ENG中,由正弦定理可得
40
14
,解得sin
7
.
sin
sin
25
因为0
,所以cos
24
.
25
2
于
是
s∠N
s
4
i3
E
5
5
5
.
记EN与水面的交点为
P2,过P2
作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则
P2Q2⊥平面
EFGH,故
P2Q2=12,从而
EP2=
P2Q2
20.
sin∠NEG
答:
玻璃棒l没入水中部分的长度为
20cm.
(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶,则结果为20cm)
19.本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综
合运用数学知识探究与解决问题的能力
.满分16分.
:
1
)因为
an是等差数列,设其公差为
d,则an
a1(n1)d,
证明(
从而,当n
4
时,an
k
an
k
a1
(nk
1)d
a1(n
k1)d
2a1
2(n
1)d
2an,k
1,2
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 普通高等学校 招生 全国 统一 考试 数学 江苏