人教版数学初中七年级下册知识讲解巩固练习教学资料补习资料专题92 一元一次不等式.docx

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人教版数学初中七年级下册知识讲解巩固练习教学资料补习资料专题92一元一次不等式

第九章不等式与不等式组

9.2一元一次不等式

知识

1．一元一次不等式的概念

含有__________未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.

判定一元一次不等式的方法：

（1）看式子是不是由不等号连接而成；

（2）看化简（去括号、移项、合并同类项）后的不等式两边是否为整式（分母中是否含有未知数）；（3）看是否只含有一个未知数；

（4）看未知数的次数是否为1．

一元一次不等式与一元一次方程的区别：

一元一次不等式表示大小关系，由不等号连接；一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向．

2．一元一次不等式的解法

解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a（x≥a）或x

一般步骤：

步骤

根据

去分母

不等式的性质2或3

去括号

去括号法则

移项

不等式的性质1

合并同类项

合并同类项法则

系数化为1

不等式的性质2或3

在去分母时__________不含分母的项，移项要变号，注意不等号方向是否改变．

3．列不等式解决实际问题

列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即

（1）审：

认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：

设出适当的未知数；

（3）找：

找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等的含义；

（4）列：

根据题中的不等关系列出不等式；

（5）解：

解出所列的不等式的解集；

（6）答：

检验是否符合题意，写出答案.

知识参考答案：

1．一个

2．不要漏乘

重点

重点

了解一元一次不等式的概念，会解一元一次不等式，并能将其解集在数轴上表示出来，在实际问题中建立不等关系，并根据不等关系列出不等式

难点

一元一次不等式的解法；在实际问题中如何建立不等关系，并根据不等关系列出不等式

易错

在解一元一次不等式的过程中，因为去分母、去括号、移项等出现错误；利用不等式解决实际问题时，忽略问题的实际意义，在取特殊值时易出现问题

一、一元一次不等式的概念

确定一个不等式是否为一元一次不等式必须满足两个条件：

①经化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1，系数不为0；②不等式两边都是整式.

【例1】下列式子中，是一元一次不等式的是

A．x2<1B．y–3＞0

C．a+b=1D．3x=2

【答案】B

【解析】A、未知数次数是2，属于一元二次不等式，故本选项错误；

B、符合一元一次不等式的定义，故本选项正确；

C、含有2个未知数，属于二元一次方程，故本选项错误；

D、含有1个未知数，是一元一次方程，故本选项错误；

故选B．

二、一元一次不等式的解法

一元一次不等式是不等式的一种类型，我们可以利用不等式的性质来求解不等式，求不等式的解集的过程叫做解不等式.

解一元一次不等式可按下列步骤进行：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（特别要注意不等号方向的改变问题）．

【例2】解不等式：

3（2x–1）+1≥x+3．

【解析】3（2x–1）+1≥x+3，

去括号，得6x–3+1≥x+3，

移项及合并同类项，得5x≥5，

系数化为1，得x≥1，

∴原不等式组的解集为x≥1．

三、列一元一次不等式解决实际问题

列一元一次不等式解决实际问题，应根据问题中的不等关系列出不等式，把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式得到问题的答案．

【例3】在某校园超市中买1支英雄牌钢笔和3本硬皮笔记本需要18元钱；买同样的钢笔2支和笔记本5本要31元.

（1）求每支英雄牌钢笔和每本硬皮笔记本的价格；

（2）九年一班准备用班费购买48件上述价格的钢笔和笔记本，作为毕业联欢会的奖品，已知班费不少于200元，求最少可以买多少本笔记本.

【解析】

（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元．

依题意得：

，解得

.

答：

每支英雄牌钢笔为3元，每本硬皮笔记本为5元；

（2）设可以购买a本笔记本，由题意可得：

3（48–a）+5a≥200，

解得a≥28.

答：

最少可以买28本笔记本．

基础训练

1．下列不等式中是一元一次不等式的是

A．2x2–5>0B．

+x<5

C．–5y+8>0D．2x+2=2（1+x）

2．不等式

的解集为

，则

的值为

A．4B．2

C．

D．

3．不等式3x≤2（x–1）的解集为

A．x≤–1B．x≥–1

C．x≤–2D．x≥2

4．不等式2x–3<1的解集在数轴上表示为

A．

B．

C．

D．

5．下列式子是一元一次不等式的有__________（填序号）.

①x2–2x+1>0；②2–3x<5；③5>–5；④3x+3y>7；⑤

<2；⑥

．

6．请你写出一个满足不等式2x–1<6的正整数x的值：

________．

7．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜的得分要超过90分，设她答对了x道题，则根据题意，可列不等式为________．

8．解不等式：

＞1–

．

9．解下列不等式：

2x–5≤2

.

10．解不等式2x–3<

，并把解集在数轴上表示出来．

11．今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．

（1）求购进A，B两种树苗的单价；

（2）若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．

能力测试

12．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%.假设不计超市其他费用，如果超市要想获得至少20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高

A．

B．

C．

D．

13．已知2（a–3）<

，那么不等式

A．x<

B．x<

C．x>

D．x<

14．如果关于x的方程3x–m+1=2x–1的解是负数，那么m的取值范围是

A．m>0B．m<0

C．m>2D．m<2

15．

（x–m）>3–

m的解集为x>3，则m的值为________.

16．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，甲工人步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于__________米.

17．若关于x的方程2x–3m=2m–4x+4的解不小于

–

，求m的最小值．

18．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案:

在甲超市累计购买商品超出300元，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元，超出部分按原价的8.5折优惠.设顾客预计累计购物x元（x>300）.

（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；

（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠?

说明你的理由.

真题练习

18．（2019·山西）2019年国内航空公司规定：

旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：

11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为__________cm．

19．（2019·河池）某冷饮店用200元购进A，B两种水果共20kg，进价分别为7元/kg和12元/kg．

（1）这两种水果各购进多少千克？

（2）该冷饮店将所购进的水果全部混合制成50杯果汁，要使售完后所获利润不低于进货款的50%，则每杯果汁的售价至少为多少元？

20．（2019•无锡）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件，厂家与商场约定：

若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场，商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：

A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？

21．（2019•辽阳）青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．

（1）求每袋大米和面粉各多少元；

（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？

参考答案

1．【答案】C

【解析】A是一元二次不等式；B分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式；C是一元一次不等式，D不是不等式，所以只有C正确，故选C．

2．【答案】B

【解析】不等式的两边同时乘以3得，x–m＞6–3m，

移项，合并同类项得，x＞6–2m，

∵不等式的解集是x＞2，∴6–2m=2，解得m=2．故选B．

3．【答案】C

【解析】去括号得，3x≤2x–2，

移项、合并同类项得，x≤–2，

故选C．

4．【答案】D

【解析】因为2x<1+3，所以x<2，在数轴上表示为

；故选D.

5．【答案】②⑥

【解析】①x2–2x+1>0，是一元二次不等式；

②2–3x<5，是一元一次不等式；

③5>–5，含有不等号，是不等式，不是一元一次不等式；

④3x+3y>7，是二元一次不等式；

⑤

<2，分母含有未知数，不是一元一次不等式；

⑥

，是一元一次不等式.

所以是一元一次不等式的是②⑥；

故答案为：

②⑥．

6．【答案】答案不唯一：

1，2，3都可以．

【解析】解不等式得：

x＜

，∵x是正整数，∴x可取1、2、3.

7．【答案】10x–5（20–x）＞90

【解析】根据题意，得：

10x–5（20–x）＞90．

故答案为：

10x–5（20–x）＞90．

8．【解析】

，

去分母，得

，

去括号，得

，

移项，合并同类项，得

，

系数化为1，得

.

9．【解析】去括号得2x–5≤x–6，

移项得，2x–x≤–6+5，

合并同类项，系数化为1得x≤–1．

10．【解析】3（2x–3）

6x–9

5x<10，

x<2，

∴原不等式的解集为x<2，

在数轴上表示为：

11．【解析】

（1）设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为y元，

可得：

，解得：

．

答：

A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.

（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30–a）棵，

可得：

200a+300（30–a）≤8000，

解得：

a≥10.

答：

A种树苗至少需购进10棵．

12．【答案】B

【解析】设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，

由题意得：

≥20%，解得：

x≥

．

则这种水果的售价在进价的基础上应至少提高

．

故选B．

13．【答案】C

【解析】解不等式2（a–3）<

得a<

，

不等式

∵a<

，∴a–5<0，

∴不等式两边除以a–5可得，x＞

；

故选C．

14．【答案】D

【解析】∵3x–m+1=2x–1，∴x=m–2，

∵关于x的方程3x–m+1=2x–1的解是负数，

∴m–2<0，解得m<2．故选D．

15．【答案】

【解析】去括号得：

x−

m＞3−

m，

移项得：

x＞3−

m+

m，

合并同类项得

x＞3−m，

系数化为1得x＞6–2m，

∵不等式的解集为x＞3，∴6–2m=3，

解得：

m=

，

故答案为：

．

16．【答案】1.3

【解析】设导火线的长度为x，

工人转移需要的时间为：

=130秒，

由题意得，x≥130×0.01=1.3（米）.

17．【解析】关于x的方程2x–3m=2m–4x+4的解为：

x=

，

根据题意，得

≥

，

去分母，得4（5m+4）≥21–8（1–m），

去括号，得20m+16≥21–8+8m，

移项，合并同类项得12m≥–3，

系数化为1，得m≥–

．

所以当m≥–

时，方程的解不小于

，m的最小值为–

．

18．【解析】

（1）在甲超市购物所付的费用是：

300+0.8（x–300）=（0.8x+60）元；

在乙超市购物所付的费用是：

200+0.85（x–200）=（0.85x+30）元；

（2）当0.8x+60>0.85x+30时，解得x<600，

又因为x>300，所以300

即顾客累计购物超过300元而不满600元时，到乙超市更优惠；

当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600，

所以当顾客累计购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；

当0.8x+60<0.85x+30时，解得x>600，

即顾客累计购物超过600元时，到甲超市更优惠.

18．【答案】55

【解析】设长为8x，高为11x，

由题意，得：

19x+20≤115，

解得：

x≤5，

故行李箱的高的最大值为：

11x=55，

答：

行李箱的高的最大值为55厘米．

故答案为：

55．

19．【解析】

（1）设A种水果购进了x千克，则B种水果购进了（20–x）千克，

根据题意得：

7x+12（20–x）=200，

解得：

x=8，

则20–x=12．

答：

购进A种水果8千克，B种水果12千克；

（2）设每杯果汁的售价至少为y元，

根据题意得，50y–200≥200×50%，

解得y≥6．

答：

每杯果汁的售价至少为6元．

20．【解析】设A商场售出该商品x件．

①当A商城的采购量小于400件时，有（100–75）x≥9600，

解得：

x≥384，

∴商城对这种商品的销量至少要384件；

②当A商城的采购量等于400件时，有100x–400×75+65（400–x）+400×5≥9600，

解得：

x≥331

，

∵x为正整数，∴x≥332，

∴商城对这种商品的销量至少要332件；

③当A商城的采购量大于400件时，销售量必须大于332件，才能保证获利达到9600元．

答：

当A商场对这种商品的销量至少要332件时，他们的获利能达到9600元．

21．【解析】

（1）设每袋大米x元，每袋面粉y元，

根据题意，得：

，解得

．

答：

每袋大米60元，每袋面粉45元；

（2）设购买面粉a袋，则购买米（40–a）袋，

根据题意，得：

60（40–a）+45a≤2140，

解得：

a≥17

，

∵a为整数，∴最少购买18袋面粉．