排列组合公式排列组合计算公式.docx
- 文档编号:30373257
- 上传时间:2023-08-13
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:29.28KB
排列组合公式排列组合计算公式.docx
《排列组合公式排列组合计算公式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《排列组合公式排列组合计算公式.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式
排列P------和顺序有关
组合C-------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列"
把5本书分给3个人,有几种分法"组合"
1.排列及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m≤n>个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n>个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m>表示.b5E2RGbCAP
p(n,m>=n(n-1>(n-2>……(n-m+1>=n!
/(n-m>!
(规定0!
=1>.
2.组合及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m≤n>个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n>个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号p1EanqFDPw
c(n,m>表示.
c(n,m>=p(n,m>/m!
=n!
/((n-m>!
*m!
>;c(n,m>=c(n,n-m>。
3.其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r>/r=n!
/r(n-r>!
.
n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!
/(n1!
*n2!
*...*nk!
>.
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m>.
排列
Pnm=n× / <注: ! 是阶乘符号);Pnn<两个n分别为上标和下标)=n! ;0! =1;Pn1 组合 Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n! /m! ;Cnn<两个n分别为上标和下标)=1;Cn1 2008-07-0813: 30 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ! -阶乘,如9! =9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个,表达式应该为n* 因为从n到 举例: Q1: 有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数? A1: 123和213是两个不同的排列数。 即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。 上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。 计算公式=P<3,9>=9*8*7,(从9倒数3个的乘积) Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”? A2: 213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。 即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。 上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9>=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1 设有3名学生和4个课外小组.<1)每名学生都只参加一个课外小组;<2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法? 解<1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法. <2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法. 点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算. 例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种? 解 依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出: ∴符合题意的不同排法共有9种. 点评 按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型. 例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题? 并计算出结果. <1)高三年级学生会有11人: ①每两人互通一封信,共通了多少封信? ②每两人互握了一次手,共握了多少次手? <2)高二年级数学课外小组共10人: ①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法? ②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? <3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数: ①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商? ②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积? <4)有8盆花: ①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法? ②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法? 分析 <1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析. <1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手<次). <2)①是排列问题,共有<种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法. <3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积. <4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法. 例4 证明. 证明 左式 右式. ∴等式成立. 点评 这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化. 例5 化简. 解法一 原式 解法二 原式 点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化. 例6 解方程: <1);<2). 解<1)原方程 解得. <2)原方程可变为 ∵,, ∴原方程可化为. 即,解得 第六章 排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题. 2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题. 3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、知识结构 三、知识点、能力点提示 (一>加法原理乘法原理 说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据. 例1 5位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种? 解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有 3×3×3×3×3=35(种> (二>排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或填空题考查. 例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有( > A.60个 B.48个 C.36个 D.24个 解 因为要求是偶数,个位数只能是2或4的排法有P12;小于50000的五位数,万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13。 在首末两位数排定后,中间3个位数的排法有P33,得P13P33P12=36(个> 由此可知此题应选C. 例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种? 解: 将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即2143,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为 3P13=9(种>. 例四 例五可能有问题,等思考 三>组合、组合数公式、组合数的两个性质 说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上都是由选择题或填空题考查. 例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( >5PCzVD7HxA A.140种 B.84种 C.70种 D.35种 解: 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种;甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种jLBHrnAILg 根据加法原理可得总的取法有 C14·C25+C24·C15=40+30=70(种> 可知此题应选C. 例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1项,丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式? xHAQX74J0X 解: 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种; 乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种; 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种; 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种. 根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种>. (四>二项式定理、二项展开式的性质 说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它是常用的基础知识,从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题.LDAYtRyKfE 例6 在(x->10的展开式中,x6的系数是( > A.-27C610 B.27C410 C.-9C610 D.9C410Zzz6ZB2Ltk 解 设(x->10的展开式中第γ+1项含x6, 因Tγ+1=Cγ10x10-γ(->γ,10-γ=6,γ=4 于是展开式中第5项含x6,第5项系数是C410(->4=9C410 故此题应选D. 例7 (x-1>-(x-1>2+(x-1>3-(x-1>+(x-1>5的展开式中的x2的系数等于 dvzfvkwMI1 解: 此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1>的等比数列的前5项的和,则其和为 在(x-1>6中含x3的项是C36x3(-1>3=-20x3,因此展开式中x2的系数是-20. (五>综合例题赏析 例8 若(2x+>4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4>2-(a1+a3>2的值为( >rqyn14ZNXI A.1 B.-1 C.0 D.2EmxvxOtOco 解: A. 例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有( >SixE2yXPq5 A.6种 B.12种 C.18种 D.24种6ewMyirQFL 解 分医生的方法有P22=2种,分护士方法有C24=6种,所以共有6×2=12种不同的分配方法。 应选B. 例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同取法共有( >.kavU42VRUs A.140种 B.84种 C.70种 D.35种y6v3ALoS89 解: 取出的3台电视机中,甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形. ∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70. ∴应选C. 例11 某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的不同选法有( >M2ub6vSTnP A.27种 B.48种 C.21种 D.24种 解: 分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类: ∵C13·C17+C23=3×7+3=24, ∴应选D. 例12 由数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( >.0YujCfmUCw A.210个 B.300个 C.464个 D.600个 解: 先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个? 应有P15·P55=600个. 由对称性,个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半. ∴有×600=300个符合题设的六位数. 应选B. 例13 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( >. A.70个 B.64个 C.58个 D.52个 解: 如图,正方体有8个顶点,任取4个的组合数为C48=70个. 其中共面四点分3类: 构成侧面的有6组;构成垂直底面的对角面的有2组;形如(ADB1C1>的有4组. ∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组> 应选C. 例14 如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( >.eUts8ZQVRd A.12对 B.24对 C.36对 D.48对 解: 设正六棱锥为O—ABCDEF. 任取一侧棱OA(C16>则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对. ∴共有C16×4=24对异面直线. 应选B. 例15 正六边形的中心和顶点共7个点,以其中三个点为顶点的三角形共 个(以数字作答>.sQsAEJkW5T 解: 7点中任取3个则有C37=35组. 其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径>. ∴三角形个数为35-3=32个. 例16 设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则的值为 。 GMsIasNXkA 解 10个元素的集合的全部子集数有: S=C010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=210=1024TIrRGchYzg 其中,含3个元素的子集数有T=C310=120 故= 例17 例17 在50件产品n中有4件是次品,从中任意抽了5件,至少有3件是次品的抽法共7EqZcWLZNX 种(用数字作答>. 解: “至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”. ∴C34·C246+C44·C146=4186(种> 例18 有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有( >.lzq7IGf02E A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5040种 解: 先从10人中选2个承担任务甲(C210> 再从剩余8人中选1人承担任务乙(C18> 又从剩余7人中选1人承担任务乙(C17> ∴有C210·C18C17=2520(种>. 应选C. 例19 集合{1,2,3}子集总共有( >. A.7个 B.8个 C.6个 D.5个 解: 三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成的子集数C13,由二个元素组成的子集数C23,由3个元素组成的子集数C33。 由加法原理可得集合子集的总个数是C13+C23+C33+1=3+3+1+1=8。 故此题应选B.zvpgeqJ1hk 例20 假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有两件次品的抽法有( >.NrpoJac3v1 A.C23C3197种 B.C23C3197+C33C2197 C.C5200-C5197 D.C5200-C13C4197 解: 5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197, 5件中恰三件为次品的抽法为C33C2197, ∴至少有两件次品的抽法为C23C3197+C33C2197. 应选B. 例21 两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每人一个座位>,则不同座法的总数是( >.1nowfTG4KI A.C58C38 B.P12C58C38 C.P58P38 申明: 所有资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 排列组合 公式 计算