高中数学算法知识点高中数学知识点总结.docx
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高中数学算法知识点高中数学知识点总结
高中数学算法知识点高中数学知识点总结
:
高中数学必修3知识点总结:
第一章算法初步
高中数学必修3知识点总结
第一章算法初步
1.1.1
算法的概念
1、算法概念:
在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点:
(1)有限性:
一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.
(2)确定性:
算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性:
算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.(4)不唯一性:
求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性:
很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
1.1.2程序框图
1、程序框图基本概念:
(一)程序构图的概念:
程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:
表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用
学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:
1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)、算法的三种基本逻辑结构:
顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构:
顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤。
如在示意图中,A框和B框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执行B框所指定的操作。
2、条件结构:
条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。
无论P条件是否成立,只能执行A框或B框之一,不可能同时执行A框和
B框,也不可能A框、B框都不执行。
一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构:
在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:
(1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P成立时,执行A框,A框执行完毕后,再判断条件P是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次条件P不成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
(2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件P是否成立,如果P仍然不成立,则继续执行A框,直到某一次给定的条件P成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
当直到型循环结构
构要在某个条件
允许注意:
1循环结
果。
计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。
1.2.1输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
(1)输入语句的一般格式
(2)输入
语句的作用是实现
算法的输入信息功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;(4)输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式;(5)提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。
2、输出语句
(1)输出语句的一般格式
输
(2)出语
句的作用是实现算法的输出结果功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式是指程序要输出的数据;(4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
3、赋值语句
(1)赋值语句的一般格式
(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;(3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。
赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;(4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式;(5)对于一个变量可以多次赋值。
注意:
①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。
如:
2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。
如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。
(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
1.2.2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种:
(1)IF—THEN—ELSE语句;
(2)IF—THEN语句。
2、IF—THEN—ELSE语句IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。
_高中数学算法知识点。
图1图2
分析:
在IF—THEN—ELSE语句中,“条件”表示判断的条件,“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;ENDIF表示条件语句的结束。
计算机在执行时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,则执行THEN后面的语句1;若条件不符合,则执行ELSE后面的语句2。
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。
注意:
“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时执行的操作若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。
序;END
IF表示条件语句的结束。
计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合就执行THEN后边的语句,
1.2.3循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。
对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。
即
WHILE语句和UNTIL语句。
1、WHILE语句
(1)WHILE语句的一般格式是
(2)当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE与WEND之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。
这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句。
因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。
2、UNTIL语句
(1)UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是
(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从UNTIL
条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
分析:
当型循环与直到型循环的区别:
(先由学生讨论再归纳)
(1)当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;
在WHILE语句中,是当条件满足时执行循环体,在UNTIL语句中,是当条件不满足时执行循环
1.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。
也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
(1):
用较大的数m除以较小的数n得到一个商则用除数n除以余数除以余数
RRS0和一个余数R0;
(2):
若0=0,则n为m,n的最大公约数;若0≠0,
R0得到一个商S1和一个余数R1;RRRR(3):
若1=0,则1为m,n的最大公约数;若1≠0,则用除数0
R1得到一个商S2和一个余数R2;„„依次计算直至Rn=0,此时所得到的Rn-1即为所求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。
在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:
可半者半之,不可半者,副置分母-子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
翻译为:
(1):
任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。
若是,用2约简;若不是,执行第二步。
(2):
以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。
继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
例2用更相减损术求98与63的最大公约数.分析:
(略)
3、辗转相除法与更相减损术的区别:
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到_高中数学算法知识点。
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念:
f(x)=anx+an-1x+。
.+a1x+a0求值问题
f(x)=anx+an-1x+。
.+a1x+a0=(anx+an-1x+。
.+a1)x+a0=((anx+an-1x+。
.+a2)x+a1)x+a0
=.=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
n
n-1
n-1
n-2
n-2
n-3
n
n-1
求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0
:
高中数学算法初步知识点与题型总结
第十一章算法初步与框图
※知识回顾
12.3.4.5.“前一步”是“后一步”的前提,“后一步”是“前一步”的继续;③有限性:
算法必须在有限步内完成任务,不能无限制的持续进行;④通用性:
算法应能解决某一类问题.※典例精析
例1.如图所示是一个算法的程序框图,则该程序框图所表示的功能是
解析:
首先要理解各程序框的含义,输入a,b,c三个数之后,接着判断a,b的大小,若b小,则把b赋给a,否则执行下一步,即判断a与c的大小,若c小,则把c赋给a,否则执行下一步,这样输出的a是a,b,c三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求a,b,c三个数中的最小值.
评注:
求a,b,c三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示.例2.下列程序框图表示的算法功能是()
(1)计算小于100的奇数的连乘积
(2)计算从1开始的连续奇数的连乘积
(3)计算从1开始的连续奇数的连乘积,当乘积大于100时,计算奇数的个数(4)计算1×3×5__n³100成立时n的最小值
解析:
为了正确地理解程序框图表示的算法,可以将执行过程分解,分析每一步执行的结果.可以看出程序框图中含有当型的循环结构,故分析每一次循环的情况,列表如下:
第一次:
S=1´3,i=5;
第二次:
S
=1´3´5,i=7;
第三次:
S=1´3´5´7,i=9,此时S<100不成立,输出结果是7,程序框图表示的算法功能是求使1×3×5__n³100成立时n的最小值.选D.
评注:
通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的,这正是程序运行的本质所在.本题若要求编写求使
1×3×5__n³100成立时n的最小值的程序框图或程序时,很容易弄错输出的结果,应注意.
例3.在音乐唱片超市里,每张唱片售价为25元,顾客如果购买5张以上(含5张)唱片,则按九折收费,如果购买10张以上(含10张)唱片,则按八折收费,请设计算法步骤并画出程序框图,要求输入张数x,输出实际收费y(元).
ì25x(x<5)ï
分析:
先写出y与x之间的函数关系式,有y=í22.5x(5£x<10),再利用条件结构画程序框图.
ï20x(x³10)î
解:
算法步骤如下:
第一步,输入购买的张数第二步,判断
x是否小于5,若是,计算y
=25x;
否则,判断x是否小于10,若是,计算y=22.5x;否则,计算
y=20x.
第三步,输出
x,
y.
程序框图如下:
评注:
凡必须先根据条件做出判断,然后再决定进行哪一个步骤的问题,在画程序框图时,必须引入判断框,采用条件结构设计算法.如果变量分三级(或以上)时,就需要用到条件结构的嵌套,不能忽视结果中
“是”、“否”的书写,否则不知道执行哪一条路径.一般地,分n段的分段函数,需要引入n-1个
判断框
.
条件结构有以下两种基本类型.
例4.画出求1+
11++2232
+
__
的值的程序框图.
分析:
这是一个有规律的数列求和问题,每次都进行了相同的运算,故应用循环结构进行算法设计.否解:
程序框图如下:
(1)当型循环
(2)直到型循环
评注:
(1)解题关键是选择好计数变量i和累加变量S的初始值,并写出用i表示的数列的通项公式是;
(2)循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和,累乘求积等问题.在循环结构中,要注意根据条件,设计合理的计数变量、累加(积)变量以及它们的初始值等,特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确,以免出现多一次或少一次循环.(3)循环结构分为两类:
一类是当型循环结构,如下左图所示;另一类是直到型循环结构,如下右图所示.
变式训练画出求1+
11++4272
+
__
的值的程序框图.
解:
程序框图如下:
例5.某工厂2005年的生产总值为200万元,技术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年增长5%.设计一个程序框图,
输出预期年生产总值超过300万元的最早年份及2005年到此年份之前(不包此年份)的年生产总值的和.
分析:
本例可用循环结构来实现.
(1)确定“循环体”:
设a为某年的年生产总值,n为年份,S为年产值的总和,则循环体为
(2)初始化变量:
n的初始值为2005,a的初始值为200,S的初始值为0.(3)设定循环控制条件:
a解:
程序框图如下:
>300
S=S+a,a=a+0.05a,n=n+1.
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