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投资学作业

3投资的收益与风险

假设某投资者持有X,Y股票，对应着未来可能发生的不同宏观经济环境，两只股票的收益率如下表所示：

计算投资组合的期望收益率以及期望收益率的方差。

繁荣

一般

萧条

概率

0.3

0.5

0.2

股票X/%

17

12

6

股票Y/%

13

10

9

E（rx）=0.3x17%+0.5x12%+0.2x6%=12.3%

E（rY）=0.3x13%+0.5x10%+0.2x9%=10.7%

b；=0.3x（17%-12.3%）2+0.5x（12%-12.3%）2+0.2x（6%-12.3%）2=

b：

=0.3x（13%-10.7%）2+0.5x（10%-10.7%）2+0.2x（0%-10.7%）2=

4最优投资组合与有效边界

思考题

lx考虑一风险资产组合，年末来自该资产组合的现金流可能为70000或200000美元，概率相等，均为0.5；可供选择的无风险国库券年利率为6%。

〔1〕如果投资者要求8%的风险溢价，那么投资者愿意支付多少钱去购置该资产组合？

预期现金流为0.5X70000+0.5X200000=135000元。

风险溢价为8%,无风险利率为6%,

要求的回报率为14%o因此，资产组合的现值为：

135000/1.14=118421元。

〔2〕假定投资者可以以〔1〕中的价格购置该资产组合，该投资的期望收益率为多少？

如果资产组合以118421元买入，给左预期的收入为135000元，而预期的收益率E〔r〕推导如下：

118421元X[l+E〔r〕]=135000元，因此E〔r〕=14%。

资产组合的价格彼设定为等于按要求的回报率折算的预期收益。

〔3〕假定现在投资者要求12%的风险溢价，那么投资者愿意支付的价格是多少？

如果国库券的风险溢价现值为12%,要求的回报率为6%+12%"8%。

该资产组合的现值就为135000元/1.18=114407元。

〔4〕比拟〔1〕、〔3〕的答案，关于投资者所要求的风险溢价与售价之间的关系，投资者有什么结论？

对于一给左的现金流，要求有更髙的风险溢价的资产组合必须以更低的价格售出。

预期价值的多余折扣相当于风险的罚金。

2、假定一个风险资产投资组合中包含大量的股票，它们有相同的分布,E〔r〕=15%,标准差0.6,相关系数0.5.

〔1〕含有25种股票的等权觅投资组合期望收益和标准差是多少？

E〔G〕=15%Qp=[dr2/n+pcr2〔n-l〕/n],/2=43.72%

〔2〕构造一个标准差小于或等于43%的有效投资组合所需要最少的股票数量为多少？

a2In+pa2〔n-\〕/n=43%A2

即3600+1800z?

-1800=1849仏n=1800/49=36.73

所以至少要37只股票组合才能到达目标。

〔3〕这一投资组合的系统风险为多少？

当n变得非常大时，等权重有效投资组合的方差将消失，剩下的方差来自股票间的协方

差：

b,,=ylpxcr2=V05x60%=42.23%

因此，投资组合的系统风险为43%,非系统风险为57%.

〔4〕如果国库券的收益率为10%,资本配置的斜率为多少？

如果无风险利率为10%,那么不管投资组合的规模多大，风险溢价为15%-10%=5%,充

分分散的投资组合的标准差为42.43%,资本配垃线的斜率为S=5/42.43=0.1178o

3、设6种资产六种资产的协方差矩阵、投资比重、预期收益率如下表4・15所示，计算投资组合预期收益率和投资组合风险。

表445六种资产的协方差矩阵和投资比垂

资产i

资产2

资产3

资产4

资产5

资产6

资产1

9.08%

2.08%

3.72%

4.70%

0.43%

-1.26%

资产2

2.08%

4.88%

2.88%

2.85%

0.35%

2.41%

资产3

3.72%

2.88%

6.12%

4.79%

0.57%

1.65%

资产4

4.70%

2.85%

4.79%

10.57%

0.48%

0.13%

资产5

0.43%

0.35%

0.57%

0.48%

0.76%

033%

资产6

-1.26%

2.41%

1.65%

0.13%

・0.33%

4.13%

各资产的投资比重0.10

0.20

0.30

0.20

0.10

0.10

预期收益率

15%

7%

8%

16%

2%

6%

4股票、债券两种风险资产的有关数据如表4-16所示。

资产

债券D

表446有关数据

期望收益率〔%〕风险〔标准差〕〔％〕

812

股票E1320

其中债券D和股票E之间相关系数=0.3。

（1）求投资组合的期望收益率。

（2）求使投资组合标准差最小的债券D和股票E的投资比例。

（3）投资组合最小的标准差是多少？

（4）求使投资组合夏普比最大的债券D和股票E的投资比例。

（5）投资组合夏普比最大是多少？

5可选择的证券包括两种风险股票基金：

A.B和短期国库券，所有数据如表4・17所示。

表4・17数据表

期望收益％

标准差％

股票基金A

10

20

股票基金B

30

60

短期国库券

5

0

基金A和基金B的相关系数为02。

（1）画出基金A和基金B的可行集（5个点）。

基金之间的协方差为cov（G，D）=pX（T4x=（-0.2X20X60）=-240

wa

wb

E（r）%

Sigma%

0.0

l.d

30

60

0.2

D.S

26

47.36243

0.4

0.6

22

35.28172

0.8

0.2

14

17.97776

1.0

<）.（»

10

20

（2）找出最优风险投资组合P及其期望收益与标准差。

最优风险组合的权重为叫=0.6818,%=1-0.6818=0.3182

期望收益和标准差

E（rp）=（0.6818x10）+（0.3182x30）=16.36%

bp={（0.68182x202）+（0.31822x602）+2x0.6818x0.3182（-24O）},/2=21.13%

（3）找出由短期国库券与投资组合P支持的资本配置线的斜率。

资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线,它代表了短期国库券与最优风险投

资组合之间的所有有效组合，资本配置线的斜率为

5=E（rz>）-r/=16.36%-5%=（）5376

b〃21.13%

（4）当一个投资者的风险厌恶程度A=5时，应在股票基金A、B和短期国库券中各投资多少？

在给左的风险厌恶系数A的条件下投资者愿意投资到最优风险投资组合的比例为

E（z-）-?

=16.36-5=Q5089

0.014b；0.01*5*21.132

这意味着A二5时的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入50.89%的财产•由于A、B两种股票在投资组合的比例分别为68.18%和31.82%,这个投资者分别投资于这两种股票的比例为：

股票A：

0.5089*68.18%=34.70%

股票B：

0.5089*31.82%=16.19%

总额：

50.89%

6雷思有90万元完全分散化的证券组合投资。

随后，她继承了价值10万元的ABC公司普通股。

她的财务参谋提供了如下预测信息：

期望月收益率月收益标准差

ABC股票与原始证券组合的收益相关系数为0.40。

（1）遗产继承改变了雷思的全部证券组合，她正在考虑是否要继承持有ABC股票。

假定雷思继续持有ABC股票，请计算：

1包括ABC股票在内的她的新证券组合的期望收益。

E（rVP）=co（）pE{rop）+coAHCE（rAHC）=0.9x0.67%+0.1x1.25%=0.728%

2包括ABC股票在内的原组合收益的协方差。

Cov=pxcopx（yGS=0.4x2.37x2.95=2.8

3包括ABC股票在内的新组合的标准差。

0VP=XaABC+饥•（Cov°p）]"■

=（0.92x2.37?

+0」.2.952+2x0.9x0.1x2.80）"

=2.2673%«2.27%

（2）如果雷思卖掉ABC股票，她将投资于无风险的月收益率为0.42%的政府债券。

1包括政府债券在内的她的新组合的期望收益。

£（rvp）=coopE（rop）+coGS）=0.9x0.67%+0.1x0.42%=0.645%

2政府债券收益与原证券收益组合的协方差。

Cov=rxb（）pxcGS=0x2.37xO=0

3包括政府债券在内的新组合的标准差。

Jp=\3；）pb：

p++2%p®gs（C"op・gs）]"■

=（0.92x2.372+O.12xO+2xO.9xO・1x0）i/2=2・133%a2・13%

〔3〕包活政府债券在内的新证券组合与原证券组合的B系数，二者谁高谁低。

参加无风险的政府债券会导致新组合的贝塔值更低。

新组合的贝塔值将是组合内单笔i正券的贝塔值的加权平均：

无风险证券的参加将降低加权平均值。

〔4〕雷思经过与丈夫商量后，考虑要卖出10万元的ABC公司股票，买入10万元的XYZ公司普通股。

这两种股票的期望收益和标准差都相等。

她丈夫说，是否用XYZ公司股票替代ABC公司股票并无区别。

判断她丈夫的说法是否正确？

并说明理由。

这个评论不正确。

虽然两种证券的标准差和期望收益率相等，但每种证券原始组合之间的协方差是不知道的，因此，很难得到所说的评论。

比方，如果协方差不同，选择某种证券可能会导致组合更低的标准差。

如果是这样，假设所有英他的因素不变，这个证券将是更好的投资选择。

6指数模型及其应用

思考题

1以下数据描绘了一个由三只股票组成的金融市场，而且该市场满足单指数模型。

股票

资本化〔元〕

贝塔

平均超额收益率％

标准差％

A

3000

1.0

10

40

B

1940

0.2

2

30

C

1360

1.7

17

50

市场指数组合的标准差为25%,请问：

〔1〕市场指数投资组合的平均超额收益率为多少?

〔2〕股票A与股票B之间的协方差为多大？

〔3〕股票B与指数之间的协方差为多大？

〔4〕将股票B的方差分解为市场和公司特有两局部。

2假设用指数模型估计的股票A和股票B的超额收益的结果如下:

RA=l%+0.9RM+eA

RB=-2%+l.lRM+eB

SIGM=0.2#SIG（eA）=0.3,SIG（eB）=0.1计算每只股票的标准差和它们之间的协方差。

3对股票A和股票B分析估计的指数模型结果如下:

RA=12%+0.6RM+eA

RB=4%+1.4M+eB

SIGM=0.26,SIG〔eA〕=0.2,SIG〔eB〕=0.1

〔1〕股票A和股票B收益之间的协方差是多少？

〔2〕每只股票的方差是多少？

〔3〕将每只股票的方差分类到系统风险和公司特有风险中

〔4〕每只股票和市场指数的协方差是多少？

〔5〕两只股票的相关系数是多少？

4在一个只有两种股票的资本市场上，股票A的资本是股票B的两倍。

A的超额收益的标准差为30%,B的超额收益的标准差为50%。

两者超额收益的相关系数为0.7。

a.市场指数资产组合的标准差是多少？

在一个资本市场上，只有两种股票A和B,其中前者市值是后者的两倍，说明：

=2/3,叫=1/3。

场指数资产组合的标准差为:

%=〔"叮丁「+w/cr,+2wAwBpaAo-H〕｝,i2=33.83%

b.每种股票的贝塔值是多少？

仅=5亿心〕/加

=-xO.3O2+-xO.7x0.30x0.50=0.095

33

所以皿二船皿3

同理可得股票B：

c.每种股票的残差标准差是多少？

cr〔?

J=环-04运「=O.3O2-O.832xO.l14444=0.01116

cr〔eB〕=aB2一角运「=0.502-0.342xO.l14444=0.044504

d.如果指数模型不变，股票A预期收益超过无风险收益率11%,市场资产组合投资的风险溢价是多少？

如果指数模型不变，有：

〔口―耳〕=04〔中一匚〕，代入数值得：

11%=0.83x〔中-/•〕=＞〔rw-rz〕=ll%/0.83=13.25%

7资本资产定价模型〔CAPM〕及其应用

1如果=6%,£〔/;w〕=14%,E〔rp〕=18%的资产组合的0值等于多少？

18%=6%+/7?

（14%-6%）

久=12%/8%=1.5

2—证券的市场价格为50美元，期望收益率为14%,无风险利率为6%,市场风险溢价为8.5%。

如果这一证券与市场资产组合的协方差加倍〔其他变量保持不变〕，该证券的市场价格是多少？

假定该股票预期会永远支付固定红利。

如果证券的协方差加倍，那么它的值和风险溢价也加倍。

现在的风险溢价为8%〔=14%-6%〕,因此新的风险溢价为16%,新的折现率为16%+6%=22%。

如果股票支付某一水平的永久红利，那么我们可以从红利D的原始数据知逍必须满足永久债券的等式：

价格=红利/折现率

50=D/0.14

D=50X0.14=7.00

在新的折现率22%的条件下，股票价值为7美76/0.22=31.82美元。

股票风险的增加使得它的价值降低了36.36%。

3假定你是一家大型制造公司的咨询参谋，考虑有一以下净税后现金流的工程（单位：

100万美元）

年份税后现金流

0-40

1-1015

工程的B值为1.8。

假定，工程的净现值是多少？

在其净现值变成负数之前，工程可能的最髙B估计值是多少？

（1）该工程适当的折现率为：

=8%+1.8*（16%-8%）=22.4%

使用该折现率,

（2）当NPV=0时，该工程的内部收益率为35.73%。

可取的"的最髙估计值为:

35.73%=8%+卩（16%-8%）

0=27.73%-8%=3.47

4下表给出了一证券分析家预期的两个特定市场收益情况下的两只股票的收益。

市场收益激进型股票

5%-2%

25%38%

防守型股票

6%

12%

a.两只股票的B值是多少？

"是股票的收益对市场收益的敏感程度。

即"是市场收益每变化一个单位股票收益的

相应变化。

因此我们可以通过讣算在两种假设情况下股票的收益差异除以市场的收益差异来计算出该股票的"值。

卩a=（-2-38）/（5-25）=2.0

卩B=（6-12）/（5-25）=0.30

b.如果市场收益为5%与25%的可能性相同，两只股票的预期收益率是多少?

在每种情况的可能性相等的情况下，

E（，A）=0.5（-2%+38%）=18%

E（〃）=0・5（6%+12%）=9%

c.如果国库券利率6%,市场收益为5%与25%的可能性相同，画出这个经济体系的证券市场线。

证券市场线由市场预期收益0.5（25+5）=15%决迫，此时贝塔为1:

国库券的收益率为6%时,阿尔法为零。

见以下图:

预期收益率••贝塔关系

40

35

证券市场线SML的方程为:

E（r）=6%+0（15%-6%）。

d.在证券市场线图上画出这两只股票，其各自的阿尔法值是多少？

激进型股票有一公平的预期收益为：

E（卩）=6%+2.0（15%-6%）=24%

但是，分析家得岀的预期收益是18%。

因此他的阿尔法值是18%-24%=-6%o相似的，D股票要求的收益率为E（°）=6%+0.3（15-6）=8.7%,但是分析家对D的预期收益率是9%,因此，股票有一正的阿尔法值：

勺=实际的预期收益-要求的收益（风险既定）=9%-8.7%=0.3%。

e.激进型企业的管理层在具有与防守型企业股票相同的风险特性的工程中使用的临界利率

是多少？

如果国库券利率为6%,这一时期的市场收益率是吗？

临界利率由工程的0值决左，而不是由企业的“值决左。

正确的折现率为8.7%,即股票D的公平的收益率。

5预期A公司明年每股股息为0.7元，并且今后每股股息将以每年10%的速度稳定增长。

当前的无风险利率为0.05,市场投资组合的风险溢价为0.08,A公司股票的贝塔值为1.5。

那么A公司股票当前的合理价格是多少？

假设A公司股当前的价格是8元，那么投资者应该购置该股票还是抛售该股票？

8套利定价理论APT及其应用

1假设市场指数是充分分散的投资组合，其期望收益率为10%,收益偏离期望的离差rM-10%可视为系统风险。

无风险利率为4%。

对于一个充分分散的投资组合G,其贝塔为1/3,期望收益率为5%,是否存在套利时机？

假设存在，套利的策略是什么？

计算出这种策略在零净投资的条件下无风险收益的结果。

2假定一个多元投资组合Z的定价根底是两个因素。

第一个因素的贝塔是1.10,第二个因素的贝塔是0.45,第一个因素的预期收益是11%,第二个因素的预期收益是17%,无风险利率是5.2%。

利用套利定价理论答复以下问题：

（1）第一种因素的风险溢价是多少？

（2）第二种因素的风险溢价是多少？

（3）根据和第一种因素的关系，投资组合Z的风险溢价是多少？

（4）根据和第二种因素的关系，投资组合Z的风险溢价是多少？

（5）投资组合Z的整体风险溢价是多少？

（6）投资组合Z的整体整体预期收益是多少？

3考虑下面的单因素经济体系的资料，所有资产组合均已充分分散化。

资产组合E（r）贝塔

A12%1.2

F6%0.0

现假定另一资产组合E也充分分散化，贝塔值为0.6,期望收益率为8%,是否存在套利机会？

如果存在，那么具体方案如何？

因为资产组合F贝塔值为0,所以其期望收益率等于无风险收益率，所以无风险收益率为6%。

资产组合A的风险溢价与贝塔值之比为：

（12%-6%）/1.2=5%

资产组合E的风险溢价与贝塔值之比为：

（8%-6%）/0.6=33.3%

两个比率不同，说明存在套利时机，可以新创一个资产组合G,由资产组合A和F以

相同权重组合，苴贝塔值为0.6（和E相同），那么资产组合G的期望收益率和贝塔值如下：

E（G=O.5x12%+O.5x6%=9%,0g=0.5xl.2+0.5x0=0.6

相对于E,资产组合G有相同的贝塔值但有更髙的收益率。

因此，通过买进资产组合G同时卖岀等额的资产组合E,可以进行无风险套利，所套取的利润为:

乜一％=[9%+（0.6xF）]-[8%+（0.6%xF）]=l%

4假定Fl与F2为两个独立的经济因素。

无风险利率为6%,并且所有的股票都有独立的企业特有〔风险〕因素，其标准差为45%。

考虑下面的单因素经济体系的资料，所有资产组合均

己充分分散化。

资产组合

Fi的贝塔值

F2的贝塔值

期望收益率％

A

1.5

2.0

31

B

2.2

・0・2

27

在这个经济体系中.确定期望收益•贝塔的关系。

由双因素模型得：

E〔f+久［E〔"〕-rf］+0处护〕旳］

该风险溢价分别为：

'二［E〔h—］和忌二解出下面方程式:

31=6+1.5x+2.0x

RR

27=6+2.2x1+（-2.0）x2,

方程组的解分别为：

R[=10%和“=5%因此，预期收益率・关系为：

E（°）=6%+“竹“0%+0叽5%

10固定收益证券

思考题

1假设新发行的3年期的债券面值为1000元，以后每半年支付利息50元，市场年收益为

10%,那么债券的现值为多少？

因此，这种债券以面值出售，如果每年息票低于100元.而其他条件不变，债券的现值就低于1000元，那么，投资者不会付1000元购置这种债券。

2现在投资者面临着两种可供选择的美国息票债券：

债券A有4%的息票率，债券B有10%

的息票率。

两种债券都还有8年到期，每半年付息一次，初始到期收益率YTM都为9%。

投资者根据市场信息判断利率会立即发生变动，或者上升2%,或者下降2%。

他想知道这种利率的改变将对两个债券的价格产生怎样的影响？

3有一种10年后到期的债券，每年付息一次，下一次付息正好在一年后，面值为100元,票面利率为8%,市场价格是107.02元，求它的到期收益率。

ncF

用舟P=E〔1+万町+〔\+YTM〕n得

利用Excel的单变量求解或规划求解工具都可求得YTM=7%o

4一年期债券的到期利率是6.3%,2年期零息债券的到期利率是7.9%。

〔1〕第2年的远期利率是多少？

第2年的远期利率九满足等式1.0792=1.630*〔1+/2〕,/2=9.52%«

〔2〕根据期望假设，明年的1年期利率的期望值是多少？

明年的1年期利率的期望值是远期利率，即9.52%

〔3〕根据流动性偏好理论，明年期的1年期利率的期望值比〔2〕得到的值高还是低?

/2=£〔r2〕+流动溢价，明年期的1年期利率的期望值比〔2〕得到的值9.52%低。

5—个债券组合有三种半年付息的债券构成，相关资料如下，求该债券组合久期。

债券名称

而值〔元〕

票而利率

到期时间〔年〕

市场价格〔元〕

到期年收益率

A

1000

6%

6

951.68

7%

B

20000

5.5%

5

20000.00

5.5%

C

10000

7.5%

4

9831.68

8%

先利用久期的简化公式，分别计算A,B,C的久期和修正久期。

0=10.2001〔半年〕修正久期二一=9.8552〔半年〕=4.9276〔年〕

1+3.5%

&8777〔半年〕修正久期二一°一=8.6401〔半年〕=4.3201〔年〕

1+2.75%

£>=7.0484〔半年〕修正久期二_21_=6.7773〔半年〕=3.3887〔年〕

1+4%

A,B,C市场价格的权重分别是0.0309,0.6497,0.3194。

因此,该债券组合的久期为：

D=4.9276x0.0309+4.320x0.6497+3.3887x0.3194=4.0414（年）

这说明，当组合中的三种债券的年收益率都变动1个百分点时，组合的市场价格将会变

动4.0414%。

6票面面值100元，息票率8%的三年期的债券，半年付息一次，到期收益率10%,求该三年期债券的凸度。

11股权估价模型与证券分析

思考题

1今年底，如果A公司的股票预期股利为0.6元/股，且预期股利以每年10%的速度