小学的奥数几何五大模型蝴蝶模型.docx
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小学的奥数几何五大模型蝴蝶模型
模型三蝴蝶模型(任意四边形模型)
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”:
S4
S3
S2
S1D
C
B
A
①1243:
:
SSSS=或者1324SSSS⨯=⨯
②((1243:
:
AOOCSSSS=++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】(小数报竞赛活动试题如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△
AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
A
【分析】根据蝴蝶定理求得3121.5AODS=⨯÷=△平方千米,公园四边形ABCD的面积是1231.57.5+++=平
方千米,所以人工湖的面积是7.56.920.58-=平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:
⑴三角形BGC的面积;⑵:
AGGC=?
B
【解析】⑴根据蝴蝶定理,123BGC
S⨯=⨯,那么6BGC
S
=;
⑵根据蝴蝶定理,((:
12:
361:
3AGGC=++=.(?
?
?
ABCDACOBCD
任意四边形、梯形与相似模型
面积的1
3
,且2AO=,3DO=,那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
A
BCD
AB
CD【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已
知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:
1:
3ABDBCDSS=,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。
再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。
请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一:
∵:
:
1:
3ABDBDCAOOCSS∆∆==,∴236OC=⨯=,
∴:
6:
32:
1OCOD==.
解法二:
作AHBD⊥于H,CGBD⊥于G.
∵1
3ABDBCDSS∆∆=,
∴1
3AHCG=,
∴1
3AODDOCSS∆∆=,
∴1
3
AOCO=,
∴236OC=⨯=,
∴:
6:
32:
1OCOD==.
【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、
4、4和6。
求:
⑴求OCF△的面积;⑵求GCE△的面积。
E
D
C
B
A
【解析】⑴根据题意可知,BCD△的面积为244616+++=,那么BCO△和CDO∆的面积都是1628÷=,
所以OCF△的面积为844-=;
⑵由于BCO△的面积为8,BOE△的面积为6,所以OCE△的面积为862-=,
根据蝴蝶定理,:
:
2:
41:
2COECOFEGFGSS∆∆===,所以:
:
1:
2GCEGCFSSEGFG∆∆==,
那么11221233
GCECEFSS∆∆=
=⨯=+.
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
7
7
B
A
【解析】在ABE,CDE中有AEBCED∠=∠,所以ABE,CDE的面积比为(AEEB⨯:
(CEDE⨯。
同
理有ADE,BCE的面积比为(:
(AEDEBEEC⨯⨯。
所以有ABES×CDES=ADES×BCES,也就是
说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:
上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即6ABES⨯=7ADES⨯,所以有ABE与ADE的面积
比为7:
6,ABES=7392167⨯=+公顷,ADES=6
391867
⨯=+公顷。
显然,最大的三角形的面积为21公顷。
【例5】(2008年清华附中入学测试题如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积
为。
B
D
B
D
【解析】连接AD、CD、BC。
则可根据格点面积公式,可以得到ABC∆的面积为:
41122+
-=,ACD∆的面积为:
3
313.52
+-=,ABD∆的面积为:
4
2132
+
-=.所以:
:
2:
3.54:
7ABCACDBOODSS∆∆===,所以44123471111
ABOABDSS∆∆=
⨯=⨯=+.
【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积。
D
【解析】因为:
2:
5BDCE=,且BD∥CE,所以:
2:
5DAAC=,525ABCS∆=
+,510
277
DBCS∆=⨯=.
【例6】(2007年人大附中考题如图,边长为1的正方形ABCD中,2BEEC=,CFFD=,求三角形AEG
的面积.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
【解析】连接EF.
因为2BEEC=,CFFD=,所以1111
(23212
DEFABCDABCDSSS∆=⨯⨯=.
因为12AEDABCDSS∆=,根据蝴蝶定理,11
:
:
6:
1212
AGGF==,
所以6613
677414
AGDGDFADFABCDABCDSSSSS∆∆∆===⨯=.
所以1322
21477AGEAEDAGDABCDABCDABCDSSSSSS∆∆∆=-=-==,
即三角形AEG的面积是2
7
.
【例7】如图,长方形ABCD中,:
2:
3BEEC=,:
1:
2DFFC=,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长
方形ABCD的面积.
A
B
C
DE
F
A
B
C
DE
F
【解析】连接AE,FE.
因为:
2:
3BEEC=,:
1:
2DFFC=,所以3111
(53210
DEF
ABCDABCDSSS=⨯⨯=长方形长方形.因为12AED
ABCDS
S=长方形,11
:
:
5:
1210
AGGF==,
所以510AGDGDFSS==平方厘米,所以12AFD
S=平
方厘米.因为1
6
AFDABCDSS=长方形,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.
【例8】如图,已知正方形
ABCD的边长为10厘米,E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角
形BDG的面积.
A
BA
B
【解析】设BD与CE的交点为O,连接BE、DF.
由蝴蝶定理可知:
:
BEDBCDEOOCSS
=,而1
4
BED
ABCDS
S=,12
BCD
ABCD
S
S=,
所以:
:
1:
2BED
BCD
EOOCS
S
==,故1
3
EOEC=.
由于F为CE中点,所以1
2
EFEC=,故:
2:
3EOEF=,:
1:
2FOEO=.
由蝴蝶定理可知:
:
1:
2BFDBEDSSFOEO==,所以11
28
BFDBEDABCDSSS==,
那么111
10106.2521616
BGDBFDABCDSSS===⨯⨯=(平方厘米).
【例9】如图,在ABC∆中,已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若AOM∆、ABO∆和
BON∆的面积分别是3、2、1,则MNC∆的面积是.
N
MC
B
A
【解析】这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得313
22
AOM
BONMONAOBSSSS∆∆∆∆⨯⨯===设MONSx∆=,根据共边定理我们可以得
ANMABM
MNCMBC
SSSS∆∆∆∆=,3332
312
x
x++=
++,解得22.5x=.
【例10】(2009年迎春杯初赛六年级正六边形123456AAAAAA的面积是2009平方厘米,
123456BBBBBB分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
B4
BA6
5
4
A3
AA
B4
BA6
5
4
A3
AA
【解析】如图,设62BA与13BA的交点为O,则图中空白部分由6个与23AOA∆一样大小的三角形组成,只要求
出了23AOA∆的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.连接63AA、61BB、63BA.
设116ABB∆的面积为”1“,则126
BAB∆面积为”1“,126AAB∆面积为”2“,那么636AAB∆面积为126AAB∆的2倍,为”4“,梯形1236AAAA的面积为224212⨯+⨯=,263ABA∆的面积为”6“,123BAA∆的面积为2.
根据蝴蝶定理,12632613:
1:
6BABAABBOAOSS∆∆===,故23616AOAS∆=+,12312
7
BAAS∆=,
所以23123612:
:
12:
1:
77AOAAAAASS∆=梯形,即23AOA∆的面积为梯形1236AAAA面积的1
7,故为六边形
123456AAAAAA面积的114,那么空白部分的面积为正六边形面积的13
6147
⨯=,所以阴影部分面积为
32009111487⎛⎫
⨯-=⎪⎝⎭
(平方厘米.
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”:
AB
C
D
b
aS3
S2
S1S4
①2213:
:
SSab=
②221324:
:
:
:
:
:
SSSSababab=;③S的对应份数为(2
ab+.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明
【例11】如图,22S=,34S=,求梯形的面积.
【解析】设1S为2
a份,3S为2
b份,根据梯形蝴蝶定理,234Sb==,所以2b=;又因为22Sab==⨯,所以
1a=;那么211Sa==,42Sab=⨯=,所以梯形面积123412429SSSSS=+++=+++=,或者根
据梯形蝴蝶定理,((22
129Sab=+=+=.
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已
知AOB△与BOC△的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是________平方厘米.
35
25A
B
C
D
【解析】根据梯形蝴蝶定理,2:
:
25:
35AOB
BOC
S
Saab==,可得:
5:
7ab=,再根据梯形蝴蝶定理,
2222:
:
5:
725:
49AOBDOCSSab===,所以49DOC
S
=(平方厘米.那么梯形ABCD的面积为
25353549144+++=(平方厘米.
【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角
形BOC面积的2
3
,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
AB
CD【解析】根据梯形蝴蝶定理,2:
:
2:
3AOB
BOC
S
S
abb==,可以求出:
2:
3ab=,
再根据梯形蝴蝶定理,2222:
:
2:
34:
9AODBOCSSab===.
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例13】(第十届华杯赛如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知1AO=,并且
3
5
ABDCBD=三角形的面积三角形的面积,那么OC的长是多少?
A
B
C
D
O
【解析】根据蝴蝶定理,ABDAOCBDCO=三角形的面积三角形的面积,所以35AOCO=,又1AO=,所以5
3
CO=.
【例14】梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是29cm,问三角形AOD的面积是多少?
AB
C
D
【解析】根据梯形蝴蝶定理,:
1:
1.52:
3ab==,2222:
:
2:
34:
9AODBOCSSab∆∆===,
所以(
24cmAODS∆=.
【巩固】如图,梯形ABCD中,AOB∆、COD∆的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.
D
C
B
A
【解析】根据梯形蝴蝶定理,22:
:
4:
9AOB
ACOD
S
S
ab==,所以:
2:
3ab=,
2:
:
:
3:
2AODAOBSSababa===,3
1.21.82
AODCOBSS==⨯=,
1.21.81.82.77.5ABCDS=+++=梯形.
【例15】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH
的面积是23,求四边形EGFH的面积.
GF
ED
C
BA
GF
E
D
C
BA
【解析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面
积等于三角形ADG的面积;三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积是112334+=.
【巩固】(人大附中入学测试题如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2
的面积为36,则三角形1的面积为________.
3213
21
【解析】做辅助线如下:
利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角
形3,所以1的面积就是4361645⨯=+,3的面积就是5
362045
⨯=+.
【例16】如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.
B
A
【解析】因为M是AD边上的中点,所以:
1:
2AMBC=,根据梯形蝴蝶定理可以知道
22:
:
:
1:
12:
12:
21:
2:
2:
4AMGABGMCGBCGSSSS=⨯⨯=△△△△()(),
设1AGMS=△份,则123MCDS=+=△份,所以正方形的面积为1224312++++=份,224S=+=阴影份,所以:
1:
3SS=阴影正方形,所以1
S=阴影平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平
方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
AB
C
D
E
【解析】连接DE,根据题意可知:
1:
2BEAD=,根据蝴蝶定理得2
129S=+=梯形()(平方厘米,3ECDS=△(平
方厘米,那么12ABCD
S
=(平方厘米.
【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,,EF是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.
D
A
【解析】因为,EF是DC边上的三等分点,所以:
1:
3EFAB=,设1OEFS=△份,根据梯形蝴蝶定理可以知道
3AOEOFBSS==△△份,9AOBS=△份,(13ADEBCFSS==+△△份,因此正方形的面积为244(1324+++=份,6S=阴影,所以:
6:
241:
4SS==阴影正方形,所以3S=阴影平方厘米.
【例18】如图,在长方形ABCD中,6AB=厘米,2AD=厘米,AEEFFB==,求阴影部分的面积.
D
D
【解析】方法一:
如图,连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形AED的面积为
26322⨯÷÷=平方厘米.
由于:
1:
3EFDC=,根据梯形蝴蝶定理,:
3:
1DEOEFOSS=,所以3
4
DEODEFSS=,而2DEFADE
SS==平方厘米,所以3
21.54
DEOS=⨯=平方厘米,阴影部分的面积为21.53.5+=平方厘米.
方法二:
如图,连接DE,FC,由于:
1:
3EFDC=,设1OEFS=△份,根据梯形蝴蝶定理,3OEDS=△
份,2(1316EFCDS=+=梯形份,134ADEBCFSS==+=△△份,因此416424ABCDS=++=长方形份,437S=+=阴影份,而6212ABCDS=⨯=长方形平方厘米,所以3.5S=阴影平方厘米
【例19】(2008年”奥数网杯”六年级试题已知ABCD是平行四边形,:
3:
2BCCE=,三角形ODE的
面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.
B
B
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形,:
3:
2BCCE=,所以:
2:
3CEAD=,
根据梯形蝴蝶定理,22:
:
:
2:
23:
23:
34:
6:
6:
9COEAOCDOEAODSSSS=⨯⨯=,所以6AOC
S
=(平方厘
米,9AODS=(平方厘米,又6915ABC
ACD
SS
==+=(平方厘米,阴影部分面积为61521+=(平
方厘米.
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米,阴影部
分的面积是平方厘米.
B
B
【分析】连接AE.
由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么OCDOAESS∆∆=.
根据蝴蝶定理,4936OCDOAEOCEOADSSSS∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=,故236OCDS∆=,所以6OCDS∆=(平方厘米.
【巩固】(2008年三帆中学考题右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单
位:
平方厘米,阴影部分的面积是平方厘米.
B
B
【解析】连接AE.
由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么OCDOAESS∆∆=.
根据蝴蝶定理,2816OCDOAEOCEOADSSSS∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=,故216OCDS∆=,所以4OCDS∆=(平方厘米.
另解:
在平行四边形ABED中,(11
1681222
ADEABEDSS∆==⨯+=(平方厘米,
所以1284AOEADEAODSSS∆∆∆=-=-=(平方厘米,
根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米.
【例20】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF∆的面积是5平方厘米,CED∆的面积是
10平方厘米.问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
F
A
B
C
D10
5F
A
BC
D
10
5
【分析】连接BF,根据梯形模型,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等,即其面积也是10平
方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为1010520⨯÷=(平方厘米,所以长方形的面积为(2010260+⨯=(平方厘米.四边形ABEF的面积为605102025---=(平方厘米.
【巩固】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF∆的面积是4平方厘米,CED∆的面积是6平
方厘米.问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
6
4A
BC
D
F
6
4A
BCD
F
【解析】(法1连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积
相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为6649⨯÷=(平方厘米,所以长方形的面积为(96230+⨯=(平方厘米.四边形ABEF的面积为3046911---=(平方厘
米.
(法2由题意可知,
4263EFEC==,根据相似三角形性质,2
3
EDEFEBEC==,所以三角形BCE的面积为:
2
693
÷
=(平方厘米.则三角形CBD面积为15平方厘米,长方形面积为15230⨯=(平方厘米.四边形ABEF的面积为3046911---=(平方厘米.
【巩固】(98迎春杯初赛如图,ABCD长方形中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB
的长是9.那么四边形OECD的面积是多少?
B
【解析】因为连接ED知道ABO△和EDO△的面积相等即为54,又因为169ODOB∶=∶,所以AOD△的面积
为5491696÷⨯=,根据四边形的对角线性质知道:
BEO△的面积为:
54549630.375⨯÷=,所以四边形OECD的面积为:
549630.375119.625+-=(平方厘米.
【例21】(2007年”迎春杯”高年级初赛如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米.
?
8
5
2ABC
D
E
F
8
5
2AB
C
DE
F
【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形,所以EODFOCSS
∆=,又根据蝴蝶定理,
EODFOCEOFCODSSSS∆∆∆∆⋅=⋅,所以2816EODFOCEOFCODSSSS∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=,所以4EODS∆=(平方厘米,4812ECDS∆=+=(平方厘米.那么长方形ABCD的面积为12224⨯=平方厘米,四边形OFBC的面积为245289---=(平方厘米.
【例22】(9
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