最新全国硕士研究生入学统一考试数学一试题.docx
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最新全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,满分32分,每个小题所给四个选项中只有一个符合题目要求,把所选选项前的字母填在题后的括号内
(1)极限«SkipRecordIf...»等于(«SkipRecordIf...»)
«SkipRecordIf...»1;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
解题步骤:
因为«SkipRecordIf...»,
所以选«SkipRecordIf...»。
(2)设函数«SkipRecordIf...»由方程«SkipRecordIf...»确定,其中«SkipRecordIf...»为可微函数,且«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»等于(«SkipRecordIf...»)
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;(«SkipRecordIf...»)«SkipRecordIf...».
解题步骤:
«SkipRecordIf...»,解得«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»,解得
«SkipRecordIf...»,所以选«SkipRecordIf...».
(3)设«SkipRecordIf...»为正整数,则反常积分«SkipRecordIf...»的收敛性(«SkipRecordIf...»)
«SkipRecordIf...»仅与«SkipRecordIf...»有关;«SkipRecordIf...»仅与«SkipRecordIf...»有关;
«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»都有关;«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»都无关.
解题步骤:
显然反常积分«SkipRecordIf...»有两个瑕点«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»,
显然«SkipRecordIf...»的收敛性与«SkipRecordIf...»有关,当«SkipRecordIf...»时收敛,当«SkipRecordIf...»时发散;
«SkipRecordIf...»的收敛性与«SkipRecordIf...»有关,所以此题选«SkipRecordIf...».
(4)«SkipRecordIf...»等于(«SkipRecordIf...»)
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
解题步骤:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,
因为«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,
所以
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,
所以此题选«SkipRecordIf...»。
(5)设«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»矩阵,«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»矩阵,且«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»阶单位矩阵,则«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
解题步骤:
«SkipRecordIf...»,
因为«SkipRecordIf...»且«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»,
又显然«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»,所以此题选«SkipRecordIf...»。
(6)设«SkipRecordIf...»是4阶实对称矩阵,且«SkipRecordIf...»,若«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»相似于«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
解题步骤:
令«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»,因为«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»,从而«SkipRecordIf...»,注意到«SkipRecordIf...»是非零变量,所以«SkipRecordIf...»的特征值为0和-1,又因为«SkipRecordIf...»为可对角化的矩阵,所以«SkipRecordIf...»的秩与«SkipRecordIf...»的非零特征值个数一致,所以«SkipRecordIf...»的特征值为-1,-1,-1,0,于是«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,所以此题选«SkipRecordIf...»。
(7)设随机变量«SkipRecordIf...»的分布函数为«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»等于«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»0;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
解题步骤:
«SkipRecordIf...»,
所以本题选«SkipRecordIf...»。
(8)设«SkipRecordIf...»为标准正态分布的概率密度函数,«SkipRecordIf...»为[-1,3]上均匀分布的概率密度函数,若«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»满足«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
解题步骤:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
因为«SkipRecordIf...»为概率密度函数,所以«SkipRecordIf...»,
而«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,所以此题选«SkipRecordIf...»。
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»0.
解题步骤:
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...»0,所以此题选«SkipRecordIf...»。
(10)«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
解题步骤:
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
(11)已知曲线«SkipRecordIf...»的方程为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,起点为«SkipRecordIf...»,终点为«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»=0.
解题步骤:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
(12)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»的形心坐标«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
解题步骤:
«SkipRecordIf...»,
而«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
(13)设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,若由«SkipRecordIf...»形成的向量组的秩为2,则«SkipRecordIf...»6.
解题步骤:
«SkipRecordIf...»
因为由«SkipRecordIf...»组成的向量组的秩为2,所以«SkipRecordIf...»6.
(14)设随机变量«SkipRecordIf...»的分布为«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»2.
解题步骤:
由归一性得«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»所以C=«SkipRecordIf...»。
即随机变量«SkipRecordIf...»服从参数为1的泊松分布,于是«SkipRecordIf...»,
故«SkipRecordIf...»。
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)(本题满分10分)求微分方程«SkipRecordIf...»的通解.
解:
先求方程«SkipRecordIf...»的通解
由特征方程«SkipRecordIf...»解得特征根«SkipRecordIf...»
所以方程«SkipRecordIf...»的通解为«SkipRecordIf...»
再求«SkipRecordIf...»的特解.;
设特解为«SkipRecordIf...»,则
«SkipRecordIf...»
代入原方程,解得«SkipRecordIf...»,故特解为«SkipRecordIf...»
故方程的通解为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
(16)(本题满分10分)求函数«SkipRecordIf...»的单调区间与极值.
解:
«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,又«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»是极大值.
«SkipRecordIf...»所以«SkipRecordIf...»为极小值
因为当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
所以«SkipRecordIf...»的单调递减区间为«SkipRecordIf...»,单调递增区间为«SkipRecordIf...».
(17)(本题满分10分)
(1)比较«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»的大小,说明理由;
(2)记«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,求极限«SkipRecordIf...».
解:
(1)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
(2)«SkipRecordIf...»
所以由«SkipRecordIf...»,因为«SkipRecordIf...»=0,
根据夹逼定理可得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=0,所以«SkipRecordIf...»=0.
(18)求幂级数«SkipRecordIf...»的收敛域及和函数.
解:
令«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
要使«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»时级数收敛;
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,由莱布尼茨判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,
而«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
(19)设«SkipRecordIf...»为椭球面«SkipRecordIf...»上的动点,若«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切平面与«SkipRecordIf...»
平面垂直,求点«SkipRecordIf...»的轨迹«SkipRecordIf...»,并计算曲线积分«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»是椭球面«SkipRecordIf...»位于曲线«SkipRecordIf...»上方的部分.
解:
令«SkipRecordIf...»的坐标为«SkipRecordIf...»,由«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的平面法向量为«SkipRecordIf...»,因为«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切平面与«SkipRecordIf...»平面垂直,所以就有«SkipRecordIf...»,又因为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»点的轨迹方程为«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»,
将«SkipRecordIf...»向«SkipRecordIf...»平面投影,则«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»两边对«SkipRecordIf...»求导得«SkipRecordIf...»,解得«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»两边对«SkipRecordIf...»求导得«SkipRecordIf...»,
解得«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
于是«SkipRecordIf...».
(20)设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,已知线性方程组«SkipRecordIf...»存在两个不同解。
(1)求«SkipRecordIf...»;
(2)求«SkipRecordIf...»的通解。
解:
(1)已知«SkipRecordIf...»有两个不同的解,«SkipRecordIf...»,又«SkipRecordIf...»,
即«SkipRecordIf...»,知«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...».
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,此时,«SkipRecordIf...»无解,
当«SkipRecordIf...»时,代入有«SkipRecordIf...»,得«SkipRecordIf...».
(2)«SkipRecordIf...»
则原方程组等价为«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»的通解为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»为任意常数。
(21)已知二次型«SkipRecordIf...»在正交变换«SkipRecordIf...»下的标准型为«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»的第三列为«SkipRecordIf...».
(1)求矩阵«SkipRecordIf...»;
(2)证明«SkipRecordIf...»为正定矩阵,其中«SkipRecordIf...»为3阶单位矩阵。
解:
(1)由于二次型在正交变换«SkipRecordIf...»下的标准型为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»的特征值为«SkipRecordIf...»
由于«SkipRecordIf...»的第三列为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»对应于«SkipRecordIf...»的特征向量为«SkipRecordIf...»
因为«SkipRecordIf...»为实对称矩阵,所以«SkipRecordIf...»的不同特征值对应的特征向量正交,令«SkipRecordIf...»对应的特征向量为«SkipRecordIf...»,由«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»对应的线性无关的特征向量为«SkipRecordIf...»。
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,
由«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»。
(2)因为«SkipRecordIf...»是实对称矩阵,且«SkipRecordIf...»的特征值为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»的特征值为«SkipRecordIf...»,因为其特征值都大于零,所以«SkipRecordIf...»为正定矩阵。
(22)设二维随机变量«SkipRecordIf...»的联合密度函数为«SkipRecordIf...»
求«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»。
解:
由归一性可得«SkipRecordIf...»,又因为«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»的边缘概率密度为«SkipRecordIf...»
条件概率密度为«SkipRecordIf...»
(23)设总体的分布律为«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»为未知参数,以«SkipRecordIf...»表示来自总体«SkipRecordIf...»的简单随机样本(样本容量为«SkipRecordIf...»)中等于«SkipRecordIf...»«Sk
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