k第十一章正交设计与均匀设计.docx
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k第十一章正交设计与均匀设计
14中查到。
第^一章正交设计与均匀设计
(于培彦编)
在方差分析一章中,我们介绍了在单因素和双因素的各水平中“选优”的方法,但在科研、生产、管理中,经常遇到的因素更多,如何在多因素多水平中选择最佳水平组合?
正交设计和均匀设计就是解决这个问题的有力工具。
§11.1正交试验设计
设想一个3因素每因素3水平的求最优水平组合问题,总共有33=27个水平组合(处理),如果每个处理只重复2次,则需要进行54次试验,正交设计可以用较少的试验次数(小区数)找到
最优水平组合。
正交设计是利用正交表安排试验的一种设计方法,正交表用
个因素有3个水平的试验。
列号1、2、
3、4是因素的代号,列号下面的1、2、3是该因素的水平代号(如右表)。
当然,无论是因素代号还是水平代号,与实际因素和水平都应随机对应,正交表可以在附表
正交表有两个性质:
⑴每列中每个水平出现的次数相等,例如上表第2列中1、2、3各出现3次;⑵任意两列同一行的有序数对出现次数相等,例如上表第1、2列中(1,1)只出现一次,
其它有序数对也只出现一次,在表L18(37)第1、2列中(1,1)
出现两次,其它有序数对也只出现两次。
这两个性质称为均匀分散性和整齐可比性,均匀分散性使选
出的水平组合代表性强,整齐可比性则便于试验数据的统计分析。
1.不考虑交互作用的正交设计及分析
例1某厂用车床对车轴进行粗加工,为提高工效,对转速、走刀量和吃刀深度进行正交试验,各因素及其水平如下表:
水平\因素
A
B
C
转速(转/分)
走刀量(mm转)
吃刀深度(mm)
1
480
0.33
2.5
2
600
0.20
1.7
3
765
0.15
2.0
试验指标为工时,越短越好。
第一步:
选择合适的正交表。
本例每因素是三水平,在正交表中查m=3里的表,又因为本例是三因素,且不考虑交互作用,
故选用正交表L9(34)。
第二步:
表头设计。
将1、2、3、4列用抓阄的办法对应三个因素A、B、C,假定第一列是A因素,第二列是B因素,第三列是C因素,第四列空置。
然后将每一列中的1、2、3再用抓阄
的办法对应三个水平,假定就是上表中的1、2、3,即第一列中
的三个1都表示480转/分,三个2都表示600转/分,三个3都表示765转/分;第二列中的三个1都表示0.33mm/转,,。
第三步:
按表中试验号(横着看)所指示的水平组合进行试验,试验号1所指示的水平组合是1,1,1,即用转速480,走刀量0.33,吃刀深度2.5进行试验,试验结果是88秒,如此共进行9次试验,假定试验结果依次是88秒,145秒,194秒,70秒,117秒,155秒,57秒,93秒,123秒。
整个试验设计及结果如下表所示。
机械加工正交试验设计与结果
试验号
转速
走刀量
吃刀深度
空
工时
1
2
3
4
秒
1
1(480)
1(0.33)
1(2.5)
1
88
2
1(480)
2(0.20)
2(1.7)
2
145
3
1(480)
3(0.15)
3(2.0)
3
194
4
2(600)
1(0.33)
21.7)
3
70
5
2(600)
2(0.20)
3(2.0)
1
117
6
2(600)
3(0.15)
1(2.5)
2
155
7
3(785)
1(0.33)
3(2.0)
2
57
8
3(785)
2(0.20)
1(2.5)
3
93
9
3(785)
3(0.15)
21.7)
1
123
T1
427
215
336
328
丁2
342
355
338
357
T=1042
T3
273
472
368
357
X:
142.3
71.7
112
x
114
118.3
112.7
X=115.8
X3
91
157.3
122.7
极差D
51.3
85.6
10.7
按设计共进行9次试验,“工时”填在最后一拦。
表中的T1是1号水平的工时之和,例如转速的t=88+145+194=427,X1=
427/3=142.3,极差D1=142.3—91=51.3,其余类推。
结果分析:
⑴直观分析法。
由于d2d1d3,说明“走刀量”各水平引起的工时变化最大,“吃刀深度”最小,因此影响工时的最强烈的因素是“走刀量”,其次是“转速”,最后是“吃刀深度”,当然,这是相对而言的结论。
另一方面,转速的t3最小,
说明785的转速所用工时在三个转速里最小;走刀量的T1最小,
说明0.33的走刀量所用工时在三个走刀量里最小;吃刀深度的t
最小,说明2.5的吃刀深度所用工时在三个吃刀深度里最小,综合起来最优水平组合应当是785转速,0.33走刀量,2.5吃刀深度
是最佳水平组合。
注意,这个组合在表中9个试验组合中并未出现。
上述分析还可用一个折线图直观的表示出来。
⑵方差分析法
Ho:
转速之间无显著差异;走刀量之间无显著差异;吃刀深度之间无显著差异。
22
T1042
C120640.44
n9
2
SS总=11Xj—c=15405.56
i
1222
SS速=一(427-342-273)-c=3966.89
速3
1
SS吃刀深度二(33623382-3682)-C二214.22
SS误差=SS总-SS转速-SS走刀量-SS吃刀深度=186.89
误差总转速走刀量吃刀深度
f误差=8—2「2-2=2
3966.89/2
F转速=21.23
186.89/2
11037.56/2
F走刀量=59.06
186.89/2
214.22/2
F吃刀深度=1.15,Fo.o5(2,2)=19.°0
186.89/2
在0.05水平上,三个转速之间有显著差异,三个走刀量之间
也有显著差异,三个吃刀深度之间无显著差异。
用新复极差法(SSR法)作多重比较(对转速和走刀量),用标记
字母法表示比较结果。
标准误
Se/n=J86.89/3=5.58
秩次距
SSR05
SS跖
LS0?
05
LSR01
2
2.615
3.945
16.27
22.01
3
3.065
4.125
17.1
23.02
结论:
三个转速之间有极显著差异,三个走刀量之间有极显著差异,三个吃刀深度之间无显著差异,在最佳水平组合是785转速,0.33走刀量,吃刀深度可以是三个中的任一个。
在计算过程中F走刀量F速度F吃刀深度,所以影响工时的因素次序是走刀量、转速、吃刀深度。
如果我们将表中空列计算其离差平方和,得
1222
C=186.89
SS空=-(328+357+3572空3
它恰好等于剩余平方和SS误差,这不是巧合,而是正交设计的一个性质。
2.存在交互作用的正交设计
正交设计是解决多因子试验的一种方案,多因子试验的特点就是可能存在交互作用。
在存在交互作用的情况时,首先要把所有交互作用通过专业知识和经验筛选一遍,只保留可能有的交互作用。
例如A、B、C三因子试验,所有交互作用有AXB、AXC、BXC及AXBXC,一般高级交互作用AXBXC都不考虑,通过专业知识和经验假定只保留AXB,这时把主因子A、B、C和交互作用AXB共四个因子一起考虑来设计表头,设计表头时交互作用排在那一列必须根据正交表中的提示。
例2研究某种经济林在品种、密度、施肥量及施肥日期4个因素对年产量的影响,每一因素取两水平如下表所示。
因素
品种A
密度B
施肥量C
施肥日期D
水
1
甲
2X2
20kg/亩
5月15日
平
2
乙
2X2
30kg/亩
6月15日
根据经验已知交互作用AXB、AXC应考虑,其它交互作
用可不考虑。
4个主因子及两个交互作用共占6列,故正交表至
少要有6列,查正交表知l8(27)满足需要。
先把A、B安排在1、2列上,由l8
(2)的交互作用表知1、2列的交互作用在第3列,
所以把AXB排在第3列,将C排在第4列,查1、4列的交互作用在第5列,所以把AXC排在第5列,D可排在第6或第7列上,我们把它排在第7列上。
具此就可以实际操作了,试验指标为年产量(kg/年),结果如下表所示。
品种A
密度B
AXB
施肥量C
AXC
空
日期D
产量
1
1
1
1
1
1
1
1
790
2
1
1
1
2
2
2
2
956
3
1
2
2
1
1
2
2
900
4
1
2
2
2
2
1
1
899
5
2
1
2
1
2
1
2
860
6
2
1
2
2
1
2
2
780
7
2
2
1
1
2
2
1
838
8
2
2
1
2
1
1
2
750
T1
3545
3386
3334
3388
3220
3299
3307
T=6773
T2
3228
3387
3439
3385
3553
3474
3466
极差
317
1
105
3
333
175
159
从极差大小看,影响产量的因素主次顺序是AXC,A,D,
AXB,C,Bo在分析最佳水平组合时,由于AXC是第一要素,
所以要列出A与C的两向表(见下表),在A与C的两向表中,最高产量是A与c2产生的,所以最佳水平组合中有A与C2;在A与B两向表中,最高产量是人与b2产生的,所以最佳水平组合中应有B2;D因素的T2大,取C2,综合之,最佳水平组合是a1b2c2d2。
事实上由于空列的极差反映剩余因素的变异,而表中B,AXB,C,D的极差都小于空列极差,所以可以肯定它们都是不显著的,因为较小的密度和施肥量成本较低,所以在最佳水平组合中可取Bi和Ci而施肥日期D的水平取舍可按其它标准决定。
A与C勺两向表
A与B的两向表
A1
A2
A1
A2
C1
(790+900)/2=84
5860+838)/2=849
B1(790+956)/2=82
3860+780)/2=820
C2
(856+899)/2=92
8780+750)/2=765
B2(900+899)/2=90
0838+750)/2=794
进一步可作方差分析,结果如下表所示。
例2方差分析表
变异来源
ss
f
MS
F
AXC
13861.1
1
13861.1
10.86
A
12561.1
1
12561.1
9.84
D
3160.1
1
3160.1
0.25
AXB
1378.1
1
1378.1
1.08
C
1.125
B
0.125\=
3829.35
,f=3
空
3828.1J
总和
34789.875
7
67732
二13861.2
其中的
SSac二1(3220235532)
4
等等。
3.水平数不等的试验
当遇到各因素水平数不等的情况时,可选用水平数不等的正交表,例如L8(4124),这个表可以安排一个因素4水平,四个
因素2水平的试验。
如没有现成的表可用,则可采用“拟水平”法,所谓拟水平,是指将较少水平的因素增加一个水平,增加的水平是原有水平中的某一个,以达到所有因素水平数相等的目的。
§11.2均匀试验设计
在正交表中,试验次数n是水平数m的平方的整数倍,当m增加时,n将急剧增加,试验次数的增加,不但提高了试验成本,有时还使得试验无法进行。
对于m很大的试验,均匀设计是一种很好的试验设计方案。
同正交设计一样,均匀设计用“均匀设计
表”安排试验。
均匀设计表用Un(nk)和U:
(nk)表示,其中的n既
是水平数又是试验次数,k是最多可容纳的因素数,带“•”和不带“’”表示不同类型的均匀表,带“’”的表有更好的均匀性,
应优先选用。
每一个均匀设计表由设计表和使用表组成,例如
U7(74)和U;(74)的设计表,使用表如下:
在设计表中,第1列的1~7表示试验序号,第2行的1,2,3,4
表示因素代号,表内的1~7是水平代号。
在使用表中,D是均匀
偏差度,应选择较小的偏差度。
k下面的2,3,4是实际的参试
因素,如果有4个参试因素,只能用u7(74)表,把4个因素安排在4列,第1次试验按表中的(1,2,3,6)水平组合进行,第2次试验按表中的(2,4,6,5)进行,”。
如果有3个参
试因素,则应选择U7(74),因为它的D=0.2132较小,把3个参
试因素安排在U;(74)中的2,3,4列,第1次试验按(3,5,7)水平组合进行,第2次试验按(6,2,6)水平组合进行,”。
例3在啤酒生产的某项试验中,选择了如下的因素和水平。
因素水平
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1底水量(克;
136.5
137
137.5
138
138.5
139
139.5
i140
140.5
X2吸氨时间(分
)170
180
190
200
210
220
230
240
250
解:
选用U9(93)来安排(在附表16中),由它的使用表应选
1,3两列,试验结果Y是吸氨量(克)列于下表
啤酒生产均匀设计试验方案与结果
X1
X2
Y
(1)136.5
⑷200
5.8
(2)137.0
(8)240
6.3
(3)137.5
(3)190
4.9
(4)138.0
⑺230
5.4
(5)138.5
(2)160
4.0
(6)139.0
(6)220
4.5
(7)139.5
(1)170
3.0
(8)140.0
(5)210
3.6
(9)140.5
(9)250
4.1
均匀设计由于每个因素的水平都没有重复,所以不能用正交
设计中的极差分析和方差分析,需要使用回归分析,建立y与x1、
x2的线性回归方程,经Excel计算结果如下:
系数
标准误差
t检验
概率P直
下限95.0
%上限95.0%
)
常数
X1
X2
96.421
-0.691
0.019
5.48509'
0.03975
0.00177
M7.578'
-17.389
10.699'
218E-06
2.32E-06
393E-05
82.99912
,-0.78849!
0.014616
5109.84224'
-0.5939692
70.02328429
7
1
)5
方差分析
df
SS
MS
F
概率P值
回归
2
9.094478
4.54724
193.3937
3.564E-06
残差
6
0.141077
0.02351
总计
8
9.235556
结论:
⑴底水量x1对吸氨量y有极显著的负作用,底水量愈少,吸氨量愈高,底水量每减少1克,吸氨量约增加0.691克;⑵吸氨时间x2对吸氨量y有极显著的正作用,吸氨时间愈长,吸氨量愈高,吸氨时间每增加1分钟,吸氨量约增加0.019克;⑶
回归方程为:
?
=96.421-0.691x10.019x2,经方差分析,方程是极显著的,MSe=0.02351很小,可以用方程作预报。
⑷在前面的试验方案及结果表中可知吸氨量最高的是第2次试验,所以137
克的底水,240分钟的时间是比较好的水平组合。
如果回归方程不显著,说明y与x1,x2的关系不是线性,这
时应建立如下的多项式回归方程:
22
5?
=b0'b1x1'b2x2'bnx1'b22x2'b12x,x2
其中的X1X2是交互作用项,然后用逐步回归筛选出作用显著的项。
习题十
1.合成氨最佳工艺条件试验。
根据已积累的经验决定选取的因素与水平如下表所示:
水平因素
A
反应温度「C)
B
反应压力
C
催化剂
1
460
250
甲
2
490
270
乙
3
520
300
丙
假定各因素之间无交互作用,试验的目的是提高氨的产量,选择正交表
L9(34),表中列号1,2,3对应因素A,B,C;水平号对应上表里的1,2,
3九次试验的产量依次为1.72,1.82,1.80,1.92,1.83,1.98,1.59,1.60,
1.80。
试找岀最佳水平组合,并指岀影响产量的主要因素是什么。
2.考虑A、B、C、D四个因素,每个因素二水平及交互作用BXC,AXB,
BXD,试在正交表L8(27)上进行表头设计。
3.为了探讨高频电场处理种子后所产生的生物效应,设计了以下实验。
水平因素
时间A
品种B
场强C
频率D
1
40"
津丰1号
甲
14兆赫
2
80"
东方红3号
乙
16兆赫
3
120"
7323
丙
18兆赫
根据以往经验,B和A,C,D之间可能存在交互作用,其它各因素间的交互作用可不考虑。
采用L27(313)表安排试验,试进行表头设计。
4.为了通过试验寻找从某矿物中提取稀土元素的最优工艺方案,使稀
土元素提取率最高,选取的因素水平如下表:
水平因素
A
酸用量(ml)
B
水用量(ml)
C
反应时间(h)
D
添加剂
1
25
20
1
有
2
20
40
2
无
需要考虑交互作用AXB,AXC,B>C。
如果把A,B,C,D放在正交表L8(27)的
1,2,4,7列上,试验结果,提取量(ml)依次为:
1.10,1.33,1.13,1.06,
1.03,0.80,0.76,0.56。
用直观分析法和方差分析法分析试验结果。
1
SS走刀量=一(215123-3552-4722)-c=11037.56
3
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