二次函数自学导学案全章.docx

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二次函数自学导学案全章

二次函数自学导学案（全章）

第一课

一、什么是二次函数？

提出问题：

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。

设售价降低x元时的利润为y。

请用含x的代数式表示y。

并求出自变量x的取值范围。

观察思考：

以上解析式中含有几个自变量？

它们都是几次多项式？

二次函数定义：

形如的_函__数_叫做x的二次

函数，___叫做二次函数的系数，___叫做一次项的系数，___叫作常数项．练习:

1.下列函数中，哪些是二次函数?

（1）y=5x＋1

（2）y=4x2－1

（3）y=2x3－3x2（4）y=5x4－3x＋1

二、二次函数的图像和性质：

问题：

画函数图像分为那几个步骤？

（一）二次函数y=ax2（a工0）的图象和性质：

做一做,画一画：

在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

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请观察所画图像回答：

函数y=ax2（a工0）的图象是一条它的对称轴是顶点坐

标是.

当a>O时，抛物线y=ax2开口向一在对称轴的左边（当x<0时），曲线自左向右函数值y随x的增大而在对称轴的右边（当x>0时），曲线

自左向右,函数值y随x的增大而当x=0时，函数值y二ax2取得最

__值，最__值是.

当avO时，抛物线y=ax2开口向一在对称轴的左边（当x<0时），曲线自左向右函数值y随x的增大而在对称轴的右边（当x>0时），曲线

自左向右，函数值y随x的增大而当x=0时，函数值y二ax2取得最

__值，最__值是.

练习：

1、分别说出函数y=4x2与y=-3x2的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。

（二）二次函数y=ax2+k的图象特征和性质：

画一画：

同一直角坐标系中，画岀函数y=2x2与y=2x2+1的图象;

解：

列表：

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根据图像回答以下问题：

问题1：

当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?

反映

在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

问题2:

函数y=2x2+1和y=2x2的图象有什么联系？

问题3：

现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

问题4:

你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2x2+1的一些性质吗？

函数y=2x2+1的性质：

开口方向是对称轴是点坐标是

当x时,函数值y随x的增大而减小；当x时,函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取得最，最值y=L

画一画：

在同一直角坐标系中画岀函数y=-2x2-2与函数y=-2x2的图象，再作比较，说说

它们有什么联系和区别？

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根据图像回答以下问题：

问题1：

当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?

反映

在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

问题2:

函数y=-2x2—2和y=-2x2的图象有什么联系？

问题3：

现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

问题4:

你能由函数y=-2x2的性质，得到函数y=-2x2—2的一些性质吗？

函数y=-2x2—2的性质：

开口方向是,对称轴是点坐标是

当x时,函数值y随x的增大而减小；当x时,函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取得最，最值y=L

1、函数y=ax2+k的图象特征和性质：

函数y=ax2+k的图象是一条它的对称轴是顶点坐标是

当a>O时，抛物线y=ax2+k开口向__在对称轴的左边（当x<0时），曲线自左向右函数值y随x的增大而在对称轴的右边（当x>0时），

曲线自左向右，函数值y随x的增大而当x=0时，函数y=ax2+k

取得最__值，最―值是.

当avO时，抛物线y=ax2+k开口向__在对称轴的左边（当x<0时）,

曲线自左向右函数值y随x的增大而在对称轴的右边（当x>0时），

曲线自左向右，函数值y随x的增大而当x=0时，函数y=ax2+k取得最__值，最―值是.

2、函数y=ax2+k的图象可以由抛物线y=ax2向上或者是向下平移单

位得到。

练习：

在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，

111

y二2x2，y二2x2+2，y=2x2-2

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置

以及它们所具备的性质。

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第二课

（三）函数y=a（x—h）2的图象和性质：

能在同一直角坐标系中，画岀函数y=2x2与y=2（x—1）2的图象吗？

试一试

解：

列表

x

—3

—2

—1

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1

2

3

y=2x2

y=2（x—1）2

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在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

问题2:

函数y=2（x—1）2和y=2x2的图象有什么联系？

问题3：

现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

问题4:

你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2（x—1）2的一些性质吗？

函数y=2（x—1）2的性质：

开口方向是,对称轴是点坐标是

当x时,函数值y随x的增大而减小；当x时,函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取得最，最值y=L

探究二:

问题7:

在同一直角坐标系中画出函数y=-2（x+1）2与函数y=-2x2的图象，再

作比较，说说它们有什么联系和区别？

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在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

问题2:

函数y=-2（x+1）2和y=-2x2的图象有什么联系？

问题3：

现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

问题4:

你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2（x+1）2的一些性质吗？

函数y=2（x+1）2的性质：

开口方向是,对称轴是顶点坐标是

当x时,函数值y随x的增大而减小；当x时,函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取得最，最值y=L

1、函数y=a（x—h）2的图象特征和性质：

函数y=a（x—h）2的图象是一条它的对称轴是顶点坐标是

当a>O时，抛物线y=a（x—h）2开口向一在对称轴的左边（当xh时），

曲线自左向右，函数值y随x的增大而当x=h时，函数值y=a（x—

h）2取得最__值，最__值是.

当avO时，抛物线y=a（x—h）2开口向__在对称轴的左边（当xh时）,曲线自左向右,函数值y随X的增大而当x=h时，函数值y=a（x—h）2取得最__值，最__值是.

2、函数y=a（x—h）2的图象可以由抛物线y=ax2向左或者是向右平移单

位得到。

练习：

在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，

y=x2,y=（x+1）2和y=（x—1）2

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置以及它们所具

备的性质。

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（四）函数y=a（x—h）2+k的图象和性质:

探究一：

你能填写下表吗？

y=2x2向上平移1个

向右平移1个单位

单位y=2x2+1y=2（x—1）2

向右平移1个单位，再向上平移1个单

位y=2（x—1）2+1

开口方向

向上

对称轴

y轴

顶点

（0,0）

问题2:

从上表中，你能分别找到函数y=2（x—1）2+1与函数y=2（x—1）2、y=2x2图象的关系

吗？

问题3:

通过把函数y=2x2向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y=2（x—1）2+1观察图像，你能发现函数y=2（x—1）2+1有哪些性质？

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函数y=2（x－1）2＋1的性质：

开口方向是，对称轴是,顶点坐标是;当x时，

函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取

得最，最值y=:

猜想函数y=-2（x+1）2—1的性质：

开口方向是对称轴是顶点坐标是当x

时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取得最值，最值y=．

总结探究结果，归纳出：

1、函数y=a（x－h）2＋k的图象特征和性质：

函数y=a（x－h）2＋k的图象是一条它,的对称轴是顶,点坐标是

当a>O时，抛物线y=a（x-h）2+k开口向__在对称轴的左边（当x

曲线自左向右函数值y随x的增大而在对称轴的右边（当x>h时），

曲线自左向右，函数值y随x的增大而当;x=h时，函数y=a（x－h）2

+k取得最―值，最—值是.

当avO时，抛物线y=a（x-h）2+k开口向一在对称轴的左边（当xh时），

+k取得最—值，最―值是.

2、函数y=a（x-h）2+k的图象可以由抛物线y=ax2向左或是向右平移单

位再向上或是向下平移单位得到。

列表归纳：

开口方向

对称轴

顶点坐标

性质

2

y=ax2

y=ax+k

2

y=a（x—h）

y=a（x—h）2+

k

三、反馈练习：

已知函数y=2x2、y=2（x—3）2+3和y=2（x+3）2—3。

（1）在同一直角坐标系中画岀三个函数的图象；

（2）分别说岀这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2（x—3）2+3和抛物

线y=2（x+3）2—3;

⑷试讨沦函数y=2（x+3）2—3的性质；

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第三课

一、二次函数y=ax2+bx+c（a却）的图