中考数学圆切线的证明题题集冲刺.docx
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中考数学圆切线的证明题题集冲刺
2016年中考数学圆切线的证明题
1.已知:
如图,AB是⊙O的直径,AD是弦,OC垂直AD于F交⊙O于E,
连结DE、BE,且∠C=∠BED.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)若OA=10,AD=16,求AC的长.
2.(本题12分)如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F,点G是AD的中点.求证:
GE是⊙O的切线.
3、
如图8.AB是⊙O的直径,∠A=30o,延长OB到D使BD=OB.
(1)
是否是等边三角形?
说明理由.
(2)求证:
DC是⊙O的切线.
4、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F.
(1)求证:
BC与⊙O相切;
(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数.
5.(10分)如图,点
在
的直径
的延长线上,点
在
上,
,
,
(1)求证:
是
的切线;
(2)若
的半径为2,求图中阴影部分的面积.
6.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度;
(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,
直线ED与⊙O相切?
请说明理由.
7、如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=6,AB=8.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:
直线EF是⊙O的切线;
(2)求sin∠E的值.
8、
如图,直线l与⊙O相交于A,B两点,且与半径OC垂直,垂足为H,已知AB=16厘米,
.
(1) 求⊙O的半径;
(2)如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置,平移的距离应是多少?
请说明理由.
9.如图,⊙O的直径AB=4,C、D为圆周上两点,且四边形OBCD是菱形,过点D的直线EF∥AC,交BA、BC的延长线于点E、F.
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)求DE的长.
10、如图,已知矩形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后,得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°,⊙O的半径是3cm.
(1)求点O到线段ND的距离.
(2)过点A作BN的平行线EF,判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由.
11.如图,在⊙O中,直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AC,将△ACE沿AC翻
折得到△ACF,直线FC与直线AB相交于点G.
(1)直线FC与⊙O有何位置关系?
并说明理由;
(2)若
,求CD的长.
12.如图,
内接于
,点
在半径
的延长线上,
.
(1)试判断直线
与
的位置关系,并说明理由;
(2)若
的半径长为1,求由弧
、线段
和
所围成的阴影部分面积(结果保留
和根号).
13.(10分)已知,如图在矩形ABCD中,点0在对角线AC上,以OA长为半径的圆0与AD、AC分别交于点E、F。
∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若tan∠ACB=
,BC=2,求⊙O的半径.
14.已知:
如图,以
的边
为直径的
交边
于点
,且过点
的切线
平分边
.
(1)
与
是否相切?
请说明理由;
(2)当
满足什么条件时,以点
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形?
并说明理由.
15.如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF·AC,cos∠ABD=
,AD=12.
⑴求证:
△ANM≌△ENM;
⑵求证:
FB是⊙O的切线;
⑶证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.
16.(10分)如图9,已知,在△ABC中,∠ABC=
,BC为⊙O的直径,AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点,PF⊥BC交B
C于点G,交AC于点F.
(1)求证:
ED是⊙O的切线.
(2)如果CF=1,CP=2,sinA=
,求⊙O的直径BC.
参考答案:
1、
(1)证明:
∵∠BED=∠BAD,∠C=∠BED
∴∠BAD=∠C1分
∵OC⊥AD于点F
∴∠BAD+∠AOC=90o2分
∴∠C+∠AOC=90o
∴∠OAC=90o
∴OA⊥AC
∴AC是⊙O的切线.4分
(2)∵OC⊥AD于点F,∴AF=
AD=85分
在Rt△OAF中,OF=
=66分
∵∠AOF=∠AOC,∠OAF=∠C
∴△OAF∽△OCA7分
∴
即OC=
8分
在Rt△OAC中,AC=
.10分
2.证明:
(证法一)连接
.1分
∵
是⊙O的直径,
.2分
∵
是
的中点,
.4分
.6分
∵
.8分
.即
.10分
是⊙O的切线.12分
(证法二)连接
.1分
∵
,
.2分
.4分
∵OC=OE.
∴∠2=∠4.
∴∠1=∠3.6分
又
,
.8分
.10分
是⊙O的切线.12分
3、
(1)解法一:
∵∠A=
,∴∠COB=
.………………2分
又OC=OB,
∴△OCB是等边三角形.………………4分
解法二:
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=
.
又∵∠A=
, ∴∠ABC=
.………………2分
又OC=OB, ∴△OCB是等边三角形.………………4分
(2
)证明:
由
(1)知:
BC=OB,∠OCB=∠OBC=
.
又∵BD=OB,∴BC=BD.………………6分
∴∠BCD=∠BDC=
∠OBC=
.
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=
,
故DC是⊙O的切线.………………8分
4、
(1)证明:
连接OE,------------------------------1分
∵AB=AC且D是BC中点,
∴AD⊥BC.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.------------------------------3分
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA.
∴∠OEA=∠DAE.
∴OE∥AD.
∴OE⊥BC.
∴BC是⊙O的切线.---------------------------6分
(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.-----
-----
------------------7分
∴∠EOB=60°.------------------------------8分
∴∠EAO=∠EAG=30°.-------------------9分
∴∠EFG=30°.------------------------------10分
5、
(1)证明:
连结
.………………1分
∵
,
,
∴
.………………2分
∵
∴
.………………3分
∴
.…………………………………………………4分
∴
是
的切线.……………………………………………………………5分
(2)解:
∵∠A=30o,∴
.……………………………6分
∴
.…………………………………………………7分
在Rt△OCD中,∵
∴
.…………………………8分
∴
.…………………………9分
∴图中阴影部分的面积为
.………………………………………10分
6、解:
(1)在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm.……1分
连结CD,∵BC为直径,∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴Rt△ADC∽Rt△ACB.
∴
,∴
.…………………………4分
(2)当点E是AC的中点时,ED与⊙O相切.………………5分
证明:
连结OD,∵DE是Rt△ADC的中线.
∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD.
∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD.…………………7分
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.
∴ED与⊙O相切.
…………………………9
7、
(1)证明:
如图,连结
,则
.
∴
.
∵AC=BC,∴
.
∴
.
∵
∥
,∴
.
∵
于F,∴
.
∴
.∴
.
∴EF是⊙O的切线.------------------------------------------------------------3分
(2)连结BG,∵BC是直径,∴∠BGC=90
=∠CFE.
∴BG∥EF.∴
.
设
,则
.
在Rt△BGA中,
.
在Rt△BGC中,
.
∴
.解得
.即
.
在Rt△BGC中,
.
∴sin∠E
.-----------------------------------------------------------------------------5分
8、解:
(1) ∵ 直线l与半径OC垂直,∴
.……2分
∵
,
∴OB=
HB=
×8=10.……2分
(2) 在Rt△OBH中,
.……2分
∴
.
所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时,平移的距离是4cm.……2分
9.
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.……………………………………………………1分
∵四边形OBCD是菱形,
∴OD//BC.
∴∠1=∠ACB=90°.
∵EF∥AC,
∴∠2=∠1=90°.……………2分
∵OD是半径,
∴EF是⊙O的切线.…………………………………………3分
(2)解:
连结OC,
∵直径AB=4,
∴半径OB=OC=2.
∵四边形OBCD是菱形,
∴OD=BC=OB=OC=2.…………………………………………4分
∴∠B=60°.
∵OD//BC,
∴∠EOD=∠B=60°.
在Rt△EOD中,
.……5分
10.
(1)解:
(法一):
过点O作OG⊥ND于点G
∴∠OGD=90°
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°
由翻折得
∠N=∠C=90°=∠OGD…………1分
∴OG∥BN
∵∠NBD=30°
∴∠GOD=30°…………3分
在Rt△OGD中,cos30°=,OD=3
∴OG=…………5分
(法二):
过点O作OG⊥ND于点G
则DG=NG…………1分
∵OB=OD
∴OG是△BDN的中位线
∴OG=BN
∵四边形ABCD是矩形,∠C=90°
∴BD是⊙O直径
∵OD=3
∴BD=6…………3分
在Rt△BND中,cos30°=
∴BN=
∴OG=…………5分
(2)相切.证明:
连接OA交BN与H.
∵∠DBN=30°,
由翻折得∠DBC=∠DBN=30°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO=60°.…………1分
∵OA=OB,
∴△ABO是等边三角形.…………3分
∴∠AOB=60°.
∴∠BHO=90°.
又∵EF∥BN,
∴∠FAH=90°.
∴OA⊥EF.
∴EF与⊙O相切.…………5分
11.解:
(1)直线FC与⊙O相切.……1分
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