《形式语言与自动机》王柏杨娟编著课后习题答案.docx

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《形式语言与自动机》王柏杨娟编著课后习题答案

形式语言与自动机课后习题答案

第二章

4．找出右线性文法，能构成长度为1至5个字符且以字母为首的字符串。

答：

G={N,T,P,S}

其中N={S,A,B,C,D}T={x,y}其中x∈{所有字母}y∈{所有的字符}P如下:

S→xS→xAA→yA→yB

B→yB→yCC→yC→yDD→y

6．构造上下文无关文法能够产生

L={ω/ω∈{a,b}*且ω中a的个数是b的两倍}

答：

G={N,T,P,S}

其中N={S}T={a,b}P如下:

S→aabS→abaS→baa

S→aabSS→aaSbS→aSabS→Saab

S→abaSS→abSaS→aSbaS→Saba

S→baaSS→baSaS→bSaaS→Sbaa

7．找出由下列各组生成式产生的语言（起始符为S）

（1）S→SaSS→b

（2）S→aSbS→c

（3）S→aS→aEE→aS

答：

（1）b（ab）n/n≥0}或者L={（ba）nb/n≥0}

（2）L={ancbn/n≥0}

（3）L={a2n+1/n≥0}

第三章

1．下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。

（1）含有偶数个a和奇数个b的{a,b}*上的字符串集合

（2）含有相同个数a和b的字符串集合

（3）不含子串aba的{a,b}*上的字符串集合

答：

（1）是正则集，自动机如下

a

a

bbbb

a

a

（2）不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见17题

（2）。

（3）是正则集

先看L’为包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合

显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。

（略）

则不包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合L是L’的非。

根据正则集的性质，L也是正则集。

4．对下列文法的生成式，找出其正则式

（1）G=（{S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S）,生成式P如下：

S→aAS→B

A→abSA→bB

B→bB→cC

C→DD→bB

D→d

（2）G=（{S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S）,生成式P如下：

S→aAS→B

A→cCA→bB

B→bBB→a

C→DC→abB

D→d

答：

（1）由生成式得：

S=aA+B①

A=abS+bB②

B=b+cC③

C=D④

D=d+bB⑤

③④⑤式化简消去CD，得到B=b+c（d+bB）

即B=cbB+cd+b=>B=（cb）*（cd+b）⑥

将②⑥代入①

S=aabS+ab（cb）*（cd+b）+（cb）*（cd+b）=>S=（aab）*（ab+ε）（cb）*（cd+b）

（2）由生成式得：

S=aA+B①

A=bB+cC②

B=a+bB③

C=D+abB④

D=dB⑤

由③得B=b*a⑥

将⑤⑥代入④C=d+abb*a=d+ab+a⑦

将⑥⑦代入②A=b+a+c（d+b+a）⑧

将⑥⑧代入①S=a（b+a+c（d+ab+a））+b*a

=ab+a+acd+acab+a+b*a

5.为下列正则集，构造右线性文法：

（1）{a,b}*

（2）以abb结尾的由a和b组成的所有字符串的集合

（3）以b为首后跟若干个a的字符串的集合

（4）含有两个相继a和两个相继b的由a和b组成的所有字符串集合

答：

（1）右线性文法G=（{S},{a,b},P,S）

P:

S→aSS→bSS→ε

（2）右线性文法G=（{S},{a,b},P,S）

P:

S→aSS→bSS→abb

（3）此正则集为{ba*}

右线性文法G=（{S,A},{a,b},P,S）

P:

S→bAA→aAA→ε

（4）此正则集为{{a,b}*aa{a,b}*bb{a,b}*,{a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*}

右线性文法G=（{S,A,B,C},{a,b},P,S）

P:

S→aS/bS/aaA/bbB

A→aA/bA/bbC

B→aB/bB/aaC

C→aC/bC/ε

7.设正则集为a（ba）*

（1）构造右线性文法

（2）找出

（1）中文法的有限自b动机

答：

（1）右线性文法G=（{S,A},{a,b},P,S）

P:

S→aAA→bSA→ε

（2）自动机如下：

a

b

（p2是终结状态）

9.对应图（a）（b）的状态转换图写出正则式。

（图略）

（1）由图可知q0=aq0+bq1+a+ε

q1=aq2+bq1

q0=aq0+bq1+a

=>q1=abq1+bq1+aaq0+aa

=（b+ab）q1+aaq0+aa

=（b+ab）*（aaq0+aa）

=>q0=aq0+b（b+ab）*（aaq0+aa）+a+ε

=q0（a+b（b+ab）*aa）+b（b+ab）*aa+a+ε

=（a+b（b+ab）*aa）*（（b+ab）*aa+a+ε）

=（a+b（b+ab）*aa）*

（3）q0=aq1+bq2+a+b

q1=aq0+bq2+b

q0=aq1+bq0+a

=>q1=aq0+baq1+bbq0+ba+b

=（ba）*（aq0+bbq0+ba+b）

=>q2=aaq0+abq2+bq0+ab+a

=（ab）*（aaq0+bq0+ab+a）

=>q0=a（ba）*（a+bb）q0+a（ba）*（ba+b）+b（ab）*（aa+b）q0+b（ab）*（ab+a）+a+b

=[a（ba）*（a+bb）+b（ab）*（aa+b）]*（a（ba）*（ba+b）+b（ab）*（ab+a）+a+b）

10.设字母表T={a,b},找出接受下列语言的DFA：

（1）含有3个连续b的所有字符串集合

（2）以aa为首的所有字符串集合

（3）以aa结尾的所有字符串集合

答：

（1）M=（{q0,q1q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}）,其中σ如下：

a

b

q0

q0

q1

q1

q0

q2

q2

q0

q3

q3

q3

q3

（2）M=（{q0,q1q2},{a,b},σ,q0,{q2}）,其中σ如下：

a

b

q0

q1

Φ

q1

q2

Φ

q2

q2

q2

（3）M=（{q0,q1q2},{a,b},σ,q0,{q2}）,其中σ如下：

a

b

q0

q1

q0

q1

q2

q0

q2

q2

q0

14构造DFAM1等价于NFAM，NFAM如下：

（1）M=（{q0,q1q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}）,其中σ如下：

σ（q0,a）={q0,q1}σ（q0,b）={q0}

σ（q1,a）={q2}σ（q1,b）={q2}

σ（q2,a）={q3}σ（q2,b）=Φ

σ（q3,a）={q3}σ（q3,b）={q3}

（2）M=（{q0,q1q2,q3},{a,b},σ,q0,{q1,q2}）,其中σ如下：

σ（q0,a）={q1,q2}σ（q0,b）={q1}

σ（q1,a）={q2}σ（q1,b）={q1,q2}

σ（q2,a）={q3}σ（q2,b）={q0}

σ（q3,a）=Φσ（q3,b）={q0}

答：

（1）DFAM1={Q1,{a,b},σ1,[q0],{[q0,q1,q3]，[q0,q2,q3]，[q0,q1,q2,q3]}

其中Q1={[q0],[q0,q1],[q0,q1,q2],[q0,q2],[q0,q1,q2,q3],[q0,q1,q3],[q0,q2,q3],[q0,q3]}

σ1满足

a

b

[q0]

[q0,q1]

[q0]

[q0,q1]

[q0,q1,q2]

[q0,q2]

[q0,q1,q2]

[q0,q1,q2,q3]

[q0,q2]

[q0,q2]

[q0,q1,q3]

[q0]

[q0,q1,q2,q3]

[q0,q1,q2,q3]

[q0,q2,q3]

[q0,q1,q3]

[q0,q1,q2,q3]

[q0,q2,q3]

[q0,q2,q3]

[q0,q1,q3]

[q0,q3]

[q0,q3]

[q0,q1,q3]

[q0,q3]

（2）DFAM1={Q1,{a,b},σ1,[q0],{[q1],[q3],[q1,q3],[q0,q1,q2],[q1,q2],[q1,q2,q3],[q2,q3]}

其中Q1={[q0],[q1,q3],[q1],[q2],[q0,q1,q2],[q1,q2],[q3],[q1,q2,q3],[q2,q3]}

σ1满足

a

b

[q0]

[q1,q3]

[q1]

[q1,q3]

[q2]

[q0,q1,q2]

[q1]

[q2]

[q1,q2]

[q2]

[q3]

[q0]

[q0,q1,q2]

[q1,q2,q3]

[q0,q1,q2]

[q1,q2]

[q2,q3]

[q0,q1,q2]

[q3]

Φ

[q0]

[q1,q2,q3]

[q2,q3]

[q0,q1,q2]

[q2,q3]

[q3]

[q0]

15.15.对下面矩阵表示的ε-NFA

ε

a

b

c

P（起始状态）

φ

{p}

{q}

{r}

q

{p}

{q}

{r}

φ

r（终止状态）

{q}

{r}

φ

{p}

（1）给出该自动机接收的所有长度为3的串

（2）将此ε-NFA转换为没有ε的NFA

答：

（1）可被接受的的串共23个，分别为aac,abc,acc,bac,bbc,bcc,cac,cbc,ccc,caa,cab,cba,cbb,cca,ccb,bba,aca,acb,bca,bcb,bab,bbb,abb

（2）ε-NFA：

M=（{p,q,r},{a,b,c},σ,p,r）其中σ如表格所示。

因为ε-closure（p）=Φ

则设不含ε的NFAM1=（{p,q,r},{a,b,c},σ1,p,r）

σ1（p,a）=σ’（p,a）=ε-closure（σ（σ’（p,ε）,a））={p}

σ1（p,b）=σ’（p,b）=ε-closure（σ（σ’（p,ε）,b））={p,q}

σ1（p,c）=σ’（p,c）=ε-closure（σ（σ’（p,ε）,c））={p,q,r}

σ1（q,a）=σ’（q,a）=ε-closure（σ（σ’（q,ε）,a））={p,q}

σ1（q,b）=σ’（q,b）=ε-closure（σ（σ’（q,ε）,b））={p,q,r}

σ1（q,c）=σ’（q,c）=ε-closure（σ（σ’（q,ε）,c））={p,q,r}

σ1（r,a）=σ’（r,a）=ε-closure（σ（σ’（r,ε）,a））={p,q,r}

σ1（r,b）=σ’（r,b）=ε-closure（σ（σ’（r,ε）,b））={p,q,r}

σ1（r,c）=σ’（r,c）=ε-closure（σ（σ’（r,ε）,c））={p,q,r}

图示如下：

（r为终止状态）

b,c

a,b,ca,b,ca,b,c

ca,b,cb,ca,b,c

a,b,c

16．设NFAM=（{q0,q1},{a,b},σ,q0,{q1}）,其中σ如下：

σ（q0,a）={q0,q1}σ（q0,b）={q1}

σ（q1,a）=Φσ（q1,b）={q0,q1}

构造相应的DFAM1，并进行化简

答：

构造一个相应的DFAM1={Q1,{a,b},σ1,[q0],{[q1]，[q0,q1]}

其中Q1={[q0]，[q1]，[q0,q1]}

σ1满足

a

b

[q0]

[q0,q1]

[q1]

[q1]

Φ

[q0,q1]

[q0,q1]

[q0,q1]

[q0,q1]

由于该DFA已是最简，故不用化简

17.使用泵浦引理，证明下列集合不是正则集：

（1）由文法G的生成式S→aSbS/c产生的语言L（G）

（2）{ω/ω∈{a,b}*且ω有相同个数的a和b}

（3）{akcak/k≥1}

（4）{ωω/ω∈{a,b}*}

证明：

（1）在L（G）中，a的个数与b的个数相等

假设L（G）是正则集，对于足够大的k取ω=ak（cb）kc

令ω=ω1ω0ω2

因为|ω0|>0|ω1ω0|≤k存在ω0使ω1ω0iω2∈L

所以对于任意ω0只能取ω0=ann∈（0,k）

则ω1ω0iω2=ak–n（an）i（cb）kc在i不等于0时不属于L

与假设矛盾。

则L（G）不是正则集

（2）假设该集合是正则集，对于足够大的k取ω=akbk

令ω=ω1ω0ω2

因为|ω0|>0|ω1ω0|≤k存在ω0使ω1ω0iω2∈L

所以对于任意ω0只能取ω0=ann∈（0,k）

则ω1ω0iω2=ak–n（an）ibk在i不等于0时a与b的个数不同，不属于该集合

与假设矛盾。

则该集合不是正则集

（3）假设该集合是正则集，对于足够大的k取ω=akcak

令ω=ω1ω0ω2

因为|ω0|>0|ω1ω0|≤k存在ω0使ω1ω0iω2∈L

所以对于任意ω0只能取ω0=ann∈（0,k）

则ω1ω0iω2=ak–n（an）icak在i不等于0时c前后a的个数不同，不属于该集合

与假设矛盾。

则该集合不是正则集

（4）假设该集合是正则集，对于足够大的k取ωω=akbakb

令ωω=ω1ω0ω2

因为|ω0|>0|ω1ω0|≤k存在ω0使ω1ω0iω2∈L

所以对于任意ω0只能取ω0=ann∈（0,k）

则ω1ω0iω2=ak–n（an）ibakb在i不等于0时不满足ωω的形式，不属于该集合

与假设矛盾。

则该集合不是正则集

18．构造米兰机和摩尔机

对于{a,b}*的字符串，如果输入以bab结尾，则输出1；如果输入以bba结尾，则输出2；否则输出3。

答：

米兰机：

说明状态qaa表示到这个状态时，输入的字符串是以aa结尾。

其他同理。

a/3

b/3

a/3a/3b/3

b/1

a/2b/3

摩尔机，状态说明同米兰机。

aa

ba

abab

ab

b

b

Ø第四章

10.把下列文法变换为无ε生成式、无单生成式和没有无用符号的等价文法：

S→A1|A2,A1→A3|A4,A2→A4|A5,A3→S|b|ε,A4→S|a，A5→S|d|ε

解:

⑴由算法3，变换为无ε生成式：

N’={S,A1,A2,A3,A4,A5}

G1=（{S1,S,A1,A2,A3,A4,A5},{a,b,d},P1,S1）,其中生成式P1如下：

S1→ε|S,

S→A1|A2,

A1→A3|A4,

A2→A4|A5,

A3→S|b,

A4→S|a,

A5→S|d,

⑵由算法4，消单生成式：

NS1={S1,S,A1,A2,A3,A4,A5},

NS=NA1=NA2=NA3=NA4=NA5={S,A1,A2,A3,A4,A5},

运用算法4，则P1变为：

S1→a|b|d|ε,

S→a|b|d,

A1→a|b|d,

A2→a|b|d,

A3→a|b|d,

A4→a|b|d,

A5→a|b|d

⑶由算法1和算法2，消除无用符号，得到符合题目要求的等价文法：

G1=（{S1},{a,b,d},P1,S1），其中生成式P1为：

S1→a|b|d|ε.

11.设2型文法G=（{S,A,B,C,D,E,F},{a,b,c},P,S）,其中P：

S→ASB|ε;A→aAS|a;B→SBS|A|bb

试将G变换为无ε生成式,无单生成式,没有无用符号的文法,再将其转换为Chomsky式.

解:

⑴由算法3，变换为无ε生成式：

N’={S}

由S→ASB得出S→ASB|AB,

由A→aAS得出A→aAS|aA,

由B→SBS得出B→SBS|SB|BS|B,

由S∈N’得出S1→ε|S,

因此无ε的等效文法G1=（{S1,S,A,B},{a,b,d},P1,S1）,其中生成式P1如下：

S1→ε|S,

S→ASB|AB,

A→aAS|aA|a,

B→SBS|SB|BS|B|A|bb,

⑵由算法4，消单生成式：

NS1={S1,S},NS={S},NA={A},NB={A,B}

由于S→ASB|AB∈P且不是单生成式,故P1中有S1→ε|ASB|AB,

同理有S→ASB|AB,A→aAS|aA|a,B→SBS|SB|BS|aAS|aA|a|bb,

因此生成的无单生成式等效文法为

G1=（{S1,S,A,B},{a,b},P1,S1）,其中生成式P1如下：

S1→ε|ASB|AB,

S→ASB|AB,

A→aAS|aA|a,

B→SBS|SB|BS|aAS|aA|a|bb,

⑶由算法1和算法2，消除无用符号（此题没有无用符号）;

⑷转化为等价的Chomsky式的文法:

将S1→ASB变换为S→AC,C→SB,

将S→ASB变换为S→AC,

将A→aAS|aA变换为A→ED|EA,D→AS,E→a,

将B→SBS|aAS|aA|a|bb,变换为B→CS|ED|EA|FF,F→b,

⑸由此得出符合题目要求的等价文法：

G1=（{S1,S,A,B,C,D},{a,b},P1,S1）,其中生成式P1如下：

S1→ε|AC|AB,

S→AC|AB,

A→ED|EA|a,

B→CS|SB|BS|ED|EA|a|FF,

C→SB,

D→AS,

E→a,

F→b.

15.将下列文法变换为等价的Greibach式文法:

⑴S→DD|a,D→SS|b

解:

将非终结符排序为S,D,S为低位,D为高位,

⑴对于D→SS,用S→DD|a代入得D→DDS|aS|b,

用引理4.2.4,变化为D→aS|b|aSD'|bD',D’→DS|DSD’,

⑵将D生成式代入S生成式得S→aSD|bD|aSD’D|bD'D|a,

⑶将D生成式代入D’生成式得

D’→aSS|bS|aSD'S|bD'S|aSSD'|bSD'|aSD'SD'|bD'SD',

⑷由此得出等价的Greibach式文法：

G1=（{S,D,D’},{a,b},P1,S）,其中生成式P1如下：

S→aSD|bD|aSD’D|bD'D|a,

D→aS|b|aSD'|bD',

D’→aSS|bS|aSD'S|bD'S|aSSD'|bSD'|aSD'SD'|bD'SD'.

⑵A1→A3b|A2a,A2→A1b|A2A2a|b,A3→A1a|A3A3b|a

解:

⑴转化为等价的Chomsky式的文法:

A1→A3A4|A2A5,

A2→A1A4|A2A6|b,

A3→A1A5|A3A7|a,

A4→b,

A5→a,

A6→A2A5,

A7→A3A4,

⑵转化为等价的Greibach式的文法:

将非终结符排序为A1,A2,A3,A4,A5,A1为低位A5为高位,

①对于A2→A1A4,用A1→A3A4|A2A5代入得A2→A3A4A4|A2A5A4|A2A6|b,

用引理4.2.4,变化为

A2→A3A4A4|b|A3A4A4A2’|bA2’,

A2’→A5A4A2’|A6A2’|A5A4|A6,

②对于A3→A1A5,用A1→A3A4|A2A5代入得A3→A3A4A5|A2A5A5|A3A7|a,

A3生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A2生成式代入A3生成式得

A3→A3A4A5|A3A4A4A5A5|bA5A5|A3A4A4A2’A5A5|bA2’A5A5|A3A7|a,

用引理4.2.4,变化为

A3→bA5A5|bA2’A5A5|a|bA5A5A3’|bA2’A5A5A3’|aA3’,

A3’→A4A5|A4A4A5A5|A4A4A2’A5A5|A7|A4A5A3’|A4A4A5A5A3’|A4A4A2’A5A5A3’|A7A3’,

③对于A6→A2A5,将A2生成式代入A6生成式得

A6→A3A4A4A5|bA5|A3A4A4A2’A5|bA2’A5,

A6生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A3生成式代入A6生成式得

A6→bA5A5A4A4A5|bA2’A5A5A4A4A5|aA4A4A5|bA5A5A3’A4A4A5|bA2’A5A5A3’A4A4A5|aA3’A4A4A5|bA5A5A4A4A2’A5|bA2’A5A5A4A4A2’A5|aA4A4A2’A5|bA5A5A3’A4A4A2’A5|bA2’A5A5A3’A4A4A2’A5|aA3’A4A4A2’A5|bA2’A5|bA5,

④对于A7→A3A4,将A3生成式代入A7生成式得

A7→bA5A5A4|bA2’A5A5A4|aA4|bA5A5A3’A4|bA2’A5A5A3’A4|