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数学建模论文
第六届华中地区大学生数学建模邀请赛
承诺书
我们仔细阅读了第六届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们的参赛报名号为:
参赛队员(签名):
队员1:
队员2:
队员3:
武汉工业与应用数学学会
第六届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会
第六届华中地区大学生数学建模邀请赛
编号专用页
选择的题号:
参赛的编号:
(以下内容参赛队伍不需要填写)
竞赛评阅编号:
第六届华中地区大学生数学建模邀请赛
题目:
飞行器空间坐标的修正
【摘要】
本文讨论的是飞行器的空间坐标修正问题,结合飞行器的导航原理,立足题中所给飞行器坐标的数据,建立了随机概率模型。
分别从X、Y、Z轴三个方向分析飞行器的误差,将复杂的综合问题分解开来求解。
首先,我们运用Matlab软件对各方面数据进行了相关性分析,结合经验归纳出X轴、Y轴坐标随时间符合线性关系,所以电子仪器的精度和噪声对X轴、Y轴坐标干扰可忽略;Z轴坐标值在一定值上下随机波动,可假设Z轴坐标近似呈余弦函数分布。
再线性拟合X轴、Y轴坐标,利用一阶差分和最小二乘非线性拟合对Z轴坐标分析,以此将飞行器坐标观测值的随机波动误差转化为确定性的函数关系。
其次,假设在短时间内飞行器的坐标误差是线性变化的,利用其坐标与速度的微分积分关系,以此来得到坐标的累积误差。
最后,为了提高飞行器的导航精度,我们利用得出的结果进行仿真,给出相应的修正方案。
关键词:
误差修正空间坐标拟合飞行器
问题的重述
飞行器的导航精度问题一直是航空航天领域研究的重要课题,惯性导航系统是一种不依赖于任何外部信息的自主式导航系统,在航空航天领域起着越来越重要的作用。
由于其系统结构误差、惯性测量部件误差、标度系数误差等因素的影响,惯性导航系统的积累误差随着时间的推移而逐渐增大,这一问题严重影响到航空航天技术的发展。
目前关于定位精度的研究成果主要是从物理技术(例如红外测距)方面来提高定位的精度,近年来,围绕定位坐标精度问题的相关研究也渐渐展开。
因此进一步研究飞行器空间坐标修正方法有重要的理论意义和应用价值。
因此,如何更好地提高这一精度显得尤为迫切。
模型的假设
(1)据原题所附的数据分析得,飞行器X、Y坐标值是随着时间线性变化的,Z坐标值随时间上下波动。
所以假设电子仪器和噪声对飞行器坐标观测值的干扰不存在,对Z坐标观测值的干扰符合余弦规律[1]。
(2)据原题所附的数据分析得,X、Y坐标值是随着时间线性变化的,Z坐标值随时间上下波动。
可假设飞行器在X坐标方向、Y坐标方向上作匀速直线运动,Z坐标方向上也作匀速直线运动。
(3)据题意,飞行器在长时间飞行中的积累误差是线性变化的;观测站坐标(0,0,0)不含误差。
符号规定
x(i)、y(i)、z(i):
分别为飞行器X轴、Y轴、Z轴的第i个坐标值;
t:
观测数据的时间间隔;
α:
飞行器的偏向角;
θ:
飞行器的俯仰角;
vx、vy、vz:
分别为飞行器在X轴、Y轴、Z轴方向上的速度;
dx、dy、dz:
分别为飞行器X轴、Y轴、Z轴坐标的累积误差;
tx、ty、tz:
分别为X轴、Y轴、Z轴坐标的相邻两数的后一项与前一项之差;
x(真)、y(真)、z(真):
分别为飞行器实际的X坐标、Y坐标、Z坐标;
kx、ky、kz:
单位时间内漂移的坐标误差常数。
模型的建立
将随机性问题转化为确定性问题
对于电子仪器和噪声对飞行器坐标测量的带来的随机波动误差,我们利用差分法对原始数据进行处理,找出规律,再用最小二乘法、数学软件对其进行处理,将其转化为确定性的非线性误差。
用X轴坐标的每两相邻值(x(i)、x(i+1))的后一项减去前一项得到40个差值:
tx(i)=x(i+1)-x(i),i=1,2,3…
同理,用Y轴坐标、Z轴坐标的每两相邻值的后一项减去前一项得到40个差值:
ty(i)=ty(i+1)-ty(i),i=1,2,3…40;
tz(i)=tz(i+1)-tz(i),i=1,2,3…40;
用Matlab对得到的数据画出相对应的tx(i)和t,ty(i)和t,tz(i)和t图形,再根据图形确定其拟合的方式。
最小二乘非线性拟合[2]:
对给定输入输出数列xdata,ydata求参量x,使得
Min1/2||F(x,xdata)-ydata||
=1/2
Matlab中的函数为
X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)
其中FUN是定义函数F(x,xdata)的M文件。
一次线性拟合:
直线y=at+b
对给定输入输出数列t,y求参量a,b,使得:
min
Matlab中的函数为
[ab]=polyfit(t,y,1)
模型的求解
问题1
用X轴坐标的每两相邻值(x(i)、x(i+1))的后一项减去前一项得到40个差值:
tx(i)=x(i+1)-x(i)=-9.750,i=1,2,3…
同理,求得
ty(i)=ty(i+1)-ty(i)-10.500,i=1,2,3…40;
tz(i)=tz(i+1)-tz(i),i=1,2,3…40;如下:
-0.13990.0028-0.0166-0.09040.2276-0.25200.3585-0.2387
-0.0442-0.09110.17940.03280.12740.0250-0.19300.2107
-0.15740.02000.1782-0.2011-0.04790.0728-0.29020.0780
0.2149-0.0680-0.0044-0.1409-0.0012-0.0320-0.04500.0057
0.3978-0.2302-0.04860.17340.1030-0.3385-0.02950.4407
其中tx为一定值,ty也为一定值,所以x与t,y与t呈线性关系,不存在随机波动误差,或者其随机波动误差可忽略不计;
对X坐标Y坐标分别与时间t进行一次线性拟合得:
x=1306.25-65.0t,y=1309.5-70.0t
由上数据可见z坐标值两相邻之差tz为随机值,观察得到其误差近似服从三角函数规律,如下图:
据前面的假设高度为一定值,所以Z坐标测量值也近似符合三角函数规律,用非线性拟合方法拟合坐标z和时间t得到:
z=0.0386*cos(6.6440*t)+510.2381
所以得到随机误差随时间变化为0.0386*cos(6.6440*t),Z坐标修正后为定值510.238。
(具体程序见后面附页)
问题2
由于观测数据的仪器误差,飞行器坐标在长时间的飞行中,坐标数据的观测值由于误差的累积发生漂移,跟据前题假设,其累积的漂移误差是随着时间线性变化的。
设:
x(真实)=x+k*t
代入问题1结果:
x(真实)=1360.25+(kx-65.0)*t
对时间微分:
vx=dx(真实)/dt=kx-65.0
(1)式
根据原题所给的速度数据,画出vx-t图、vy-t图、vz-t图观察可得vx、vy、vz都与时间t近似呈三角函数规律,如下图:
据前面的假设飞行器在X坐标方向、Y坐标方向、Z坐标方向上作匀速直线运动,用非线性拟合方法拟合坐标vx、vy、vz分别和时间t得到:
vx=0.0657*sin(6.2819*t)-65.6220
(2)式
vy=-0.0673*sin(7.8797*t)-70.6840(3)式
vz=0.0389*sin(6.0823*t)+0.6250(4)式
由
(1)式和
(2)式得:
kx-65.0=0.0657*sin(6.2819*t)-65.6220
kx=0.0657*sin(6.2819*t)-0.6220≈-0.622
同理,可得:
ky=-0.0673*sin(7.8797*t)-0.6840≈-0.6840
所以X坐标、Y坐标累积的漂移误差分别为-0.622t、-0.6840t.;
误差修正后x(真实)=1360.25-65.220;y(真实)=1309.5-70.6840。
设:
z(真实)=z+kz*t
对速度vz积分:
∫vzdz=0.625*t-0.0064co*cos(6.0823*t)+510.3520
据第1问结果可得:
z(真实)=0.0386*cos(6.6440*t)+510.2381+kz*t
由分析得:
∫vzdz≈z(真实)
0.625*t-0.0064*cos(6.0823*t)+510.3520≈0.0386*cos(6.6440*t)+510.2381+kz*t
(0.625-kz)*t=-0.1139+0.0386*cos(6.6440*t)+0.0064*cos(6.0823*t)
kz=0.625-(-0.1139+0.0386*cos(6.6440*t)+0.0064*cos(6.0823*t))/t
所以误差修正后z(真实)=510.3520+0.625*t
模拟分析
根据以上计算结果对飞行器进行模拟分析,以原题所给数据为参数可得到如下图
由以上图可得:
修正前后x-t、y-t图都线性的,但随时间变化X坐标值、Y坐标值误差逐渐增大,所以其误差主要来源于飞行器在长时间飞行中的积累误差;Z作标修正前后有较大差别,随时间变化坐标值误差逐渐增大且受电子仪器和噪声对飞行器坐标测量的带来的影响较大。
为了减小此飞行器的空间坐标测量误差,航速较大的X、Y方向主要应减小来源于飞行器在长时间飞行中的积累误差;航速较小的Z方向要减小飞行器在长时间飞行中的积累误差以及受电子仪器和噪声对坐标测量的带来的随机波动误差;此误差主要是因电子导航超声波单站测距带来的时间滞留以及电子仪器的精度和噪声干扰所引起的,可用速度更快、稳定性更好的激光测距以减小时间滞留带来的积累漂移及噪声的干扰,另外可开发生物芯片增强仪器的精度。
模型的评价及改进
模型的优点:
(1)本模型很好的体现了飞行器在长时间飞行中的积累误差以及受电子仪器和噪声对坐标测量的带来的随机波动误差;分别从X、Y、Z轴三个方向分析飞行器的误差,将复杂的综合问题分解开来求解。
(2)善于利用图形分析,得到各个方向上的误差规律,有针对性建立数学模型。
(3)模型中使用了线性模型,随机模型,使模型较为简单明了。
模型的缺点:
对相对积累误差较小的Z轴上的随机波动误差使用非线性模型后,将其简化为线性模型,在一定程度上使模型的精度有所降低。
没有利用好所给数据在理论上验证修正后空间坐标。
改进方向:
可以加强资料的搜集或考虑更多有关飞行器坐标测量误差的因素,以次来提高模型的精确度;并且可以在模型的论证和仿真方面进行改进,使得模型更加更为合理、更准确。
参考文献:
[1]侯宏录李宏,光电经纬仪测量飞行器三维坐标方法及误差分析,光电工程,29卷第3期,2002年6月。
[2]黄永安李文成高小科编著,Matlab7.0/Simulink6.0应用实例仿真与高效算法开发,北京清华大学学研大厦A座:
清华大学出版社,2008年6月第一版。
附页
原始数据:
x(m)
x方向坐标
y(m)
y方向坐标
h(m)
高度
vx(m/s)
x方向速度
vy(m/s)
y方向速度
vz(m/s)
z方向速度
1360.25
1309.5
510.2149607
65.71203004
70.73956777
-0.812188133
1350.5
1299
510.2121547
65.58371832
70.893991
-0.692034667
1340.75
1288.5
510.2149607
65.842584
70.85664341
-0.80888028
1331
1278
510.1983958
65.44935614
70.53093559
-0.61262966
1321.25
1267.5
510.1080095
65.73986398
70.46827657
-0.611442845
1311.5
1257
510.3356322
65.45338093
70.72687867
-0.747974657
1301.75
1246.5
510.0836268
65.78952586
70.75751854
-0.43440305
1292
1236
510.4421405
65.84546125
70.75751854
-0.603809599
1282.25
1225.5
510.2034774
65.49890491
70.56708153
-0.665666953
1272.5
1215
510.1592621
65.65001122
70.41527047
-0.789401121
1262.75
1204.5
510.0681463
65.70493332
70.63996107
-0.476828359
1253
1194
510.2475029
65.80274471
70.70883319
-0.628712183
1243.25
1183.5
510.2802798
65.51996601
70.70883319
-0.718854549
1233.5
1173
510.4076986
65.64495069
70.68836076
-0.544532286
1223.75
1162.5
510.4327193
65.75634724
70.84325597
-0.527395078
1214
1152
510.2397617
65.42980943
70.48396357
-0.572231206
1204.25
1141.5
510.4504262
65.43572273
70.65023581
-0.701085244
1194.5
1131
510.2929935
65.80907428
70.74098595
-0.63122458
1184.75
1120.5
510.3129799
65.47493272
70.66082492
-0.561235904
1175
1110
510.4911516
65.88648728
70.80877355
-0.487937208
1165.25
1099.5
510.2900452
65.62689885
70.72980263
-0.570562304
1155.5
1089
510.2421483
65.44173491
70.72449575
-0.521424799
1145.75
1078.5
510.3149417
65.5954689
70.61619575
-0.494330988
1136
1068
510.0247663
65.43023559
70.4665855
-0.741681622
1126.25
1057.5
510.1027471
65.60839973
70.81568987
-0.723808815
1116.5
1047
510.317599
65.54599204
70.59962889
-0.504467461
1106.75
1036.5
510.249558
65.89203186
70.72842995
-0.70365197
1097
1026
510.2451786
65.58620487
70.61582559
-0.785142757
1087.25
1015.5
510.1042307
65.56974671
70.4835842
-0.820964576
1077.5
1005
510.1029878
65.4263385
70.4990592
-0.691124582
1067.75
994.5
510.0710206
65.61141781
70.87581523
-0.559037038
1058
984
510.0260389
65.60887205
70.76892905
-0.639731612
1048.25
973.5
510.0317023
65.75054938
70.67393545
-0.671942967
1038.5
963
510.4294694
65.74905276
70.89152623
-0.509338316
1028.75
952.5
510.1992947
65.4640072
70.73316943
-0.602289998
1019
942
510.150653
65.41630041
70.73326396
-0.71394819
1009.25
931.5
510.3240992
65.73458765
70.8995402
-0.496014175
999.5
921
510.42705
65.63036297
70.89081898
-0.662702202
989.75
910.5
510.0885538
65.8277614
70.72238227
-0.596728181
980
900
510.0590776
65.49546185
70.6141265
-0.573856336
970.25
889.5
510.4997458
65.46030581
70.69475374
-0.422227046
相关程序:
问题1
%y-t一次线性拟合
>>Polyfit(t,y,1)
ans=1.0e+03*
-0.07001.3095
%x-t一次线性拟合
>>Polyfit(t,x,1)
ans=1.0e+03*
-0.06501.3603
%z-t非线性拟合
函数定义:
functionf=curf(x,t);
t=[0:
0.15:
6]’;load(‘x.mat’);
f=x
(1)*cos(x
(2)*t)+x(3);%x
(1)=a;x
(2)=b;x(3)=c
函数拟合:
x0=[0.15,2.5*pi,510.250];x=lsqcurvefit(@curf,x0,t,x)
>>x
(1)=0.0386,x
(2)=6.6440,x(3)=510.2381
%画tz-t图
Plot(t,tz)
问题2
函数定义:
functionf=curf1(x1,t);
f=x1
(1)*sin(x1
(2)*t)+x1(3);%x1
(1)=a;x1
(2)=b;x1(3)=c
functionf=curf2(x2,t);
f=x2
(1)*sin(x2
(2)*t)+x2(3);%x2
(1)=a;x2
(2)=b;x2(3)=c
functionf=curf3(x3,t);
f=x3
(1)*sin(x3
(2)*t)+x3(3);%x3
(1)=a;x3
(2)=b;x3(3)=c
函数拟合:
clearall
t=[0:
0.15:
6]’;load(‘vx.mat’);load(‘vy.mat’);load(‘vz.mat’);
x01=[0.15,2*pi,65.6862];
x02=[0.15,2.5*pi,70.6862];
x03=[0.15,2*pi,-0.6252];
x1=lsqcurvefit(@curf1,x01,t,vx)
x2=lsqcurvefit(@curf2,x02,t,vy)
x3=lsqcurvefit(@curf3,x03,t,vz)
>>x1
(1)=0.0657,x1
(2)=6.2819,x1(3)=-65.6220
x2
(1)=-0.0673,x
(2)=7.8797,x(3)=-70.6840
x3
(1)=0.0389,x3
(2)=6.0823,x3(3)=0.6250
画图程序:
t=0:
0.15:
6;
subplot(3,1,1);
plot(t,-0.0657*sin(6.2819*t)+65.6222,'r',t,vx)
title('vx_t');xlabel('t');ylabel('vx');
subplot(3,1,2);
plot(t,0.0673*sin(7.8797*t)+70.6840,'r',t,vy)
title('vy_t');xlabel('t');ylabel('vy');
subplot(3,1,3);
plot(t,-0.0389*sin(6.0823*t)-0.6250,'r',t,vz)
title('vz_t');xlabel('t');ylabel('vz');
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