基本初等函数函数与方程及函数的应用最新题11页word.docx
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基本初等函数函数与方程及函数的应用最新题11页word
基本初等函数、函数与方程及函数的应用
一、基础知识要记牢
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像和性质,分01两种情况,当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当0 二、经典例题领悟好 [例1] (1)(2012·四川高考)函数y=ax- (a>0,且a≠1)的图像可能是( ) (2)(2013·全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>bD.a>b>c [解析] (1)当x=-1时,y= - =0,所以函数y=ax- 的图像必过定点(-1,0),结合选项可知选D. (2)a=log36=log33+log32=1+log32, b=log510=log55+log52=1+log52, c=log714=log77+log72=1+log72, ∵log32>log52>log72,∴a>b>c. [答案] (1)D (2)D 比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法: 一是根据同类函数的单调性进行比较;二是采用中间值0或1等进行比较;三是将对数式转化为指数式,或将指数式转化为对数式,通过转化进行比较. 三、预测押题不能少 1. (1)函数y=x-x 的图像大致为( ) 解析: 选A 函数y=x-x 为奇函数.当x>0时,由x-x >0,即x3>x,可得x2>1,故x>1,结合选项,选A. (2)若x∈(e-1,1),a=lnx,b= lnx,c=elnx,则a,b,c的大小关系为( ) A.c>b>aB.b>c>a C.a>b>cD.b>a>c 解析: 选B 依题意得a=lnx∈(-1,0),b= lnx∈(1,2),c=x∈(e-1,1),因此b>c>a. 函数的零点 一、基础知识要记牢 确定函数零点的常用方法: (1)解方程判定法,方程易解时用此法; (2)利用零点存在的判定定理; (3)利用数形结合,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解. 二、经典例题领悟好 [例2] (1)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1)B.(-1,0) C.(0,1)D.(1,2) (2)已知函数f(x)= 则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是( ) A.2B.3 C.4D.5 [解析] (1)由f(-1)= -3<0,f(0)=1>0及零点定理,知f(x)的零点在区间(-1,0)上. (2)当f(x)=0时,x=-1或x=1,故f[f(x)+1]=0时,f(x)+1=-1或1.当f(x)+1=-1,即f(x)=-2时,解得x=-3或x= ;当f(x)+1=1,即f(x)=0时,解得x=-1或x=1.故函数y=f[f(x)+1]有四个不同的零点. [答案] (1)B (2)C 函数的零点、方程的根,都可以转化为函数图像与x轴的交点,数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图像,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来. 三、预测押题不能少 2.若函数f(x)= 有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________. 解析: 当x>0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.因为函数f(x)有两个不同的零点,则当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,令f(x)=0得a=2x,因为0<2x≤20=1,所以0 答案: (0,1] 函数的实际应用 一、经典例题领悟好 [例3] 某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如表: (单位: 万美元) 项目类别 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,预计m∈[6,8].另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域; (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)? 请你做出规划. [解] (1)由年销售量为x件,按利润的计算公式,有生产A,B两产品的年利润y1,y2分别为y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(x∈N,0≤x≤200), y2=18x-(8x+40)-0.05x2=-0.05x2+10x-40(x∈N,0≤x≤120). (2)因为6≤m≤8,所以10-m>0,函数y1=(10-m)x-20在[0,200]上是增函数,所以当x=200时,生产A产品有最大利润,且y1max=(10-m)×200-20=1980-200m(万美元). 又y2=-0.05(x-100)2+460(x∈N,0≤x≤120), 所以当x=100时,生产B产品有最大利润,且y2max=460(万美元). 因为y1max-y2max=1980-200m-460 =1520-200m 所以当6≤m<7.6时,可投资生产A产品200件; 当m=7.6时,生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件); 当7.6 解决函数实际应用题的关键有两点: 一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是要合理选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解. 二、预测押题不能少 3.某集团为了获得更大的利润,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤3). (1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内,则应投入多少广告费,才能使集团由广告费而产生的收益最大? (2)现在该集团准备投入三百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预算,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额约为- x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该集团由这两项共同产生的收益最大. 解: (1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元),则 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3). 所以当t=2时,f(t)max=4, 即当集团投入两百万元广告费时,才能使集团由广告费而产生的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告的费用为(3-x)(百万元),则由此两项所增加的收益为 g(x)= +[-(3-x)2+5(3-x)]-3=- x3+4x+3(0≤x≤3). 对g(x)求导,得g′(x)=-x2+4, 令g′(x)=-x2+4=0, 得x=2或x=-2(舍去). 当0≤x<2时,g′(x)>0,即g(x)在[0,2)上单调递增; 当2 ∴当x=2时,g(x)max=g (2)= . 故在三百万元资金中,两百万元用于技术改造,一百万元用于广告促销,这样集团由此所增加的收益最大,最大收益为 百万元. 函数的性质与零点的交汇 函数零点(方程的根)的问题,常见的类型有: (1)零点或零点存在区间的确定; (2)零点个数的确定; (3)利用零点求参数范围问题.函数的性质与零点的交汇问题成为新的命题点. 一、经典例题领悟好 [例] (2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f′(x)是f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0 时,(x- )f′(x)>0.则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为( ) A.2 B.4 C.5D.8 函数y=f(x)-sinx的零点 y=f(x)与y=sinx图像交点 f(x)的范围 确定f′(x)的正负 ·f′(x)>0. ∵ f′(x)>0,x∈(0,π)且x≠ , ∴当0 时,f′(x)<0,f(x)在 上单调递减. 当 上单调递增. ∵当x∈[0,π]时,0 ∴当x∈[π,2π],则0≤2π-x≤π. 又f(x)是以2π为最小正周期的偶函数, 知f(2π-x)=f(x). ∴x∈[π,2π]时,仍有0 依题意及y=f(x)与y=sinx的性质,在同一坐标系内作y=f(x)与y=sinx的简图. 则y=f(x)与y=sinx在x∈[-2π,2π]有4个交点. 故函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上有4个零点. [答案] B (1)本题在求解时,用了转化与化归、数形结合、分类讨论思想.个别学生不会利用题设条件判定y=f(x)的值域以及函数y=f(x)图像的变化趋势,导致求解受阻. (2)函数与方程应用转化与化归的常见类型 ①判断函数零点个数常转化为两函数的图像交点. ②由函数的零点情况确定参数范围,常转化为利用函数图像求解. ③方程根的讨论转化为函数零点的问题. 二、预测押题不能少 函数y=f(x)满足f =-f ,当x∈[-1,4]时,f(x)=x2-2x,则f(x)在区间[0,2012]上零点的个数为( ) A.2011B.2012 C.1026D.1027 解析: 选D 根据f =-f ,可得f =-f(x),进而得f(x+5)=f(x),即函数y=f(x)是以5为周期的周期函数.当x∈[-1,4]时,f(x)=x2-2x,在[-1,0]内有一个零点,在(0,4]内有x1=2,x2=4两个零点,故在一个周期内函数有三个零点.又因为2012=402×5+2,故函数在区间[0,2010]内有402×3=1206个零点,在区间(2010,2012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同,即只有一个零点,所以函数f(x)在[0,2012]上零点的个数为1207. 1.(2013·广州惠州调研)已知幂函数y=f(x)的图像过点 ,则log4f (2)的值为( ) A. B.- C.2D.-2 解析: 选A 设f(x)=xa,由其图像过点 得 a= = ⇒a= ,故log4f (2)=log42 = . 2.(2013·陕西高考)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac 解析: 选B 利用对数的换底公式进行验证,logab·logca= ·logca=logcb,则B对. 3.(2013·河北质检)若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点( ) A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1 C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1 解析: 选C 由已知可得f(x0)=-ex0,则e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点. 4.(2013·天津一中模拟)设a= 0.5,b= 0.4,c=log (log34),则( ) A.c C.c 解析: 选C 由题意得01,而log34>1,c=log
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