抛物线复习数学教案教学设计.docx

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抛物线复习数学教案教学设计

抛物线复习数学教案教学设计

1抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线.

2抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点

②焦准距：

③通径：

过焦点垂直于轴的弦长为

④顶点平分焦点到准线的垂线段：

⑤焦半径为半径的圆：

以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切所有这样的圆过定点F、准线是公切线

⑥焦半径为直径的圆：

以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线

⑦焦点弦为直径的圆：

以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切所有这样的圆的公切线是准线

3抛物线标准方程的四种形式：

4抛物线的图像和性质：

①焦点坐标是：

②准线方程是：

③焦半径公式：

若点是抛物线上一点则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：

④焦点弦长公式：

过焦点弦长

⑤抛物线上的动点可设为P或或P

5一般情况归纳：

方程图象焦点准线定义特征

y2=kxk0时开口向右（k/4,0）x=─k/4到焦点（k/4,0）的距离等于到准线x=─k/4的距离

k0时开口向左

x2=kyk0时开口向上（0,k/4）y=─k/4到焦点（0,k/4）的距离等于到准线y=─k/4的距离

k0时开口向下

抛物线的定义：

例1：

点M与点F（40）的距离比它到直线l：

x6=0的距离4.2求点M的轨迹方程.

分析：

点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等符合抛物线定义.

答案：

y2=16x

例2：

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点与抛物线相交于点A、B求线段A、B的长.

分析：

这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：

把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.

解：

如图831y2=4x的焦点为F（10）则l的方程为y=x1.

由消去y得x26x+1=0.

设A（x1y1）B（x2y2）则x1+x2=6.

例3:

（1）已知抛物线的标准方程是y2=10x求它的焦点坐标和准线方程;

（2）已知抛物线的焦点是F（03）求它的标准方程;

（3）已知抛物线方程为y=mx2（m0）求它的焦点坐标和准线方程;

（4）求经过P（42）点的抛物线的标准方程;

分析：

这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题解题时首先分清属类标准型再录求P值（注意p0）.特别是（3）题要先化为标准形式：

则.（4）题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条因此有两解.

答案：

（1）.

（2）x2=12y（3）;（4）y2=x或x2=8y.

例4求满足下列条件的抛物线的标准方程并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（32）;

（2）焦点在直线x2y4=0上

分析：

从方程形式看求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析一般需确定p和确定开口方向两个条件否则应展开相应的讨论

解：

（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0）

∵过点（32）

4=2p（3）或9=2p2

p=或p=

所求的抛物线方程为y2=x或x2=y前者的准线方程是x=后者的准线方程是y=

（2）令x=0得y=2令y=0得x=4

抛物线的焦点为（40）或（02）

当焦点为（40）时=4

p=8此时抛物线方程y2=16x;

焦点为（02）时=2

p=4此时抛物线方程为x2=8y

所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y

对应的准线方程分别是x=4y=2

常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A（x1y）1B（x2y2）是抛物线y2=2px上的两点则AB过F的充要条件是y1y2=p2

③设AB是抛物线y2=2px上的两点O为原点则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点（2p0）

例5：

过抛物线y2=2px（p0）的顶点O作弦OAOB与抛物线分别交于A（x1y1）B（x2y2）两点求证：

y1y2=4p2.

分析：

由OAOB得到OA、OB斜率之积等于1从而得到x1、x2y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点故（x1y1）、（x2y2）满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.

证：

由OAOB得即y1y2=x1x2又所以：

即.而y1y20.所以y1y2=4p2.

弦的问题

例1A,B是抛物线y2=2px（p0）上的两点满足OAOB（O为坐标原点）求证：

（1）A,B两点的横坐标之积纵坐标之积为定值;

（2）直线AB经过一个定点

（3）作OMAB于M求点M的轨迹方程

解：

（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y12=2px1,y22=2px2,

y12y22=4p2x1x2,

∵OAOB,x1x2+y1y2=0,

由此即可解得：

x1x2=4p2,y1y2=─4p2（定值）

（2）直线AB的斜率k===,

直线AB的方程为y─y1=（x─）,

即y（y1+y2）─y1y2=2px,由

（1）可得y=（x─2p）,

直线AB过定点C（2p,0）

（3）解法1:

设M（x,y）,由

（2）知y=（x─2p）（i）,

又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即=─1（ii）

由（i）,（ii）得x2─2px+y2=0（x0）

解法2:

由OMAB知点M的轨迹是以原点和点（2p,0）为直径的圆（除去原点）立即可求出

例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动AB的中点为M求点M到y轴的最短距离并求此时点M的坐标

解：

如图设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）,则x=,y=,

又设点ABM在准线:

x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N

则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,

x=（x1+x2）=（|AF|+|BF|─）（|AB|─）=

等号在直线AB过焦点时成立此时直线AB的方程为y=k（x─）

由得16k2x2─8（k2+2）x+k2=0

依题意|AB|=|x1─x2|===3,

k2=1/2,此时x=（x1+x2）==

y=即M（,）,N（,─）

例3设一动直线过定点A（2,0）且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹图形

解析:

设,

由得

①

又代入①式得②

由得代入②式得:

由得或,又由①式知关于是减函数且

且

所以Q点轨迹为一线段（抠去一点）:

（且）

例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S（6,0）

①求抛物线方程;②求面积的最大值

解:

①设,AB中点

由得

又得

所以依题意,

抛物线方程为

②由及,

令得

又由和得:

例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动AB的中点为M求点M到y轴的最短距离并求此时点M的坐标

解：

如图设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）,则x=,y=,

又设点ABM在准线:

x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N

则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,

x=（x1+x2）=（|AF|+|BF|─）（|AB|─）=

等号在直线AB过焦点时成立此时直线AB的方程为y=k（x─）

由得16k2x2─8（k2+2）x+k2=0

依题意|AB|=|x1─x2|===3,

k2=1/2,此时x=（x1+x2）==

y=即M（,）,N（,─）

综合类（几何）

例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?

解：

思路一：

求出M、Q的纵坐标并进行比较如果相等则MQ//x轴为此将方程联立解出

直线OP的方程为即

令得M点纵坐标得证.

由此可见按这一思路去证运算较为繁琐.

思路二：

利用命题如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交两上交点的纵坐标为、那么来证.

设、、并从及中消去x得到则有结论即.

又直线OP的方程为得.

因为在抛物线上所以.

从而.

这一证法运算较小.

思路三：

直线MQ的方程为的充要条件是.

将直线MO的方程和直线QF的方程联立它的解（x,y）就是点P的坐标消去的充要条件是点P在抛物线上得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维运算量也较小.

说明：

本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在）容易证明成立.

例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点求△RAB的最大面积.

分析：

求RAB的最大面积因过焦点且斜率为1的弦长为定值故可以为三角形的底只要确定高的最大值即可.

解：

设AB所在的直线方程为.

将其代入抛物线方程消去x得

当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时△RAB的面积有最大值.

设直线l方程为.代入抛物线方程得

由得这时.它到AB的距离为

△RAB的最大面积为.

例3直线过点与抛物线交于、两点P是线段的中点直线过P和抛物线的焦点F设直线的斜率为k.

（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数;

（2）求出的定义域及单调区间.

分析：

过点P及F利用两点的斜率公式可将的斜率用k表示出来从而写出由函数的特点求得其定义域及单调区间.

解：

（1）设的方程为：

将它代入方程得

设则

将代入得：

即P点坐标为.

由知焦点直线的斜率

函数.

（2）∵与抛物线有两上交点且

解得或

函数的定义域为

当时为增函数.

例4如图所示：

直线l过抛物线的焦点并且与这抛物线相交于A、B两点求证：

对于这抛物线的任何给定的一条弦CD直线l不是CD的垂直平分线.

分析：

本题所要证的命题结论是否定形式一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.

证法一：

假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线因为直线l与抛物线交于A、B两点所以直线l的斜率存在且不为零;直线CD的斜率存在且不为0.

设C、D的坐标分别为与.则

l的方程为

∵直线l平分弦CD

CD的中点在直线l上

即化简得：

由知得到矛盾所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.

证法二：

假设直线l是弦CD的垂直平分线

∵焦点F在直线l上

由抛物线定义到抛物线的准线的距离相等.

∵

CD的垂直平分线l：

与直线l和抛物线有两上交点矛盾下略.

例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.

分析：

求与抛物线有关的轨迹方程可先把N看成定点;待求得的关系后再用动点坐标来表示也可结合几何知识通过巧妙替换简化运算.

解法一：

设

则：

即

①

把N点看作定点则AB所在的直线方程为：

显然

代入化简整理得：

②

由①、②得：

化简得

用x、y分别表示得：

解法二：

点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上设则以OA为直径的圆方程为：

①

设OAOB则

在求以OB为直径的圆方程时以代可得

②

由①+②得：

例6如图所示直线和相交于点M点以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等若△AMN为锐角三角形且建立适当的坐标系求曲线段C的方程.

分析：

因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点以为准线的抛物线的一段所以本题关键是建立适当坐标系确定C所满足的抛物线方程.

解：

以为x轴MN的中点为坐标原点O建立直角坐标系.

由题意曲线段C是N为焦点以为准线的抛物线的一段其中A、B分别为曲线段的两端点.

设曲线段C满足的抛物线方程为：

其中、为A、B的横坐标

令则

由两点间的距离公式得方程组：

解得或

∵△AMN为锐角三角形则

又B在曲线段C上

则曲线段C的方程为

例7如图所示设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B与圆在x由上方的交点为C、DP为AB中点Q为CD的中点.

（1）求.

（2）求△ABQ面积的最大值.

分析：

由于P、Q均为弦AB、CD的中点故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标由两点距离公式即可求出.

解：

（1）设

由得：

由得

同类似

则

（2）

当时取最大值.

例8已知直线过原点抛物线的顶点在原点焦点在轴的正半轴上且点和点关于直线的对称点都在上求直线和抛物线的方程.

分析：

设出直线和抛物线的方程由点、关于直线对称求出对称点的坐标分别代入抛物线方程.或设利用对称的几何性质和三角函数知识求解.

解法一：

设抛物线的方程为直线的方程为

则有点点关于直线的对称点为、

则有解得

解得

如图、在抛物线上

两式相除消去整理得故

由得.把代入得.

直线的方程为抛物线的方程为.

解法二：

设点、关于的对称点为、

又设依题意有.

故.

由知.

.

又故为第一象限的角.

、.

将、的坐标代入抛物线方程得

即从而

得抛物线的方程为.

又直线平分得的倾斜角为.

.

直线的方程为.

说明：

（1）本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法它的思路明确但运算量大若不仔细、沉着难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解它的技巧性较强一时难于想到.

（2）本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时这种方法是最常规方法需要重点掌握.

例9如图正方形的边在直线上、两点在抛物线上求正方形的面积.

分析：

本题考查抛物线的概念及其位置关系方程和方程组的解法和数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力.

解：

∵直线设的方程为且、.

由方程组消去得于是

（其中）

.

由已知为正方形

可视为平行直线与间的距离则有

于是得.

两边平方后整理得或.

当时正方形的面积.

当时正方形的面积.

正方形的面积为18或50.

说明：

运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法本题应充分考虑正方形这一条件.

例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行地球恰好位于抛物线轨道的焦点处当此彗星离地球为时经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为求这彗星与地球的最短距离.

分析：

利用抛物线有关性质求解.

解：

如图设彗星轨道方程为焦点为

彗星位于点处.直线的方程为.

解方程组得

故.

.

故得.

由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为所以彗星与地球的最短距离为或（点在点的左边与右边时所求距离取不同的值）.

说明：

（1）此题结论有两个不要漏解;

（2）本题用到抛物线一个重要结论：

顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点其证明如下：

设为抛物线上一点焦点为准线方程为依抛物线定义有当时最小故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.

例11如图抛物线顶点在原点圆的圆心是抛物线的焦点直线过抛物线的焦点且斜率为2直线交抛物线与圆依次为、、、四点求的值.

分析：

本题考查抛物线的定义圆的概念和性质以及分析问题与解决问题的能力本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.

解：

由圆的方程即可知圆心为半径为2又由抛物线焦点为已知圆的圆心得到抛物线焦点为设抛物线方程为

∵为已知圆的直径则.

设、∵而、在抛物线上

由已知可知直线方程为于是由方程组

消去得.

因此.

说明：

本题如果分别求与则很麻烦因此把转化成是关键所在在求时又巧妙地运用了抛物线的定义从而避免了一些繁杂的运算.

11.已知抛物线y2=2px（p0）过焦点F的弦的倾斜角为（0）,且与抛物线相交于A、B两点.

（1）求证：

|AB|=;

（2）求|AB|的最小值.

（1）证明：

如右图焦点F的坐标为F（,0）.

设过焦点、倾斜角为的直线方程为y=tan（x）,与抛物线方程联立消去y并整理得

tan2x2（2p+ptan2）x+=0.

此方程的两根应为交点A、B的横坐标根据韦达定理有x1+x2=.

设A、B到抛物线的准线x=的距离分别为|AQ|和|BN|根据抛物线的定义有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.

（2）解析：

因|AB|=的定义域是0又sin21

所以当=时|AB|有最小值2p.

12.已知抛物线y2=2px（p0）的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分求证：

为定值本题若推广到椭圆、双曲线你能得到什么结论?

解析：

（1）当ABx轴时m=n=p

=.

（2）当AB不垂直于x轴时设AB:

y=k（x）,

A（x1,y1）,B（x2,y2）,|AF|=m,|BF|=n,

m=+x1,n=+x2.

将AB方程代入抛物线方程得

k2x2（k2p+2p）x+=0,

=

=.

本题若推广到椭圆则有=（e是椭圆的离心率）;若推广到双曲线则要求弦AB与双曲线交于同一支此时同样有=（e为双曲线的离心率）.

13.如右图M是抛物线y2=x上的一点动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点且?

|MA|=|MB|.

（1）若M为定点证明：

直线EF的斜率为定值;

（2）若M为动点且EMF=90求△EMF的重心G的轨迹方程.

（1）证明：

设M（y02,y0）直线ME的斜率为?

k（k0）,则直线MF的斜率为k

直线ME的方程为yy0=k（xy02）.

由得

ky2y+y0（1ky0）=0.

解得y0yE=,

yE=,xE=.

同理可得yF=,xF=.

kEF=（定值）.

（2）解析：

当EMF=90时MAB=45所以k=1由

（1）得E（（1y0）2,（1y0））F（（1+y0）2,（1+y0））.

设重心G（x,y）则有

消去参数y0,得y2=（x0）.

14.在平面直角坐标系中O为坐标原点已知两点M（1,3）、N（51）若点C满足=?

t+（1t）（tR）,点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.

（1）求证：

（2）在x轴上是否存在一点P（m,0）使得过点P任作抛物线的一条弦并以该弦为直径的圆都过原点.若存在请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在请说明理由.

（1）证明：

由=t+（1t）（tR）知点C的轨迹是M、N两点所在的直线故点C的轨迹方程是：

y+3=（x1）,即y=x4.

由（x4）2=4xx212x+16=0.

x1x2=16x1+x2=12

y1y2=（x14）（x24）=x1x24（x1+x2）+16=16.

x1x2+y1y2=0.故.

（2）解析：

存在点P（40）使得过点P任作抛物线的一条弦以该弦为直径的圆都过原点.

由题意知：

弦所在的直线的斜率不为零

故设弦所在的直线方程为：

x=ky+4代入y2=x得y24ky16=0,

y1+y2=4k,y1y2=16.

kOAkOB==1.

OAOB,故以AB为直径的圆都过原点.

设弦AB的中点为M（x,y）

则x=（x1+x2）,y=（y1+y2）.

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k（y1+y2）+8=k（4k）+8=4k2+8.

弦AB的中点M的轨迹方程为：

消去k得y2=2x8.