1/(x-3)>1,
6/(x-3)>6
所以t(x)=1+[6/(x-3)]>7
那么,原函数在(3,4)上值域是(log3(7),正无穷)
3、先求函数定义域
(x+3)/(x-3)>0且x≠3解得x>3或x<-3
(1)当x>3时,
因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减,所以函数f(x)=log3t(x)单调递减。
(2)当x<-3时,因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减,所以函数f(x)=log3t(x)单调递减。
4.已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值
(2)设f(x)=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围.
解:
(1)f(x)=log4(4^x+1)+kx(K∈R)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,
∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-1/2.
(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]
g(x)=log4(a·2^x-4/3a)
联立log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a·2^x-4/3a)
∴(4^x+1)/2^x=a·2^x-4/3a
不妨设t=2^xt>0
t^2+1/t=at-4/3a
t^2+1=at^2-4/3at
(a-1)t^2-4/3at-1=0
设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1
∵两函数图像只有1个公共点,在这里就变成了有且只有一个正根
1.当a=1时t=-3/4不满足(舍)
2.当△=0时a=3/4或a=-3
a=3/4时t=-1/2<0(舍)
a=-3时t=1/2满足
3.当一正根一负根时
(a-1)×u(0)<0(根据根的分布)
∴a>1
综上所述,得a=-3或a>1
5.
这个是概念的问题:
1.对于f(x)取值范围(0,无穷),f²(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。
2.对f(x)的图像进行分析,知道f(x)=1对应的x值有三个,即除x=2外另有两个关于x=2对称的x。
f(x)不等于1时对应的x值有两个,即两个关于x=2对称的两个x。
3.题意说f²(x)+bf(x)+c=0对应的x根有5个,显然满足f²(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个,一个f(x)对应三个x值,设为x1,x2,x3;另一个f(x)对应两个x,设为x4,x5;
根据以上分析,应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4则f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(10)=1/8,选B
6.已知函数
,f(x)的值域是{0}∪【1,+∞).求关于x的方程f^2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件?
7.
函数图像是一个“W”字样两个V字的连接点落到坐标原点的形状,也就是两个“V”字加原点
7.定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=lnx-ax(a属于R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解
8.
(1)求x<0时,函数f(x)的解析式
9.
(2)求实数a的取值范围
(1)f(x)为偶函数,有一个大于零的解,则一定会有一个小于零的解和他对应,f(x)=0在R上有5个不同的实数解,则f(0)=0,f(x)在x>0时有两个解当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a<0时,y=lnx,y=-ax在x>0时都单调增,则f(x)=lnx-ax在x>0时单调增,只有一个解,不满足题意当a=0时,f(x)=lnx在x>0时单调增,只有一个解,不满足题意当a>0时,f'(x)=1/x-a当x=1/a时,f'(x)=0,f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+∞)单调减,在x=1/a取到最大值要f(x)在x>0时有两个解,只要f(1/a)>0,即ln(1/a)>1,1/a>e,得a<1/e综上,a∈(0,1/e)
8.定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=lnx-ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解.
(1)求x<0时,函数f(x)的解析式;
(2)求实数a的取值范围.
解答:
解:
(1)设x<0,则-x>0.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax.
(2)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=0的根关于原点对称.
由f(x)=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根,二个负根,一个零根.
且两个正根和二个负根互为相反数.∴原命题⇔当x>0时f(x)图象与x轴恰有两个不同的交点.
下面研究x>0时的情况:
f(x)=0的零点个数⇔y=lnx与直线y=ax交点的个数.
∴当a≤0时,y=lnx递增与直线y=ax下降或与x轴重合,
故交点的个数为1,不合题意,∴a>0.
由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时,直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切之间的情形.
设切点(t,lnt)⇒k=(lnx)′|x=t=
,
∴切线方程为:
y−lnt=
(x−t).
由切线与y=ax重合知a=
,lnt=1⇒t=e,a=
,
故实数a的取值范围为(0,
).
9.函数y=loga(2x-3)+
的图像恒过定点P,P在幂函数f(x)的图像上,则f(9)=___
解:
由于loga
(1)恒等于0,
所以P坐标为(2,
),而P在幂函数的图像上,所以设这个函数为f(x)=x^a,
则
=2^a,解得a=-1/2,所以f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。
10.函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P,P在幂函数f(x)的图像上,则f
(2)=___
解:
P点坐标为(-1,2),与a无关
而幂函数f(x)=b^x要经过P点,则2=b^-1,所以b=1/2
所以f
(2)=(1/2)^2=1/4
11.若偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)且在x属于【0,1】时f(x)=x的平方,则关于x的方程f(x)=(1/10)的x的平方在[0,10/3]上的实数根有几个
f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的周期为2,可以作出函数f(x)的图像。
另外设g(x)=(1/10)x²,利用图像,得出方程f(x)=g(x)的根有2个。
12.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[0,1],f(x)=(x-1)²,则f(7/2)=
解:
由f(x+1)=f(x-1)则f(x+2)=f(x)所以T=2所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)
=f(1/2)=(1/2-1)²=1/4
13.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2^x+1
(1)求函数f(x)的解析式,作出函数的图象。
(2)写出单调区间,并求出函数f(x)的值域
解:
(1)根据题意,
当x>0时,-x<0,∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x)+1]=-1-(1/2)^x∴x<0时,f(x)=1+2^x
x>0时,f(x)=-1-(1/2)^x
(2)递增区间是(-∞,0)和(0,+∞)
x<0时,f(x)∈(0,2)x>0时,f(x)(-2,0)
∴f(x)的值域是(-2,0)∪(0,2)
图像
14.题目:
设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且f(x)-g(x)=x²-3x+1,求f(x)和g(x)的解析式
f(x)-g(x)=x²-3x+1
f(-x)-g(-x)=(-x)²-3(-x)+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】
解上述两个方程
得f(x)=-3xg(x)=-x²-1
15.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)的值为?
解:
g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)
f(2011)=g(2012)
f(2013)=g(-2012)
f(2011)+f(2013)=0
16.若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=___”
解:
f(x)+g(x)=1/(x-1)
(1)
f(-x)+g(-x)=-1/(x+1)
(2)
由f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x)可知
f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/(x+1)(3)
(1)和(3)相加则有
2f(x)=-1/(x-1)-1/(x+1)
则f(x)=1/(x^2-1)
17.函数f(x)对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x>0时,f(x)>3
(1).求证:
f(x)在R上是增函数
(2).若f(3)=6,解不等式f(a^2-3a-9)<4
(1).证明:
任取x1,x2,且x1∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>3,
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-3=f(x1)+[f(x2-x1)-3]>f(x1),
∴对任意x1(2)由f(3)=f(2+1)=f
(2)+f
(1)-3=f(1+1)+f
(1)-3=[f
(1)+f
(1)-3]+f
(1)-3=3f
(1)-6=6,
得f
(1)=4,
∴f(a^2-3a-9)(1),
f(x)在R上为增函数,a^2-3a-9<1,即(a-5)(a+2)<0,
解得-218.若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2属于R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:
[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0;
(2)证:
f(x)是R上的增函数
(1)证明:
令x1=x,x2=0∴f(x)=f(0)+f(x)-1即f(0)=1
又令x1=x,x2=-x则f(0)=f(x)+f(-x)-1
又∵f(0)=1∴f(x)+f(-x)=2∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0
(2)证明:
设x10
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1
∵当x>0时,f(x)>1∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1>1(注:
已知条件)
即是f(x2)+f(-x1)>2
又∵f(x)+f(-x)=2(注:
已证明)∴f(x2)+2-f(x1)>2整理得:
f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2)
在实数R上,存在有任意x1(2)∴f(x)是R上的增函数
19.设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y属于R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时有f(x)>1,且f(3)=4
1.求f
(1),f(4)的值
2.判断并证明f(X)的单调性
3.若关于x的不等式f(ax-1)用赋值法代就行了
解:
(1)令x=y=1可得f(1+1)=f
(1)+f
(1)—1①
令x=1y=2可得f(1+2)=f
(1)+f
(2)—1②
已知f(3)=4③联立上式得f
(1)=2
令x=1y=3得f(1+3)=f
(1)+f(3)—1=5
(2)令y=1带入已知的抽象函数f(x+1)=f(x)+f
(1)—1移项得f(x+1)—f(x)=1所以函数f(x)为增函数
(3)由
(2)知函数f(x)为增函数,所以有ax-1﹤f(4)x由题意知不等式(a-5)x-1﹤0的解集为x﹤3(因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x﹤3,这里你要想明白)所以问题可以转化为对任意的x﹤3都有(a-5)x-1﹤0成立令函数
f(x)=(a-5)x-1要满足任意的x﹤3都有f(x)﹤0①当a≠0时,只要函数为增函数且f(3)﹤0就行有a-5﹥0且f(3)﹤0推出5﹤a﹤
②当a=5时,f(x)=-1,显然f(x)﹤0的解集不是x﹤3,不合题意。
综上a的取值范围为5﹤a﹤
.