初中教育二次函数地解题方法.docx
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初中教育二次函数地解题方法
11.1班沈阳14号
初中二次函数的解题方法
首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式:
一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a);
顶点式:
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0]:
由一般式变为交点式的步骤:
∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:
。
1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当h=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号,对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号,对称轴在y轴右侧
2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。
h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系,结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△及系数的代数符号。
常见问题
1、抛物线中特殊点组成的三角形问题:
抛物线线中的特殊三角形主要有两类:
(1)、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形;
(2)、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
解决策略是:
应用平面几何的有关定理,如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。
用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。
2、二次函数的定点和动点问题:
求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法,即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。
解决定点问题有两个解决办法:
(1)特殊值法,即令参数取两个符合条件的特殊值,通过解方程组求解,解即为顶点坐标。
(2)转化为参数为主元的方程问题,即方程有无穷多解,得到系数为零的条件再讨论解决。
3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长,使面积问题与系数a、b、c建立联系.
4、二次函数与整数问题
二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等.解题时往往要用到一些整数的分析方法.
5、二次函数的最值问题
定义域是闭区间时,二次函数存在两个最值(最大值和最小值).如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内,则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时,二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值,否则不存在最值.
在初中数学竞赛中,二次函数是解决一些实际问题的有效工具,二次函数本身也蕴含着丰富的内涵,因此,在近几年的全国数学竞赛中,有关二次函数试题频频出现,并有不断拓展和加深的趋势。
例1 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4,-11),且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a、b、c中为正数的()
A、只有aB、只有bC、只有cD、有a和b
解:
由顶点为(4,-11),抛物线交x轴于两点,知a>0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根,由题设x1x2<0知
<0,所以c<0,又对称轴为x=4知-
>0,故b<0.故选(A).
例2 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数,并且f(19)=f(99)=1999,|c|<1000,则c=.
解:
由已知f(x)=ax2+bx+c,且f(19)=f(99)=1999,因此可设f(x)=a(x-19)(x-99)+1999,
所以ax2+bx+c=a(x-19)(x-99)+1999
=ax2-(19+99)x+19×99a+1999,故c=1999+1881a.
因为|c|<1000,a是整数,a≠0,经检验,只有a=-1满足,此时c=1999-1881=118.
例3已知a,b,c是正整数,且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A,B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.
解:
设A、B的坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),且x1 ∴ ∴x1<0,x2<0 又由题设可知△=b2-4ac>0,∴b>2 ① ∵|OA|=|x1|<1,|OB|=|x2|<1,即-1 ∴ =x1x2<1,∴c ∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上,且当x=-1时y>0, ∴a(-1)2+b(-1)+c>0,即a+c>b. ∵b,a+c都是整数,∴a+c≥b+1③ 由①,③得a+c>2 +1,∴( )2>1,又由②知, >1, +1,即a>( +1)2≥( +1)2=4 ∴a≥5,又b>2 ≥2 >4,∴b≥5 取a=5,b=5,c=1时,抛物线y=5x2+5x+1满足题意. 故a+b+c的最小值为5+5+1=11. 例4 如果y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A,B,顶点为C,那么△ABC的面积的最小值是() A、1B、2C、3D、4 解: 由于△=(k-1)2+4(k+1)=(k+1)2+4>0,所以对于任意实数k,抛物线与x轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x1,x2,则: |AB|= 又抛物线的顶点c坐标是( ), 因此S△ABC= · 因为k2+2k+5=(k+1)2+4≥4,当k=-1时等于成立, 所以,S△ABC≥ ,故选A. 例5 已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2.求: (1)函数在-2 (2)函数在a≤x≤a+2的最小值. 解: 函数y=x2-x-2的图象如图1所示.
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