清华大学信号与系统课后问题思考.docx
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清华大学信号与系统课后问题思考
Rucc总结近期作业情况:
5月31日
这几次作业错误比较少,主要错误在12-7列写系统方程出错,好多人没有回答能否省略增益为1的通路;8-34,8-36的幅度响应图画错。
此外,作业中有个别抄袭现象。
问题1:
两个周期信号线性迭加是否仍是周期函数?
解答:
如果两函数的周期是有理相关的,则线性迭加后仍然是周期的;但如果非有理相关,则线性迭加生成的信号就是非周期的。
证明:
用反证法。
假设:
sinx+sinx的周期为t,即
当x=-t/2时,有sin(t/2)=-sin(лt/2),显然等式只有在t=0时才成立。
假设不成立。
问题2:
H.T.在负频率时为超前90度,怎样解释?
解答:
负频率是为了完备性而虚设的,只需将HT的相频特性认为是奇函数即可,其群延迟为冲激函数,是物理不可实现的。
在实际应用中,都是近似的。
因此,只考虑正频率的情况,即HT是-90度相位校正器。
问题3:
非线性系统是否能够不失真?
解答:
非线性系统必然存在频率失真,可以工作在线性段,或利用其非线性失真,因此不存在无失真传输问题。
问题4:
这两天复习信号时看了一下北航2001年的考研试题,其中有一道题提供的标准答案说“卷积的方法只适用于线性时不变系统”,我从卷积的推导中看不出为什么时不变是一个条件,而且我认为只要是线性的就可以了,不知道正不正确?
解答:
你的问题可能是:
输出等于输入与系统冲激响应的卷积。
我们现在研究的是线性时不变系统的分析方法。
前面的课应该讲过而且推导过:
线性时不变系统的零状态响应等于系统输入与冲激响应的卷积。
此结论的推导过程中,一定用到了线性系统的迭加性(如果你忘了或者课上没有讲下次课问我)。
单从卷积来说,卷积的过程包含反折、时移、相乘、积分,是一个时间历程(卷积输出结果的非零时间段是两个函数时宽之和),要求在此过程中,h(t)保持不变,积分结果才具有确切的时间函数意义。
因此,时不变是必要的。
此外,系统是时变的(即使假设非连续时变,即时变粒度非任意小),说的是,对于不同时变区间的激励其响应不同,系统函数h(t)时移的前后其波形发生变化,因此,破坏了解的连续性和唯一性。
目前,时变常微分方程和时变偏微分方程(变量含有时间参数t)的研究仍然是数学界的热点,该领域称之为发展方程理论,但超过二阶的就很难有普适的解析解了(存在性、连续性、唯一性),要针对具体问题才能求解。
研究时变系统的另一个领域是随机微分方程,一个随机过程自然是时变的,解这样的方程也有一些成熟的办法,可能你们以后会学到。
实际工程中,遇到时变的问题,往往寻求局部线性化,然后做平滑接口。
我们最后一章要讲的卡尔曼“状态空间”方法,也是描述时变系统的一种成熟理论,尤其是可以借助于计算机求时变系统的数值解,在现代控制系统设计分析中起了重要的作用。
估计哥伦比亚号航天飞机失事的分析少不了用到状态空间分析,呵呵。
问题5:
关于walsh函数(335页倒数第三行)有这样一个命题,当k为奇数时,walsh(k,t)对原点时奇函数,但是cos()函数是偶函数,也就是说,在t=0附近,不论t是否大于0,sgn(cos(ct))都等于1(c是walsh函数中t的系数),即不论k是不是奇数,都有walsh(t)=walsh(-t),所以我不明白,为什么说walsh()函数可以是奇函数.麻烦您给我讲一下,谢谢!
解答:
walsh函数的定义域是[0,1)。
k为偶数时,关于t=1/2偶对称;k为奇数时,关于t=1/2奇对称。
若在整个t轴上进行周期延拓,就成为周期为1的周期函数。
其波形也是符合上述奇偶对称规律的,如下图所示。
如果walsh函数的定义域是[-1/2,1/2),你的结论就对了。
问题6:
上册291页关于理想带通滤波器的定义.书上说是相位特性是过载波点的直线,我以为那样的话就不能满足相位不失真了:
解答:
并参见文件(带通滤波器相位特性讨论.ppt)
无失真传输带通系统的相频特性确实应该也是过零点的负斜率直线。
但由于是带通系统,传输的信号都在带内,所以可以在带内附加相移,使得在载频点的的相移为零,仍然满足不失真条件,参见ppt文稿。
这也是带通滤波器物理实现时的要求:
以载频点为中心频率,通带内幅度平稳、相位线性。
这部分内容应该花30分钟时间详细给出推导,并举例说明,但本学期特殊情况,只好自学。
鉴于此问题,我想应该发展一下“无失真传输”理论:
幅频特性在带内为常数,相频特性为过通带中心频率点的负斜率直线。
问题7:
书p281页式5-40,按此式来讲,该系统的冲激相应在t<0时刻还是已经存在了啊.
解答:
从(5-37)到(5-39)的过程,频率的取值都是从负无穷到正无穷,(5-30)式应该再乘以u(t)就对了。
在281页倒数第2行作了说明:
冲击响应起始时刻在t=0处。
问题8:
对于码速和带宽我区分的不清楚.码速的意思究竟是什么呢?
是我们平时说的传输速度吗?
比如:
100kb/s?
”宿舍楼都是10M的带宽”与这的”带宽”是一个意思?
解答:
码速,是“比特/秒,b/s=bps”,即平时经常说的传输速度,也称速率。
带宽之于信号,是其在频域(时域信号的傅立叶变换)能量主要集中处定义的某种宽度,如时域脉冲信号在频域的第一主瓣宽度、钟型信号的3dB带宽、信号的等效带宽(有专门定义)等。
带宽之于系统,是描述传输或处理信号的信道(如导线、光纤、大气空间、放大器、滤波器、均衡器、移相器、调制器等)的频率响应特性,即所谓系统的带宽,单位是Hz。
根据《信息论》课讲的Shannon定理,系统的容量(能够传输的最高信号比特速率)与系统带宽和信号质量(表现为“信噪比”)有关:
其中,C是信道容量(b/s),B是系统带宽(Hz),PS是信号功率,PJ是总干扰功率。
问题9:
isdn和internet的区别?
我们接触的哪些是isdn啊?
解答:
信息网包括接入、传输、交换三部分。
交换方式有两种:
电路交换(如电话网)、包交换(如计算机网)。
宽带ISDN(B-ISDN)采用ATM方式,可以用于高速包交换,因此可以作为Internet骨干网;同时它还能建立虚拟的通路,因此也可以用于提供具有实时性要求(指延迟和延迟抖动)的多媒体业务。
常见的N-ISDN是2B+D(两个64kbps、一个16kbps),可以同时进行话音、数据(含低速率动态图象)的通信,市场上卖的“一线通”就是这种,在通话的同时上网传图象。
ISDN(综合业务数字网)的初衷,是为了将语音、数据、图象统一起来,因此其协议设计要满足三种业务的需求。
Internet的初衷,是为了传送实时性要求不高的数据,其主要传输协议,是基于IP数据包的TCP。
从目前网络规模、用户数量、应用范围、发展趋势等各种因素考虑,NGN(下一代网络)大有可能也是基于IP的,其它的技术体制和系统(如移动网)都要向它看齐,或在高层兼容其应用。
问题10:
Walsh函数的对称性质(6-94)式,似乎不对,参见图6-7。
比如,q=2,k=1时,Wal(4,t)好象不等于Wal(1,4t)!
解答:
对称性质(6-94)式是正确的,推导也是正确的。
造成上述例子误解的原因,是没有理解Wal(k,t)的定义区间为[0,1])(此区间以外都由其周期拓展得到),而只是认为Wal(1,4t)由Wal(1,t)在区间[0,4])上的取值压缩至[0,1])得到。
其实,Wal(1,4t)并不是Wal(1,t)压缩而成再拓展,而是直接求Wal(1,4t)在t=[0,1])上的值,然后再拓展。
注意到Wal(1,4t)=sgn(cos4t)即是图6-7中第5行的事实,上述问题迎刃而解。
Wal(1,4t)=sgn(cos4t)
01/81/43/81/21t
问题11:
p329中(6-70)式求出的系数是否可以为复数?
如果是,(6-59)式将对复数求导,这可以吗?
解答:
函数的完备正交集展开,加权系统完全可以是复数。
复变函数里学过,在复平面上对复变量求导,只要是解析点,其导数都是存在的。
问题12:
在用留数法求逆z变换时讲稿中说:
其中
的积分方向为顺时针,
可是如果对
求逆z变换,若在收敛域内顺时针积分将得到
,与结果差一符号?
解答:
顺时针围线积分,在用留数定理来求时,应将各极点留数求和结果反号,参见讲稿8-4节第8页倒数第2行第2项,即在留数和前面加了负号。
这样就对了。
问题13:
关于数字滤波器,书上说无限冲激响应数字滤波器是以相位非线性为代价的,而有限冲激响应数字滤波器可以保证相位线性,而且给了证明。
但是,从证明过程上来看,主要用到的是h(n)的对称性。
如果无限冲激响应数字滤波器的h(n)也是对称的,是不是也可以保证相位的线性,证明如下。
假设h(n)=h(2N-n),则
这样,无论是无限冲激响应数字滤波器还是有限冲激响应数字滤波器,只要h(n)有对称性,则相位就是线性的。
解答:
所谓IIR,顾名思义,其h(n)=h(n)u(n)是无限长的,因此无对称性可言。
如果写成h(n)=h(2N-n),就相当于h(n)是长度为2N+1、以h(N)为中心的偶对称有限长序列,就可以象你推导的那样,做到线性相位,其实也就是FIR滤波器了。
关键问题是,针对所要设计(达到)的滤波器频响特性,选择有反馈支路(传输函数分母多项式不为1)的滤波器,还是无反馈支路的滤波器。
前者的h(n)必然是无限长的,比如在式(10-63)中,a1,b0,b1≠0,其它系数均为零,则差分方程化为y(n)=b0x(n)+b1x(n-1)–a1y(n-1)。
当输入为δ(n)时,输出为h(n)=b0(-a1)nu(n)+b1(-a1)n-1u(n-1),是无限长的,无对称性。
如果截断为有限长序列,并设计成具有对称性,则相位特性就是线性的,也就成了FIR。
问题14:
下册书357页,在推导可控的充要条件时,为什么说,“注意到A为非奇异矩阵”,我认为A矩阵是可以奇异的。
解答:
方阵非奇异,是说其各行向量或列向量线性无关(独立),即行列式非零。
A矩阵是kXk阶方阵,其非奇异是Cayley-Hamilton定理的要求,否则定理就没意义了。
问题15:
下册书359页,关于可观阵满秩判别法,是否应该加一个前提条件,“所研究系统为SISO系统”,起码应该要求是单输出的,否则N矩阵不是方阵。
解答:
实际上N矩阵未必是方阵,它是rkXk阶矩阵,r是输出方程组个数。
当r=1时为方阵。
书上此处的推导有问题,是从(12-161)、(12-173)两式来的,假设单输入/输出。
一般情况下,不应该将(12-177)式说成方阵。
M阵也一样。
但书上举的例子都是单输出的情况,即输出向量中只有一个非零。
问题16:
下册书361页,正数14,15行,拉姆达(用汉语带替的)3应改为拉姆达1,是吗?
解答:
是。
书印错了。
以上三问题来自冯伟01124762774382
问题17:
huangn@皇恩?
y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n+1)其中x(n)=u(n)
(初值)y(-1)=1,y(-2)=1
当我两边取Z变换的时候得到
左边Y(Z)+3Z(-1次方)×(Y(Z)+y(-1)*z)+2Z(-2次方)×(Y(Z)+y(-1)*z+y(-2)*z^2)
右边在进行Z变换时需要写成X(Z)+Z*(X(Z)-x(0))吗?
还是(1+Z)×X(Z),就是说把不把激励信号的Z变换跟响应信号做同样的相当于加入初始值的x(0)jia加入到其中呢,因为计算结果不大一样,我个人觉得后种计算方法正确,希望您能给个明确答复,我是不是概念不太清楚?
还有,第五章第六章您有删节吗?
希望您能够把考试要求的部分再详细说一遍,以便我们复习。
我对期末考试的建议时,希望不要有太多的数学计算,包括复杂的公式推导,我觉得那些不是信号课应该考察大家的!
解答:
若x(n)=u(n),则x(n)与x(n+1)的z变换相同,都是z/(z-1)。
这一点由单边z变换的原始定义(Laurent级数)或单变z变换的移位性质均可得到。
因此,应该是“前者”正确,即右边的单边z变换为2z/(z-1),收敛域在单位园外;而不是(1+z)X(z)。
你问题的意思是:
激励信号在n=-1时刻接入,一般不讨论这种情况,可以把n+1写成n,则方程就化为:
y(n-1)+3y(n-2)+2y(n-3)=x(n)+x(n-1),求出y(-3),再用单边z变换求解,从而将激励在0时刻以前接入转化成在0时刻接入,同时改变了系统的初始条件。
你算一下两种情况,看结果是否一致?
我猜一定一致。
5、6章考试内容我会在总结课上讲。
问题17(还问):
老师我还是把这道题目的整个过程给您写一遍吧,我计算的结果还是不一样。
这里我会把字体放大,以便您看着方便。
题目:
如果按前一种方法做,就是不将n替换为n-1:
两边同时Z变换
带入
方程转化为:
将n由n-1代替
两边同时进行Z变换得
则
您可以通过对比零状态响应即可看出两者得不同
前者为
后者为
麻烦您检查一下是否我的计算有误啊?
谢谢指导!
!
!
解答(再答):
你的两种计算都没错,分别化简后是相等的。
目前形式上的不同,是由于第1种方法零状态与零输入划分错了。
既然n=-1就有输入了,应该将输入的两项z变换后分成两部分,其一的作用改变了起始状态,贡献于零输入响应,其二相当于在n=0时刻的输入,产生零状态响应。
注意到2z/(z-1)=(z+1)/(z-1)+1,第1项相当于零状态项,第2项参与到零输入响应里了。
你同意我的分析吗?
还有其它高见吗?
问题18:
孙涛,62774218。
抽象表示的信号(或系统)与具体表示的为什么有区别?
比如书中下册5页例题抽象函数x(n/2)的波形在图7-2(c)中示出;但是,由x(n)的具体形式为x(n)=n,
则x(n/2)的波形在n为奇数时是有定义的。
二者有这样的区别。
再如系统r(t)=e(2t)的是非因果的。
但如果令e(t)=sin(t)时,r(t)=sin(2t)却是因果的,它们这样的区别。
解答:
在n/2点上序列没有定义。
问题19:
孙涛,62774218。
书上说用单边z变换解差分方程,而双边z变换是否也可以解差分方程?
书中下册81页例8-17中,y(-1)=2,说明y(n)已是非因果序列了,但是本题
仍用单边z变换是不是有问题。
对于非因果信号是不是就应该使用双边z变换?
解答:
线性定常系统的差分方程,输入激励序列均是因果的,即x(n)在n=0时接入,求的也是n=0,1,2……的输出y(n);y(-1),y(-2),y(-3),…作为初始条件存在。
因此差分方程总是如(7-31)式所示。
这就是用单边z变换求解差分方程的思想。
如果是一个一般的差分方程,左、右两边或一边是双边序列的无穷项和,则就用双边z变换。
例8-17,y(-1)=2,根据方程迭代,一直能求到y(-1),y(-2),y(-3),…,说明系统原来处于非零状态,具体表现在激励接入时刻,系统有初始储能。
单从数学意义上考虑,如果用双边z变换,左边就会是无穷级数,给求解带来不便。
从物理意义上来考虑,对于非时变系统,当无输入时,输出也在变化,说明系统是耗散的,或说是阻尼的,它必然回到零状态。
y(-1)非零,是说在系统储能未耗尽时输入就来了。
如果输入是非因果的,那么就应该用双边z变换了。
问题20:
冷伟民,无15
在关于Z变换求时域卷积的时候,书上说当出现零极相消的情况时,收敛域将会扩大,如书上P70的例8-12中所说的。
但是,以例8-12为例,当|a|<1时,书上说的收敛域为|z|>a.如果我取z=(1+a)/2.X(z)与H(z)同书上一样。
那么按照书上的P69卷积证明过程中所说的,卷积后的Z变化等于X(z)与H(z)的乘积。
而这里z=(1+a)/2时,H(z)是收敛的,且不为0;而X(z)是发散的,那么其乘积也应是发散的,这是不是就与书上的结论矛盾了?
我想,是不是卷积后的收敛域只能是两个函数的收敛域的重合部分。
解答:
当无零极点相消时,卷积后的收敛域就是二者收敛域的公共部分。
但是,当其一的极点恰好又是另一的零点时,二者相消,收敛域应另当别论。
因为所求的是两个序列卷积之后所得的新序列的z变换,其收敛域只是新序列的收敛域,原则上与原来两个序列各自的收敛域没有本质的联系。
新序列的收敛域只取决于其z变换式(复变函数)最外边极点位置。
零极相消,相当于卷积之后极点少了。
如果消掉的恰是原来两个序列各自z变换所有极点中离原点最远的极点,那么收敛域就扩大了。
如果消掉的不是最远处的极点,则收敛域还是二者原来收敛域的公共部分。
收敛域是Laurent级数收敛点的集合。
LT与ZT的收敛域,实际上是一致收敛域。
因果序列展开成复变量Laurent级数,是单边z变换。
其在z平面上的收敛域是离原点最远的极点所在园(称为收敛园)以外的部分。
那么,在该收敛园上及其内部,还存在其它的收敛点使级数展开成立吗?
答案是肯定的,而且大有点在!
如例8-12,X(z)在z平面上只有一个点不收敛,即z=1点,但我们声称其收敛域是单位园以外,不包含单位园及其内部。
H(z)在z平面上只有一个点不收敛,即z=a点,但我们却认定其收敛域只是在半径为|a|的园以外,不包含园上和园内部。
这就是所谓的一致收敛域。
一致性的概念难以理解,但对于掌握收敛域大有好处,所以我还是给你们讲了。
问题21:
关于“吉布斯”的解释,书中用了理想低通滤波器的“吉布斯”现象解释傅立叶级数逼近时的“吉布斯”现象,但是前者用什么解释?
解答:
理想低通滤波器仅让零频至截止频率的信号分量通过,傅立叶级数展开仅取有限项,一个是通过系统的作用只通过有限项,一个是信号分解只取有限项,本质上是一回事。
当有限项变成无限项时,或截止频率趋于无穷时,吉布斯现象就消失了。
问题22:
频响特性是否只针对稳定系统研究,还是只有稳定系统的频响特性可研究?
解答:
频率响应的研究不限于稳定系统。
但却有稳态频率响应问题,它研究当系统经历了暂态过度过程以后的长期响应,由系统主导极点或序参量决定。
问题23:
滤波器的带宽是否只计算频率大于0的部分?
解答:
实际系统无所谓负频率的问题。
比如,低通音频滤波器,频带为0-20000Hz,画到频谱图上是从-20KHz到20KHz,是完备性所至。
问题24:
“系统可实现性”三个条件的关系不清楚。
我把它们称为A-时域因果条件,B-频域能量有限条件,C-佩利-维纳条件:
我的理解是:
1.C是对系统函数H幅度的限制条件,说他是“必要”而不是“充分”,是因为H相位同样需要某些限制条件。
即,不满足“佩”一定非因果,满足“佩”也不一定因果,还要相位好才行。
2.A,B合起来应该是充要条件了把
3.《“佩”—相位》与《A,B》是不是两对并行的充要条件?
4.“佩”和相位都没提对能量的要求,那么它们合在一起还能充要吗?
5.“系统可实现性”本质上是因果性,那么能量呢?
对能量没有要求吗?
解答:
针对你的几点理解分别解答。
1.你的理解对了一半:
不满足C,则一定非因果,不可物理实现。
后一半错了,应该是:
满足C,则|H(jw)|物理可实现,此时,一定能配上适当的相位特性,实现H(jw)。
也就是说,H(jw)是物理可实现的,但并不是唯一实现的。
最小相位实现是唯一的。
2.“物理可实现”至今没有充分必要条件,我也曾提出“能量有限的因果系统物理可实现”的建议,但专家们都不敢下这个结论,也就不了了之了。
3.既然A、B加起来不构成充要条件,则C加相位约束也就难说了。
大家公认的说法是:
如果给定的H(jw)满足佩利-维纳定理(包括能量有限),则一定能够找到合适的相位特性,构造出物理可实现系统,实现H(jw)。
4.佩利-维纳定理包括了平方可积条件。
5.对能量当然有要求,即平方可积条件。
(此题toobigapple因秀美提出,很有意义)
问题25:
卷积的微分与积分性质
即
(1)
和
(2)
是否对所有的CT信号
均成立?
有无适用条件,比如
?
还有,关于上述性质的推广:
(3)
的适用条件是什么?
我个人的看法是:
对于
的
不成立,但似乎
对所有的
都成立,由它也能推出
,不知对否?
解答:
卷积运算就是积分,
(1)式左边存在的条件,首先是可积,然后是可微;右边存在的条件,首先是可微,然后是可积。
至于可积、可微条件,你应该去复习微积分的有关知识。
(2)式也一样,一定要积分存在才成立。
结论是:
并非所有CT函数两个性质都成立,一定要积分的地方可积、微分的地方可微。
黎曼可积条件,是指被积函数分成无穷多个小段,每段至横坐标轴所构成的无穷多个小矩形可和。
于是,无穷远处不为零的函数,一般不可积,因为函数在无穷长的区间内非零(且无规则),积分很可能是无穷大。
导致不可积,但这只是一类特殊情况。
可微,是指函数在任意点微分存在。
如sin(1/x)在x=0点不可微,威尔斯特拉斯就曾经构造了处处连续但处处不可微的函数,称为威尔斯特拉斯函数。
(3)式也一样,要求可微、可积才成立。
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