山东高中数学人教A版必修1至必修5基础知识汇总新课改.docx
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山东高中数学人教A版必修1至必修5基础知识汇总新课改
(一)集合
1.集合的概念
(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念,它是指某
(1[①痧(AlB)uAU?
UB;
②痧(AUB)uAI2B.
(2[①ABAlBA;
些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,它具有三个性质,即确定性、无序性和互异性.
(2)根据集合所含元素个数的多少,集合可分为有限集、
无限集和空集;根据集合所含元素的性质,集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合,用表示.
(3)我们约定用N表示自然数集,用N表示正整数集,用Z表示整数集,用Q表示有理数集,用R表示实数集.
(4)集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn图).
2.集合间的基本关系
(1)集合与元素的关系
表示元素和集合之间的关系,有属于“”和不属于
“”两种情形
(2)集合与集合之间的关系
集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等
几种关系.
若有限集A中有n个元素,集合A的子集个数为_2^,非空子集的个数为2n1,真子集的个数为2n1,非空真子集的个数为2n2.
3.集合的运算
集合与集合之间有交、并、补集三种运算
②ABAUBB.
(2)函数的概念
(1)函数的定义
设A,B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,
使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
AB为从集合A到集合B的一个函数,记作yf(x),XA.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.值域是集合B的子集.
3•映射:
设A,B是两个集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的对应就称为从集合A到集合B的映射,记作f:
AB.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应:
一对一,多对一.
(2)函数的三要素:
定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系,定义域及对应关系确定了,这个函数就唯一确定了.
(3)相等函数:
定义域相同,并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.
2.函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种:
解析法、图象法、列表法.分段函数:
在定义域的不同部分上有不同的解析式,这样的函数称为分段函数.
(3)函数单调性
1.增函数、减函数
设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x1,x2,当x-1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就
说函数f(x)在区间D上是增函数;
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值X1,X2,当人x时,都有f(xjf(X2),那么
就说函数f(X)在区间D上是减函数.
2.单调性、单调区间
如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做yf(x)的单调区间.
3.利用定义判断(证明)函数单调性的一般步骤:
1.
1设出自变量;②作差(商):
③判号;④写出结论.
2•函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的2.
最大值或最小值,即图像的最高点或最低点.3.
3•函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的,函
数值域的一些边界值不一定是函数值,函数的最值是函数
值域中的一个值,函数取得最值时,一定有相应的x值.
4.判断函数单调性的常见方法
1定义法;②图象法;③导数法.④
5.求函数最值或值域的方法
①单调性法;②配方法;③换元法;④判别式法;⑤图象法;⑥不等式法等.
5.一些重要函数的单调性
1
yx的单调区间:
增区间(,1),(1,);
x
减区间(
yax
1,0),(0,1).
0的单调区间:
增区间
ba
x
0,b
(,:
);减区间(,
.b,0),(0,
?
)
na
'a
ia
a
(四)函数奇偶性
1.奇偶性
(1)奇函数、偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
(2)奇偶性
如果函数f(X)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.
⑶奇函数、偶函数的性质
1奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称(此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件);
2奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
3若奇函数f(x)在x=0处有定义,那么一定有
f(0)0.
4在定义域的公共部分内,两个偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍是偶函数;两个奇函数的和、差仍是奇函数;奇数个奇函数的积为奇函数;偶数个奇函数的积为偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数;一个奇函数与一个偶函数(均不恒为零)的和与差既不是奇函数,也不是偶函数.
5奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性
(5)基本函数:
一次二次函数
函数ykxb(k0)叫做一次函数,它的定义域和值域皆为R
一次函数性质
①当k>0时,为增函数,
当k<0时,为减函数;
②当b=0时,函数y
kx(k0)为正比例函数;
③直线y=kx+b与x轴的交点为(
K7,0)(k
k
0)与y轴
的交点为(0,b).
3.二次函数的解析式的三种形式:
①一般式f(x)ax2
bxc;
②顶点式f(x)a(x
h)2k
③零点式f(x)a(x
xj(x
X2);
4.二次函数的图象与性质
①
fxax2bxc
ax
b2
4acb2
2a
4a
(a0)的图象是-
「条抛物
线,顶
点坐标为
b4acb2
对称轴方程为x
b
2a'4a,
,当
2a
a0时开口向上,当a0时开口向下;
②b24ac0
0,
0时,
抛物线与x
轴有2个(1个、无)交点.
③单调性:
当a0时,
fx在(,
b_
]减函数;
2a
b
在(——,)上是增函数.a0,相反.
2a
④奇偶性:
当b
0时,f
x为
偶函数;
当b0日寸,fx既不是奇函数也不是偶函数;
(六)指数函数
1.幂的有关概念
正整数指数幕:
04442加43
n个
n
a;
零指数幕:
a01(a
0);
负整数指数幕:
ap=
1
p(aa
0,pN);
正分数
指
数
幕:
annam(a0,m
、nN
且n1
);
负分数指
数幕
a
凹1
n
m
a:
(a0,imnN且n1);
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
2.幂的运算法则(a0,b0,r、sQ)
rsrsrsrsrrr
aaa;(a)a;(ab)ab
4.换底公式:
logaN
logmNlogma
定义
x
yaa
扌0,a1
图象
定义域
R
值域
0,
定点
(0,1)
单调性
a1,增
0a1,减
3.指数函数图像及性质
①
(a
0,a
loga
1,m0,m1,N0),
blogba1
log
bn
mlogab.
5.对数函数的图像与性质
x
4.指数函数fxa具有性质:
alogaNN.
0,N0,则
(八)幕函数:
231
yx,yxyx,yy
x
1
x2的图像
3.运算性质:
如果a
0,a1,M
①loga(MN)
logaMlog
aN;②
1.当a0时,幂函数yx
R有下列性质:
M,“
logalogaM
N
logaN;
(1)图像都通过点(1,1);
③logaMnnlogaM.
(2)在第一象限内,随x的增大而增大;
越大,图像下
部分作岀,再利用偶函数的图象关于y轴对称,作岀
面围成的多面体叫做棱柱.
(3)在第一象限内,1时图像下凸,01时
图像上凸.
(4)在第一象限内,过1,1点后,图像向右上方无
限伸展.
2.当a<0时,幂函数yXR有下列性质:
(1)图像都通过点(1,1);
(2)在第一象限内,函数值随X的增大而减小,图像
是向下凸的;
(3)在第一象限内,图像向上与y轴无限地接近,向
右与x轴无限地接近;
(4)在第一象限内,过1,1点后,
落的速度越快.
(九)函数图像变换
1•平移变换
⑴水平平移:
yfxaa0的图象,可由
yfx的图象向左或向右平移a个单位而得到;⑵竖直平移:
yfxbb0的图象可由yfx的图象向上或向下平移b个单位而得到;注:
对于左、右平移变换,往往容
易出错,在实际判断中可熟记口诀:
左加右减
2•对称变换
⑴yfx与yfx的图象关于y轴对称;
⑵yfx与yfx的图象关于x轴对称;
⑶yfx与yfx的图象关于原点对称;
⑷yf1x与yfx的图象关于直线y=x对
称;
⑸yfx的图象可将yfx的图象在x轴
下方的部分以x轴为对称轴翻折上去,其余部分不变;
⑹yfx的图象可将yfx,x0的
x0的部分.
3.伸缩变换
⑴yAfxA0的图象,可将yfx图
象上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到;
⑵yfaxa0的图象,可将yfx图象
1
上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变而得到.
a
(十)函数的应用
1•函数零点的定义:
对于函数
yfxxD,使fx0成立的—实数x_叫做
函数yfxxD的零点.
2.二分法定义:
对于区间a,b上连续,且fafb0的函数yfx,通过不断把函数fx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法.注:
该法一般求的是近似解.
3•解函数应用题,一般可按以下四步进行.
(1)阅读理解,认真审题.
(2)引进数学符号,建立数学模型.
(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答,求
得结果.
(4)转译成具体问题做岀回答.
必修二
(1)多面体和旋转体
1•多面体和旋转体的概念
(1)棱柱:
有两个面互相平行,其余各面都是四边
形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些
(2)棱锥:
有一个面是多边形,其余各面都是有一_个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱
锥.
(3)棱台:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面
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