圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型.docx
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圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型2017届高三第一轮复习专题训练之届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式,代入直线方程即可。
技巧在于:
设哪一条直线?
如何转化题目条件?
圆锥曲线是一种很有趣的载体,自身存在很多性质,这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论,那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型:
模型一:
模型一:
“手电筒手电筒”模型模型22例题、(07山东)已知椭圆C:
=1若直线l:
y二kxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B43不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。
求证:
直线l过定点,并求出该定点的坐标。
”、ry=kx+m+222解:
设A(xyj,B(x2,y2),由22得(34k2)x28mkx4(m23)=0,3x4y=12:
=64m2k2-16(34k2)(m2-3)-0,34k2-m20y2X1X2-2(X1X2)4二0,当m-2k时,I:
y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;l:
y=k(x-#),直线过定点(2,0)2综上可知,直线I过定点,定点坐标为(一,0).7方法总结:
本题为“弦对定点张直角”的一个例子:
圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直对定点张直角的一组性质”)模型拓展:
本题还可以拓展为“手电筒”模型:
只要任意一个限定AP与BP条件(如kApkBP定值,kAP-kBP二定值),直线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒,固名曰手电筒模型)。
(参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节)此模型解题步骤:
Stepl:
设AB直线y二kxm,联立曲线方程得根与系数关系,厶求出参数范围;Step2:
由AP与BP关系(如kAPkBp=T),得一次函数k=f(m)或者m=f(k);Step3:
将k=f(m)或者m=f(k)代入y=kxm,得y=k(x-x定)y定。
迁移训练2练习1:
过抛物线M:
y=2px上一点P(1,2)作倾斜角互补的直线PA与PB,交M于A、B两点,求证:
直线AB过定点。
(注:
本题结论也适用于抛物线与双曲线)典例题,多种解法)练习3:
过2x-y二上的点作动弦AB、AC且kABkAc=3,证明BC恒过定点。
(本题参考答案:
分别为和:
,当:
变化且时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标。
(参考答案4-2p,2p)【答案】设A%,%,BX2,y2,由题意得Xi,=0,又直线OA,OB的倾斜角:
-,:
满足一八4故0:
:
,所以直线AB的斜率存在,否则,OA,OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为422y二kxb,显然x1y,x2比,2p2p将y=kxb与y=2px(P0)联立消去x,得ky2-2py2pb=0由韦达定理知y2=空,y2二2kktan:
tan:
2p(y1y2)由,得1=tantan()=1马441-tanatanP%y24p将式代入上式整理化简可得:
1,所以2p2pk,b-2pk此时,直线AB的方程可表示为y=kx,2p,2pk即k(x,2p)_y-2p=0所以直线AB恒过定点-2p,2p.练习5:
(2013年高考陕西卷(理)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(I)求动圆圆心的轨迹C的方程;(n)已知点耳-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q若x轴是三PBQ的角平分线,证明直线I过定点【答案】解:
(I)A(4,0),设圆心CMN2222(x,y),MN线段的中点为E,由几何图像知ME,CA-CM-MEEC2(x-4)2y2=42x2_y2=&(n)点B(-1,0),22设P(xyjQMy2),由题知yxy,yy:
0”1Yx=8X2.【解】
(1)设p(x,y)代入|PCIIBCl=PBCB得.(x_1)2y2=1x,化简得y2=4x.(5分)将A(m,2)代入y2=4x得m=1,.点A的坐标为(1,2).设直线DE的方程为x=myt代入y2二4x,得y2-4mt-4t=0,设D(xpyj,E(x2,y2)则y1y2=4m,y1y2-4t,.:
=(-4m)216t.0(*)ADAE=(x1-1)(x2-1)(y1-2)(y22)=x1x2-(x1x2)1y12-2(y1y2)42222二牛-(牛弓)2-2(%y2)54444(y1y2)2(%y2)2-2力yy1y2-2(y1y2)516422二
(1)(4m)2(4t)(4t)2(4m)5=0化简得t26t5=4m28m1642222即t-6t9=4m8m4即卩(t-3)=4(m1).t-3二2(m1).t=2m5或t=-2m-1,代入(*)式检验均满足=:
0.直线DE的方程为x=m(y2)5或x=m(y-2),1.直线DE过定点(5,-2).(定点(1,2)不满足题意)即1,y“2=4y14y1y222y1y2.OMOP1-y1y5.44(II)设/POM=a则|OM|OP|cos:
-5.5-SROM,|OM|OP|sin,-5.由此可得tana=1.2又:
(0,二),=45,故向量OM与OP的夹角为45.2(川)设点Q(,y3)M、B、Q三点共线,4即令二今二卷,即心二亠444(y31)(y1y3)=y3-4,即y35w444-y”2=4,即y1,一y3乂y2y2y2_22,”T2.+y1y3y3-4yy3kBQ=kQM,011111111分4=0,第22题即4(y2y3)丫2丫34=0.(*)42.直线PQ的方程是y-y2(x-手)y2y342即(y-丫2)(丫2丫3)=4x-丫2即y(y2y?
)-丫2丫3=4x.由(*)式,-丫2丫3=4(y2y3)4,代入上式,得(y4)(y2y3)=4(X-1).由此可知直线PQ过定点E(1,-4).模型二:
切点弦恒过定点1ABM的面积的面积S|AB|d1方法点评:
切点弦的性质虽然可以当结论用,但是在正式的考试过程中直接不能直接引用,可以用本题的书写步骤替换之,大家注意过程。
方法总结:
什么是切点弦?
解题步骤有哪些?
参考:
PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程,XX文库参考:
“尼尔森数学第一季_3下”优酷视频拓展:
相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理,资料练习1:
(2013年广东省数学(理)卷)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F0,cc0至煩线3、2l:
x_y-2=0的距离为设P为直线I上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B所以2221yx-2y1=2y2y5=2y。
?
AFBF取得最小值,且最小值为练习2:
(2013年辽宁数学(理)如图,抛物线G:
x2=4y,C2:
x2-2pyp0,点MXo,yo在抛物线C2上,过M作Ci的切线,切点为RB(M为原点O时,A,B重合于O)=1-J,切线MA.的1斜率为-_.2I门町沟削糊线“护二令世也號刃曲旳线斜率为丿戲MA的鹤率为-丄.所以卫点坐标Ar(-J.丄).故切线MA問方禅为24t、1y匸+1)+.IM为枷M(1-720)伽线MA从抛物鐵G匕I上1f厂13-皿旳-y(2-V2)+=-(1-_厂:
li】设肌乳儿矶5十)利求壮.HlN为线段胆中点知山5小即AM.MI3的龙点WCx0旳)的屮标为:
*呻FHsy話血Q【即kJ=MI工+xz?
ribar也=.7lb3X72,就可以了,否则就不存在。
解:
设解:
设M(xi,yi),N(X2,y2),直线,直线AM的斜率为的斜率为ki,则直线则直线fy=匕匕(x2)22222消消y整理得整理得(14k;)x216k2x16k;-4=0x24y=422AiM的方程为y二ki(x2),由4k1八6,A和x1是方程的两个根,一2兀4则x1二鶯,y-力一屮x-%卷一捲4N的坐标代入,化简后得:
x=-t(忌。
)f2222是方程(14k1)x16k2x16k1-4=0的一个根,结合:
yp二二ki(t2),yp二二k2(t-2).=2,直线MN的方程为:
k1k2t令y=0,得x-xyxy,将点M、屮y4又tt2,02;椭圆的焦点为t故当t时,MN过椭圆的焦点。
3方法总结:
本题由点A(-2,0)的横坐标一韦达定理,得到点M的横纵坐标:
心需,匸豔;其实由总消y整理得(1+4k;)x216k2x+1衣4=0得到2x2-16k24,即x2=8k2_了,y4k22很快。
不过如1+4k21+4k21+4k22果看到:
将_2为二他_4中的k1用k2换下来,X1前的系数2用一2换下来,就得点N的坐标1+4K28k_-__4k这样真容易出错,但这样减少计算量。
(&,疋),如果在解题时,能看到这一点,计算量将减少,本题的关键是看到点P的双重身份:
点P即在直线AiM上也在直线A2N上,进而得到kl*=一2,由直k1+k2t线MN的方程得直线与x轴的交点,即横截距二旦匚理,将点MN的坐标代入,XXrX2_X0,y10,y20.设动点P满足PF2PB2=4,求点P的轨迹(其坐标与m无关)设x1=2,x2=3,求点T的坐标3解析:
问3与上题同。
18本小题主要考查求简单曲线的方程,等査直线与椭圆的方程等基础知识,考查运算求解能力解油
(1)设点则Y-HW,f=(x-3)3+/.由F尸-FF3=4,得+/-(x-3)J-/=4t化閒得“字故所求点P的轨迹为玄线x=-y.则点1心肛碱曲),(3,0).F(2,0).jA,
(2)由叭=2yy+=1及*涂瀋北=曲(匕郭:
赧而直线AM的方程为厂吕f.I性|J#=yy+y=121ni=醫(引+3)*g二赴陆+3豪因为代餌-儿则為出卅+39【25仙+3)存解得盂=砂二珈180+m2IP点Ng、力)满足*U3#3240-3m詞屛亠则由so+m程为菇过jgn(i.o).X=y(x,-3).5__-20e20+1旳=20+m33m1-60蛍钱MN的方40m80+m若J|护则m2/ior直线MD的斟率kMft士240-3械40-m80+m3“SOW严誓一=%,轉毗严%“所以直线MN过D点.伽-60_I40-m20+m?
因此*直线初V必过轴上的点(ito).练习2:
已知椭圆E中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、CI1,3三点.过I2丿椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线I与椭圆E交于M、N两点,AM与BN所在的直线交于点Q.
(1)求椭圆E的方程:
(2)是否存在这样直线m,使得点Q恒在直线m上移动?
若存在,求出直线m方程,若不存在,请说明理由解析:
(1)设椭圆方程为mx2,my2=1(m0,n0),3将A(-2,0)、B(2,0)、C(1-)代入椭圆E的方程,得24m=1,*9解得m+_n=1l4(也可设标准方程,11x2ym,n椭圆E的方程14343知a=2类似计分)
(2)可知:
将直线丨:
y=k(x-1)22代入椭圆E的方程-1并整理得(34k2)x2-8k2x4(k2-3)=043设直线I与椭圆E的交点M(为,比),N(X2,y2),由根系数的关系,得x1x22,x-ix=4(k3)3+4k直线AM的方程为:
y=也(x2),即y=为+2234k小2)由直线AM的方程为:
y二(x-2),即X?
-2由直线AM与直线BN的方程消去y,得2(x1x3x1+x2)22x1x3(x1+x2p4x2x=论3x2-4(x1x2)2x2-4c:
8(k23)24k2丄12.2-=Tt+4x2L34k234k28k2,丄_4+2冷23+4k23+4k2直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.模型四:
动圆过定点问题模型四:
动圆过定点问题x12七_)4k2+6+X23+4k2丿244k262x故这样的直线存在222例题1.已知椭圆c:
冷.占=1(ab.0)的离心率为,并且直线y二Xb是抛物线yab2条切线。
(I)求椭圆的方程;1(H)过点S(0,)的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:
在坐标平面上是否存在一个定点3以AB为直径的圆恒过点T?
若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由。
解:
(I)由二4x的一T,使得x-b2消去y得:
x(2b-4)xb=0y=4x因直线y=xb与抛物线y$=4x相切.-(2b-4)4b0.b=1c22.22a2-b2te,abc,2-a2aa2b轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
1_-,a=厲,故所求椭圆方程为221242X(y;)七)33y2=1.(II)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
x2y2-211,由/+(y+3)x2+y2=1=(4)23解得x=0y=1即两圆相切于点(0,1)因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1)当直线L垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点记点A(x1,y1)、B(X2,y2),贝卜.事实上,点T(0,1)就是所求的点,证明如下。
T(0,1)1若直线L不垂直于x轴,可设直线L:
y=kx-3ry=kx3222。
消去y得:
(18k+9)x_12kx_16=0+y2=1l.212kX1X22又因为TA=(Xiy-1),TB=(X2,y2-1),18k+9-16X1X2218k+944所以TATB=X1X2(y1T)(y2T)二乂风(kx1)(kx2)332416216412k16=(1k)x-|X2k(x-ix2)(1k)2k203918k2+9318k2+99TA丄TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1),故在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.方法总结:
圆过定点问题,可以先取特殊值或者极值,找出这个定点,再证明用直径所对圆周角为直角。
22JT例题2:
如图,已知椭圆C:
%召-1(ab0)的离心率是,A1,A2分别是椭圆C的左、右两个ab2n
(1)求椭圆C的方程以及点D的坐标;
(2)过点D作x轴的垂线n,再作直线丨:
y=kxm与椭圆C有且仅有一个公共点P,直线丨交直线n于点Q。
求证:
以线段PQ为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标。
解:
(1)A(-a,O),A2(a,0),F(c,O),设D(x,0),L+=2有+=2,x+axa11又FD=1,二xc=1仁x=c+1,于是+=2c+1+ac+1a=c1=(c1a)(c1-a),又;-a2.c1=(c1、2c)(c1-、2c)法2:
本题又解:
取极值,PQ与AD平行,易得与X轴相交于F(1,0)。
接下来用相似证明PF丄FQ设P(X0,y。
),易得PQ切线方程为x)x2y02;易得D(0,0)y。
设PH_FD1一XnPH=y;HF=1-x;DQ0;DF-1;y。
比=匹,固aphf相似于FDQ,易得.PFQ=90PHFD问题得证。
22练习:
(10广州二模文)已知椭圆G:
务芯-1(ab0)的右焦点F2与抛物线C2:
y2=4x的焦点重ab5合,椭圆G与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C33与y轴交于M,N两点,且|MN戶4.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)证明:
无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.2
(1)解法1:
抛物线C2:
y=4X的焦点坐标为(1,0),.点F2的坐标为(1,0).椭圆G的左焦点F1的坐标为斤(-1,0),抛物线C2的准线方程为X-1.设点P的坐标为(X1,y1),由5528抛物线的定义可知PF2=x+1,/PF2=,论+1=,解得捲=.由yj=4捲=,且y0,33332f22、22得yr=品.点P的坐标为1,J6I.在椭圆C1:
笃+爲=1(aaba0)中,、(3-1)2(3、6一0)2=4221.31333a2b2c=1.2a=|PF1|PF?
|=、(21)2(2.6-0)2V33.__2.a=2,b=,ac=3.椭圆C1的方程为4解法2:
抛物线C2:
y2=4x的焦点坐标为(1,0),点F2的坐标为(1,0).抛物线C2的准线方程为x=-1.设点P的坐标为(捲,yj,由抛物线的定义可知PF2=X11,.552282l-|PF2,X-1,解得x-i.由y14x-(,且y1、0得y16.3333322220)中,c=1.点P的坐标为(2,-;6).在椭圆G:
笃爲=1(ab33ab22xy1.43c=1,a?
=b?
亠c?
解得a=2,b=.3.椭圆G的方程为424+=19a29b2
(2)证法1:
设点T的坐标为(X0,y),圆Ca的半径为r,圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,IMN|=2、r2-爲=4.r=、;4x:
.222圆Cs的方程为(x-x)-(y-y。
)=4x0.12点T是抛物线C2:
y=4x上的动点,y=4x0(x0_0).x0yf.412x222把x4y0代入“消去X0整理得:
(1-2)y0-2yy(xy-4)=0.汀:
22点(2,0)在椭圆C1:
11上,无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆G上一定点2,0.43证法2:
设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r,t点T是抛物线C2:
y2=4x上的动点,y2=4x(x0_0).圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN1=4,IMN|=2、.r2-x2=4.r=4锐.222圆C3的方程为(X-X).(y-y。
)4x0.222令X0-0,则y=4x-0,得y=0.此时圆C3的方程为xy4.22XyFX-2,22由x2v2解得圆C3:
Xy=4与椭圆G的两个交点为2,0、-2,0.1,y=.43分别把点2,0、-2,0代入方程“进行检验,可知点2,0恒符合方程“,点-20不恒符合方程:
.无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点2,0.
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- 圆锥曲线 中的 定点 问题 模型