与名师对话理直线与圆圆与圆的位置关系.docx
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与名师对话理直线与圆圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考概览:
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
[知识梳理]
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:
利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.
d
(2)代数法:
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:
[辨识巧记]
1.求过某点的圆的切线应注意的两点
(1)确定点与圆的位置关系;
(2)若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.
2.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( )
(4)过圆O:
x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,-1]B.[-1,3]
C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
[解析] 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为,
∴≤,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.故选C.
[答案] C
3.(必修2P132A组T5改编)直线x+y-2=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交于A,B两点,则弦|AB|=( )
A.B.
C.D.
[解析] ∵圆心(1,2)到直线x+y-2=0的距离d=,∴|AB|=2=.故选D.
[答案] D
4.在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-y-4=0相切,则圆O的方程为( )
A.x2+y2=4B.x2+y2=3
C.x2+y2=2D.x2+y2=1
[解析] 依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y-4=0的距离,即r==2,得圆O的方程为x2+y2=4.故选A.
[答案] A
5.(必修2P132A组T9改编)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=________.
[解析] 两圆公共弦所在直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2-4)=0,得y=.
所以2+()2=22,得a=1.
[答案] 1
考点一 直线与圆位置关系的判断
【例1】
(1)(2019·沈阳市高三质量监测)已知直线l:
y=k(x+)和圆C:
x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=( )
A.0B.
C.或0D.或0
(2)若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)
C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)
[思路引导] →→
[解析]
(1)因为直线l与圆C相切,所以圆心C到直线l的距离d==1,|-1+k|=,解得k=0或k=,故选D.
(2)由圆的方程,得(x-1)2+(y-1)2=1,即此圆的圆心为(1,1),半径为1,
所以圆心到直线x+my-2-m=0的距离为d==.
因为直线与圆相交,所以<1,
解得m2>0,即实数m的取值范围为(-∞,0)∪(0,+∞).故选D.
[答案]
(1)D
(2)D
判断直线与圆的位置关系的3种方法
(1)几何法:
利用d与r的关系.
(2)代数法:
联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:
若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
[对点训练]
1.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( )
A.相离B.相切
C.相交D.以上都有可能
[解析] 直线2tx-y-2-2t=0,即2t(x-1)-(y+2)=0过定点(1,-2),由12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,可知定点(1,-2)在圆的内部,所以直线与圆相交,故选C.
[答案] C
2.(2019·湖北七市联考)已知圆C:
(x-1)2+y2=r2(r>0),设条件p:
0 圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [解析] 由题意知,圆心C(1,0)到直线x-y+3=0的距离d==2,至多有2点到直线的距离为1时,0 [答案] C 考点二 圆的切线 【例2】 (1)一条光线从点A(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-或-B.-或- C.-或-D.-或- (2)(2019·广东七校联合体第一次联考)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为__________. [思路引导] (1)→ → (2)→ [解析] (1) 圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为C(-3,2),半径r=1.如图,作出点A(-2,-3)关于y轴的对称点B(2,-3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y-(-3)=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切可得=1,即|5k+5|=,整理得12k2+25k+12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得k=-或k=-.故选D. (2)因为圆心(3,0)到直线y=x+1的距离为=2,所以切线长的最小值为=. [答案] (1)D (2) 圆的切线方程的两种求法 (1)代数法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k. (2)几何法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k. [对点训练] 已知点P(+1,2-),M(3,1),圆C: (x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点P的圆C的切线方程; (2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长. [解] 由题意得圆心为C(1,2),半径r=2. (1)∵(+1-1)2+(2--2)2=4, ∴点P在圆C上. 解法一: 又kPC==-1, ∴切线的斜率k=-=1. ∴过点P的圆C的切线方程是y-(2-)=x-(+1),即x-y+1-2=0. 解法二: 过点P的圆C的切线方程为: (x-1)(+1-1)+(y-2)(2--2)2=4, 整理得x--y+2-4=0, 即x-y+1-2=0. (2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4, ∴点M在圆C外部. 当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r, 所以直线x-3=0是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0, 则圆心C到切线的距离d==r=2, 解得k=. ∴切线方程为y-1=(x-3), 即3x-4y-5=0. 综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. ∵|MC|==, ∴过点M的圆C的切线长为==1. 考点三 弦长问题 【例3】 (1)(2018·福建闽侯月考)圆x2+y2-2x-8y+13=0被直线ax+y-1=0所截的线段长为2,则a=( ) A.-B.- C.D.2 (2)(2018·合肥测试)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________. [解析] (1)圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,∴圆心的坐标是(1,4),半径为2. ∵圆心到直线的距离d==,弦长为2,∴()2+()2=22,解得a=-.故选A. (2)设P(3,1),圆心C(2,2),则|PC|=,半径r=2,由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直,所以最短弦长为2=2. [答案] (1)A (2)2 弦长的两种求法 (1)代数方法(不常用): 将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长. (2)几何方法(常用): 若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2. [对点训练] 1.(2019·福建闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0,-1),(0,5),且被直线x-y=0截得的弦长为2,则圆Ω的方程为( ) A.x2+(y-2)2=9或(x+4)2+(y-2)2=25 B.x2+(y-2)2=9或(x-1)2+(y-2)2=10 C.(x+4)2+(y-2)2=25或(x+4)2+(y-2)2=17 D.(x+4)2+(y-2)2=25或(x-4)2+(y-1)2=16 [解析] 由于圆过点(0,-1),(0,5),故圆心在直线y=2上,设圆心坐标为(a,2),由弦长公式得=,解得a=0或a=-4.故圆心为(0,2),半径为3或圆心为(-4,2),半径为5,故选A. [答案] A 2.(2019·四川南充期末)若直线l: y=kx+1被圆C: x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是( ) A.x=0B.y=1 C.x+y-1=0D.x-y+1=0 [解析] 依题意,直线l: y=kx+1过定点P(0,1).圆C: x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4.故圆心为C(1,0),半径为r=2.则易知定点P(0,1)在圆内.由圆的性质可知当PC⊥l时,此时直线l: y=kx+1被圆C: x2+y2-2x-3=0截得的弦最短.因为kPC==-1,所以直线l的斜率k=1,即直线l的方程是x-y+1=0.故选D. [答案] D 考点四 圆与圆的位置关系 【例4】 (2019·郑州调研)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0. (1)m取何值时两圆外切? (2)m取何值时两圆内切? (3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. [思路引导] (1) (2)→→ (3)→→ [解] 因为两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m, 所以两圆的圆心分别为(1,3),(5,6),半径分别为,, (1)当两圆外切时,由=+,得m=25+10. (2)当两圆内切时,因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5,所以-=5,解得m=25-10. (3)由(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,得两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0. 故两圆的公共弦的长为 2=2. (1)判断两圆位置关系的方法: 常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法. (2)两圆公共弦直线方程的求法: 两圆相交时,两圆方程相减消去二次项即得两圆公共弦所在的直线方程. (3)两圆公共弦长的求法: 先求两圆公共弦所在的直线方程,然后在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解. [对点训练] 1.(2019·长春质检)圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( ) A.1B.2 C.4D.8 [解析] 由(x2+y2-4)-(x2+y2-4x+4y-12)得公共弦所在直线的方程为x-y+2=0,它与两坐标轴分别交于(-2,0),(0,2),所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为×2×2=2.故选B. [答案] B 2.已知两圆C1: x2+y2-2x+10y-23=0,C2: x2+y2+2x+2y-7=0,则两圆公切线的条数为__________. [解析] 圆C1的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=49,圆C2的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=9. ∵|C1C2|==4, ∴7-3<|C1C2|<7+3, ∴两圆相交.故两圆有2条公切线. [答案] 2 课后跟踪训练(五十七) 基础巩固练 一、选择题 1.(2019·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l: y=kx+1与圆O: x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“|AB|=”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [解析] 依题意,注意到|AB|==|OA|2+|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于,即有=,k=±1.因此,“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件,故选A. [答案] A 2.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( ) A.B. C.D.0 [解析] 如图,圆x2-2x+y2-2y+1=0的圆心为C(1,1),半径为1,两切点分别为A,B,连接AC,PC,则|CP|=,|AC|=1,sinθ=,所以cos∠APB=cos2θ=1-2sin2θ=,故选B. [答案] B 3.已知直线l截圆x2+y2-2y=0所得的弦AB的中点坐标为-,,则弦AB的垂直平分线方程为( ) A.x-y-1=0B.x+y-1=0 C.x-y+1=0D.x+y+1=0 [解析] 圆x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,故圆心坐标为(0,1),又弦AB的中点坐标为-,,故弦AB的垂直平分线的斜率为-1,故所求直线方程为x+y-1=0.故选B. [答案] B 4.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则点(k,b)所在的圆为( ) A.x-2+(y+5)2=1 B.x-2+(y-5)2=1 C.x+2+(y-5)2=1 D.x+2+(y+5)2=1 [解析] 由题意知直线y=kx与直线2x+y+b=0互相垂直,所以k=.又圆上两点关于直线2x+y+b=0对称,故直线2x+y+b=0过圆心(2,0),所以b=-4,结合选项可知,点,-4在圆x-2+(y+5)2=1上,故选A. [答案] A 5.(2018·河北省定兴三中月考)圆O: x2+y2=50与圆x2+y2-12x-6y+40=0的公共弦长为( ) A.B. C.2D.2 [解析] 由题意得,两圆公共弦所在直线的方程为2x+y-15=0. 又圆心O(0,0)到公共弦所在直线2x+y-15=0的距离为=3,则两圆的公共弦长为2=2.故选C. [答案] C 二、填空题 6.过点A(1,)与圆x2+y2=4相切的直线方程为________________. [解析] 点A(1,)在圆x2+y2=4上,∴过点A(1,)与圆x2+y2=4相切的直线方程为x+y=4,即x+y-4=0. [答案] x+y-4=0 7.(2019·四川新津中学月考)若点P(1,1)为圆C: (x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为__________. [解析] 圆心为C(3,0),直线PC的斜率kPC=-,则弦MN所在直线的斜率k=2,则弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. [答案] 2x-y-1=0 8.(2019·陕西省高三质检)已知直线y=ax与圆C: x2+y2-2ax-2y+2=0相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则圆C的面积为________. [解析] 圆C的标准方程为(x-a)2+(y-1)2=a2-1,因此圆心C(a,1)到直线y=ax的距离为=,解得a2=7,所以圆C的面积为π()2=6π. [答案] 6π 三、解答题 9.(2018·山西省实验中学月考)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|. (1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (2)记 (1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程. [解] (1)由题意得=5,即=5,化简得x2+y2-2x-2y-23=0, 所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25. 轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆. (2)当直线l的斜率不存在时,l: x=-2, 此时所截得的线段的长为2=8. 所以l: x=-2符合题意. 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0,圆心到l的距离d=,由题意得2+42=52,解得k=. 所以直线l的方程为x-y+=0,即5x-12y+46=0. 综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0. 10.直线l的方程为mx-y+m+2=0(m∈R),圆O的方程为x2+y2=9. (1)证明: 不论m取何值,l与圆都相交; (2)求l被圆截得的线段长的最小值. [解] (1)证明: 证法一: 圆心O到l的距离为d=,圆O的半径长为3. 若l与圆相交,则有<3⇔(m+2)2<9(1+m2)⇔8m2-4m+5>0⇔82+>0, 显然82+>0(对任意的m)总成立, ∴<3总成立, ∴不论m取何值,l与圆都相交. 证法二: 把l的方程变为y-2=m(x+1), ∴不论m取何值l总过点A(-1,2). ∵A在圆O的内部,∴不论m取何值,l与圆都相交. (2)结合图形易见,当l⊥OA时,l被圆截得的线段长最小, ∵OA==,∴l被圆截得的线段长的最小值为2=4. 能力提升练 11.(2019·福州高三质检)“b∈(-1,3)”是“对于任意实数k,直线l: y=kx+b与圆C: x2+(y-1)2=4恒有公共点”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [解析] 圆C: x2+(y-1)2=4与y轴的交点坐标为(0,-1)和(0,3),对于任意实数k,直线l与圆C恒有公共点⇔b∈[-1,3].因为(-1,3)[-1,3],所以“b∈(-1,3)”是“对于任意实数k,直线l与圆C恒有公共点”的充分不必要条件.故选A. [答案] A 12.(2019·江西红色七校联考)当曲线y=与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是( ) A.0,B., C.,1D.,+∞ [解析] 整理y=, 得x2+y2=4(y≥0),所以该曲线是以原点为圆心,2为半径的圆在x轴及x轴上方的部分. ∵直线kx-y-2k+4=0可化为y-4=k(x-2), ∴直线过定点A(2,4)且斜率为k, 如图,设直线与半圆的切线为AD,半圆的左端点为B(-2,0). 由图可知,当kAD 当直线与半圆相切时,满足=2, 解得k=,即kAD=. 又∵直线AB的斜率kAB==1,∴直线kx-y-2k+4=0的斜率k的取值范围为,1.故选C. [答案] C 13.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________. [解析] 直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过定点(2,-1),当点(2,-1)为圆和直线的切点时,圆的半径最大,此时r==,圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. [答案] (x-1)2+y2=2 14.(2019·湖南怀化一模)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线x-y-4=0相切. (1)求圆O的方程; (2)若直线l: y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点Q,使得=+? 若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由. [解] (1)设圆O的半径为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以r==2,所以圆O的方程为x2+y2=4. (2)因为直线l: y=kx+3与圆O相交于A,B两点,所以圆心O到直线l的距离d=<2,所以k>或k<-. 假设存在点Q,使得=+. 因为A,B在圆上,且=+,同时||=||,由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形,所以OQ与AB互相垂直且平分,所以原点O到直线l: y=kx+3的距离d=|OQ|=1.即=1,解得k2=8,则k=±2,经验证满足条件.所以存在点Q,使得=+,此时直线l的斜率为±2. 拓展延伸练 15.(2019·浙江嘉兴质检)已知直线l: xcosα+ysinα=2(α∈R),圆C: x2+y2+2xcosθ+2ysinθ=0(θ∈R),则直线l与圆C的位置关系是( ) A.相交B.相切 C.相离D.与α,θ有关 [解析] 圆C: x2+y2+2xcosθ+2ysinθ=0(θ∈R),即(x+cosθ)2+(y+sinθ)2=1(θ∈R)的圆心C的坐标为(-cosθ,-sinθ),半径为r=1.圆心C到直线l: xcosα+ysinα=2(α∈R)的距离 d= =2+cos(θ-α). 当cos(θ-α)=-1时,d=r,直线l和圆C相切; 当-1 [答案] D 16.(2019·山东青岛一模)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2,则这样的直线有( ) A.1条B.2条 C.3条D.4条 [解析] 如图,分别以A,B为圆心,1,2为半径作圆. 依题意得,直线l是圆A的切线,A到l的距离为1;直线l也是圆B的切线,B到l的距离为2.所以直线l是两圆的公切线,共3条(2条外公切线,1条内公切线).故选C. [答案] C
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