高中数学 第二章 平面向量 22 平面向量的线性运算 221 向量加法运算及其几何意义课后集训.docx
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高中数学第二章平面向量2_2平面向量的线性运算2_2_1向量加法运算及其几何意义课后集训
2.2.1向量加法运算及其几何意义
课后集训
基础达标
1.在四边形ABCD中,++等于()
A.B.C.D.
解析:
CB+AD+BA=(CB+BA)+AD=CA+AD=CD,故选C.
答案:
C
2.在△ABC中,必有++等于()
A.0
B.0
C.任一向量
D.与三角形形状有关解析:
++=+=0.故应选B.
答案:
B
3.如右图,在△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,则+()
A.FD
B.FC
C.FE
D.BE
解析:
由于D、E、F分别是△ABC三边的中点,
∴AF=DE则AF+BD=BD+DE=BE,故应选D.
答案:
D
4.已知正方形ABCD的边长为1(如右图),=a,=c,=b,则|a+b+c|等于()
2
A.0
B.3
C.2
D.2
解析:
如右图所示,a+b=c,
2.
∴|a+b+c|=2|c|=2
∴应选D.
答案:
D
5.如右图所示,O是四边形ABCD对角线的交点,若a+d=c+b则四边形ABCD形状为()
A.等腰梯形
B.菱形
C.平行四边形
D.矩形
解析:
c+b=,a+d=d+a=
∴=.∴ABCD为平行四边形.
答案:
C
6.
(1)++=_______________;
(2)+++=_______________;
(3)(+)+=_______________;
(4)(AB+CB)+BD+DC=_______________.
解析:
(1)CD+BC+AB=CD+(AB+BC)=CD+AC=AC+CD=AD.
(2)+++=+=.
(3)(+)+=++=+(+)=+=0.
(4)(+)++=(+)++=+=.
答案:
(1)AD
(2)AB(3)0(4)AB
综合运用
7.下列各式中不能化简为的是()
A.(AB+CD)+BC
B.(AD+MB)+(BC+CM)
C.MB+AD+MB
D.OC+AO+CD
答案:
C
8.向量a、b满足|a|=6,|b|=10,则|a+b|的最大值是_____________,最小值是_____________.
解析:
当a、b不共线时,如右图,作AB=a,BC=b,则AC=a+b.由向量加法的几何意义知|a+b|<|a|+|b|=16.
当a、b共线同向时,如下图,作AB=a,BC=b,则AC=a+b,由向量加法的几何意义可知|AC|=|a+b|=|a|+|b|=16.
当a、b共线反向时:
如下图所示,作AB=a,BC=b,则AC=a+b由向量加法的几何意义可知|a+b|=|b|-|a|=10-6=4,∴|a+b|的最大值为16,最小值为4.
答案:
164
9.某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北30°方向位移50m到达点C,又从点C向北偏西60°方向位移30m到达点D,选用适当的比例尺作图,求点D相对于点A的位置.
解:
如右图,构造了三个直角三角形:
△CFB,△CED和△DMA.
在Rt△CFB中,|CF|=50×sin30°=25,||=50×cos30°=325.
在Rt△CED中,||=30×cos30°=315,||=30×sin30°=15.∴|DM|=|DE|+|EM|=15+25=40.|BM|=|BF|-|MF|=|BF|-|EC|=310315325=-.
∴在Rt△DMA中,||=40,||=60+310.∴||=22)31060(40++≈87.||AM3106040+≈0.5173.
由计算器计算得∠DAM=27°18′.
∴D在A点东偏北27°18′且距A87米处.
拓展探究
10.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地东偏北30°的方向处,且A、C两地相距300km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B、C间的距离.
300(km).解:
如右图,=+,∠BAC=90°,||=||=300,所以||=2
又因为∠ABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南15°的方向处.
300km.
答:
飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°,B、C两地间的距离为2
备选习题
11.
(1)若a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则a的方向与b的方向必定___________.
(2)向量a与向量b反向,则a+b与a的方向是___________.
(3)向量a、b满足关系式a+b=b,则a=___________,|a+b|=___________.
答案:
(1)相同
(2)同向或反向(3)0|b|
12.设a表示“向东走了2s千米”,b表示“向南走了2s千米”,c表示向西走了2s千米,d表示向北走了2s千米,则
(1)a+d表示向____________方向走了____________千米.
(2)b+c表示向____________方向走了____________千米.
(3)a+c+d表示向____________方向走了____________千米.
(4)b+c+d表示向____________方向走了____________千米.
答案:
(1)东北22s
(2)西南22s(3)北2s(4)西2s
13.如图1所示,已知O是线段AB的中点,M是平面上任意一点,试证明MA+MB=MO+MO.
图1图2
MM=MA+MB.证法1:
如图2,过A、B分别作MB、MA的平行线交于M′易知MO+MO='
证法2:
因为MO=MB+BO,MO=MA+AO,而AO+BO=0,所以易得+=+.
14.如下图甲所示,在重300N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°、60°,求当整个系统处于平衡状态时,两根绳子拉力的大小.
解:
如上图乙所示,作出OACB的图形,使∠AOC=30°,∠BOC=60°,在△OAC中,
∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.|OA|=|OC|·cos30°=2
3×300=3150N,AC=|OC|sin30°=21×300=150N,|OB|=|AC|=150N.
则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是3150N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.
15.已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力F1=24N;绳BO与墙壁垂直,所受拉力F2=12N.求F1和F2的合力.
解:
如右图,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F=F1+F2=OC.
在△OCA中,|F1|=24,||=12,∠OAC=60°,
∴△OAC为直角三角形.∴|OC|=24×sin60°=24×3122
3.∴F1与F2的合力为312N与F2成90°角竖直向上.
16.如图
(1)
(2),一条河的两岸平行,河的宽度d=500m.一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到0.1min)?
图
(1)图
(2)解:
|v|=96||||2221=-vvkm/h,∴t=96
5.0||=vd×60≈3.1min.答:
行驶航程最短时,所用时间是3.1min.
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