高考总复习之二次函数.docx
- 文档编号:30388793
- 上传时间:2023-08-14
- 格式:DOCX
- 页数:7
- 大小:18.81KB
高考总复习之二次函数.docx
《高考总复习之二次函数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考总复习之二次函数.docx(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考总复习之二次函数
高考总复习之二次函数
题目第二章函数二次函数
高考要求
1要掌握二次函数的图象和性质,有单调性,对称轴,顶点,二次函数的最值讨论方法,二次方程根的分布的讨论方法,特别是韦达定理的应用
2能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件;能求二次函数的区间最值
知识点归纳[来源:
]
二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
1二次函数的图象及性质:
二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是
2二次函数的解析式的三种形式:
用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即,和(顶点式)
3根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:
令f(x)=ax2+bx+c(a0)
(1)x1α,x2α,则;
(2)x1α,x2α,则
(3)αx1?
αx2?
则(4)x1α,x2?
(α?
),则
(5)若f(x)=0在区间(α,?
)内只有一个实根,则有
4最值问题:
二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,?
]上的最值一般分为三种情况讨论,即:
(1)对称轴?
b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;
(2)对称轴?
b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
1讨论二次函数的区间最值问题:
①注意对称轴与区间的相对位置;②
2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:
①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置
5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:
①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c0(0)的解集为或者是R;
②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c0(0)的解集为或者是R;
③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c0(0)的解集为或者是
题型讲解
例1函数是单调函数的充要条件是( )
ABCD
解:
∵函数的对称轴,
∴函数是单调函数,故选A
例2 已知二次函数的对称轴为,截轴上的弦长为,且过点,求函数的解析式
解:
∵二次函数的对称轴为,
可设所求函数为,
又∵截轴上的弦长为,
∴过点和,又过点,∴,,∴
例3 已知函数的最大值为,求的值[来源:
学+科+网]
分析:
令,问题就转二次函数的区间最值问题
解:
令,,
∴,对称轴为,
(1)当,即时,,得或(舍去)
(2)当,即时,函数在单调递增,由,得(3)当,即时,函数在单调递减,
由,得(舍去)
综上可得:
的值为或
例4已知函数与非负轴至少有一个交点,求的取值范围
解法一:
由题知关于的方程至少有一个非负实根,设根为
则或,得
解法二:
由题知或,得
解法三:
当函数与非负轴没有交点时,
则或,得或
∴函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为
例5 设二次函数,已知不论α,β为何实数,恒有
(1)求证:
(2)求证:
(3)若函数的最大值为8,求b,c的值
解:
(1)由产生b+c,只要消除差异,这可令[来源:
Z#xx#k.Com][来源:
]从而知[来源:
]
(2)由
即 ,∴又因为(3)当由解得
点评 注意:
且,这是用不等式证明等式的有效方法,很是值得重视
例6 设f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f
(1)=0,g(x)=ax+b
(1)求证:
函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点;
(2)设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1,求|A1B1|的取值范围;
证明
(1):
∵f(x)=ax2+bx+c,f
(1)=0∴f
(1)=a+b+c=0
又a>b>c
∴3a>a+b+c>3c
∴a>0,c<0由∴Δ=(b-a)2-4a(c-b)=(b+a)2-4ac>0
故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点;
解
(2):
设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两根故x1+x2=-,x1x2=,
由题意,
|A1B1|=|x1-x2|===
==[来源:
]
∵a>b>c,a+b+c=0∴a>-(a+c)>c∴-2<<-
∴|A1B1|的取值范围是(,2)
例7 是否存在实数a,b,c使函数f(x)=ax2+bx+c(a0),的图像经过M(-1,0),且满足条件"对一切实数x,都有xf(x)"
解:
因为图像经过M(-1,0),所以a-b+c=0
又因为xf(x)
∴当x=1时,1f
(1)1,所以f
(1)=1
即 a+b+c=1
从而所以b=
∴ xax2+对一切实数x恒成立
即的解集为R
∵a=0或a=,
∴所以a=c=,b=
例8 设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,而当
(1)求f(x)的表达式
(2)对于任意
解:
(1)设P(x,y)是f(x)图象上的任意点,则P(x,y)关于直线x=1的对称点为Q(2-x,y)必在g(x)图像上,且2≤2-x≤3即x∈[-1,0]
∴ x∈[-1,0]
∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,∴f(0)=0,∴c=当
(2)当时,∴例9 设函数f(x)=|x-a|-ax,其中0a1为常数
(1)解不等式f(x)0;
(2)试推断函数f(x)是否存在最小值?
若存在,求出其最小值;若不存在,说明理由
解:
(1)由f(x)0得,|x-a|ax,即-axx-aax,
∴不等式的解集是
(2)∵∴内是增函数,内是减函数 ∴
例10 对于函数,若存在,使,则称是的一个不动点,已知函数,
(1)当时,求函数的不动点;[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
(2)对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,若的图象上两点的横坐标是的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值
解:
(1),是的不动点,
则,得或,
函数的不动点为和[来源:
]
(2)∵函数恒有两个相异的不动点,
∴恒有两个不等的实根,
对恒成立,
∴,得的取值范围为
(3)由得,
由题知,,
设中点为,则的横坐标为,∴,∴,[来源:
Z当且仅当,即时等号成立,
∴的最小值为
学生练习
1设x,y是关于m的方程m2?
2am+a+6=0的两个实根,则(x?
1)2+(y?
1)2的最小值是()
(A)?
1225(B)18(C)8(D)无最小值
2函数f(x)=2x2?
mx+3,当x?
(?
?
?
1]时是减函数,当x?
[?
1,+?
)时是增函数,则f
(2)=
3方程x2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是;有一正根,一负根的充要条件是___;至少有一根为零的充要条件____
4如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中,一个比2大,另一个比2小,则实数a的取值范围是
5设方程x2?
mx+1=0的两个根为α,?
且0α1,1?
2,则实数m的取值范围是____
6直线y=kx+1与双曲线x2?
y2=1的左支相交,则k的取值范围是
7已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是(?
?
?
3)?
(2,+?
),则关于x的不等式bx2+ax+c0的解集是
8方程x2+(m?
2)x+2m?
1=0在(0,1)内有一根,则m?
;或m=6?
2)在(0,1)内至少有一根,则m?
9线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2?
2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点,试求实数a的取值范围
10已知f(x)=(m?
2)x2?
4mx+2m?
6=0的图象与x轴的负半轴有交点,求实数m的取值范围
11已知二次函数f(x),f(x+1)+f(x?
1)=2x2?
4x对任意实数x都成立,试求f(1?
)的值
12已知函数f(x)=mx2+(m?
3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围
13根据市场调查,某商品在最近40天内的价格与时间t满足关系:
销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=?
t/3+43/3(0?
t?
40),t?
N),求这种商品日销售量的最大值
14已知函数f(x)=lg(x2?
2mx+m+2)
(1)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数m的取值范围
15若二次函数f(x)=4x2?
2(p?
2)x?
2p2?
p+1在区间[?
1,1]内至少存在一点c?
使f(c)0,求实数p的取值范围
16已知而二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=?
bx,其中a,b,c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c?
R)
(1)求证:
两函数的图象相交于不同两点A,B;
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围
17设2sin2x+acosx-1≤3a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围
18在平行四边形ABCD中,已知AB=a,BC=b(ab),∠A=60°,在AB,AD,CB,CD上分别取AE,AH,CF,CG都等于x(0≤x≤b),求x取何值时,四边形EFGH面积最大?
最大值为多少?
19已知函数f(x)=ax2+(2a?
1)x?
3(a≠0)在区间[?
3/2,2]上的最大值为1,求实数a的值
20已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β证明:
(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│a│<4+b且│b│<4;
(Ⅱ)如果2│a│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2
21已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当?
1≤x≤1时,│f(x)│≤1
(Ⅰ)证明:
│b│≤l;
(Ⅱ)证明:
当?
1≤x≤1时,│g(x)│≤2;
22已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(?
1)=0,对于任意实数x,都有f(x)?
x?
0,并且x?
(0,2)时,f(x)=(x+1)2/4,
(1)求f
(1);
(2)求f(x)
23若对任意实数x,sin2x+2kcosx?
2k?
20恒成立,求实数k的取值范围
24线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2?
2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点,试求实数a的取值范围
参考答案:
1C
219
3b2?
4c0,b0,c0,c0,c=0
4a?
1[来源:
Z。
xx。
k.Com]
52m5/2
6?
?
k?
17(?
3,2)(用韦达定理可得b=a,c=?
6a,a0,代入不等式即可)
81/2m?
2/3,m?
(1/2,6?
2]
有一根,分为四种情况讨论:
(i)f(0)f
(1)01/2m2/3;(ii)Δ=0,0(2?
m)/21m=6?
2;
(iii)f(0)=0,则m=1/2,另一根为3/2不合条件;(iv)f
(1)=0,m=2/3,另一根为1/3符合题意
有两根,则m?
(2/3,6?
2)
另法:
可以观察二次函数y=x2?
2x?
1与y=?
m(x+2)的图象得到结果9?
a9/410
(1)m=2时,交点为(?
1/4,0),m≠2时,
(i)一正一负,(m?
2)(2m?
6)0,∴2m3,(ii)两负,1?
m2,(iii)一根为零,一根为负,无解,综合得1?
m3
11f(x)=x2?
2x?
1,f(1?
)=0
12若m=0,满足要求;若m≠0,①原点两侧各一个根,x1x2=/1m0,∴m0;
②两根都在原点右侧,则Δ?
0,x1+x20,x1x20,解得0m?
1,综合可得:
m?
(?
?
1]
13当0?
t20时,日销售额S=(t/2+11)(?
t/3+43/3)=?
(t2?
21t?
22?
43)/6
故当t=10或11时,Smax=176, 当20?
t?
40时,S=(t?
41)(t?
43)/3,故t=20时,Smax=161综上,日销售额的最大值是176
14
(1) ?
1m2;
(2)m?
2或m?
?
1)
15解1:
依题意,有f(?
1)0,f或
(1)0,即2p2?
p?
10,或2p2+3p?
90,∴?
1/2p1或?
3p3/2,∴?
303/2
解2:
(补集法)令f(?
1)?
0,且f
(1)?
0,解得:
p?
?
3或p?
3/2,符合条件的p?
(?
3,3/2)观察图象而得到
16
(1)联立方程,得ax2+2bx+c=0,Δ=4(a2+ac+c2),∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0,∴Δ0,所以两函数的图象有两个不同交点;
(2)设方程的两根为x1,x2,则|A1B1|2=Δ/a2=4[()2+],∵a+b+c=0,abc,∴a?
(a+c)c,ao,
∴c/a?
(?
2,?
1/2),此时|A1B1|2?
(3,12),∴|A1B1|?
()
17解法一:
原不等式可变形为2cos2x?
acosx+3a?
1?
0,令t=cosx?
[?
1,1],由对称轴分三种情况讨论;
解法二:
原不等式可变形为?
a?
(2cos2x?
1)/(3?
cosx),令3?
cosx=t,则a?
2t+17/t?
12(t?
[2,4],∴a?
12?
2
18S=(0x≤b)
(1)当a≤3b时,S的最大值为;
(2)当a≥3b时,S的最大值为
19最大值点只可能是端点或顶点讨论f(?
3/2)=1,f
(2)=1,或顶点处的函数值为1,a=3/4或a=?
3/2?
20证明要点:
a=?
(α+?
),b=α?
分析转化条件2|α+?
|4+α?
|α?
|4是关键
21(I)?
1?
a+b+c?
1,?
1?
a?
b+c?
1,∴?
1?
b?
1,?
1?
a+c?
1,
(II)极端化思想,由
(1)可知|a+b|=|a+b+c?
c|?
|a+b+c|+|?
c|,
∴|g
(1)|=|a+b|?
2,|g(?
1)|=|a?
b|?
2,由于g(x)(x?
[?
1,1])的图象是一条线段,它的两个端点纵坐标都在区间[?
2,2]内,从而整条线段上点的纵坐标都在区间[?
2,2]内,即?
1?
x?
1时,|g(x)|?
2;
22f
(1)=1,f(x)=x2/4+x/2+1/423k1?
24?
a9/4(消去y可得:
)
课前后备注
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 复习 二次 函数