3份高考数学人教A版理复习教案第一章 集合与常用逻辑用语.docx
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3份高考数学人教A版理复习教案第一章集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念与运算
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中元素相同或集合A,B互为子集
A=B
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个.
(2)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )
(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
(5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( √ )
(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则∁UP={2}.( √ )
1.(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B等于( )
A.[-2,-1]B.[-1,2)
C.[-1,1]D.[1,2)
答案 A
【详细分析】∵A={x|x≥3或x≤-1},B={x|-2≤x<2},
∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1],故选A.
2.(2014·四川)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于( )
A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}D.{-1,0}
答案 A
【详细分析】因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B={-1,0,1,2},故选A.
3.(2013·山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
答案 C
【详细分析】x-y∈
.
4.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________.
答案
【详细分析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},
因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,
则这个整数为2,
所以有f
(2)≤0且f(3)>0,
即
所以
即
≤a<
.
题型一 集合的基本概念
例1
(1)(2013·江西)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a等于( )
A.4B.2
C.0D.0或4
(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
思维点拨 不要忽视集合中元素的互异性.
答案
(1)A
(2)2
【详细分析】
(1)当a=0时,方程化为1=0,无解,集合A为空集,不符合题意;当a≠0时,由Δ=a2-4a=0,解得a=4.
(2)因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,得
=-1,
所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( )
A.3B.4
C.5D.6
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
答案
(1)B
(2)-
【详细分析】
(1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4时,a=1,2,3,此时x=5,6,7.
当b=5时,a=1,2,3,此时x=6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8.
即M={5,6,7,8},共有4个元素.
(2)因为3∈A,
所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,
解得m=-
或m=1(舍去),
此时当m=-
时,m+2=
≠3符合题意,
所以m=-
.
题型二 集合间的基本关系
例2
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 答案 (1)D (2)(-∞,4] 【详细分析】 (1)由x2-3x+2=0得A={1,2}. 又B={1,2,3,4}. ∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个. (2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则 ,解得2 综上,m的取值范围为m≤4. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解; (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题. (1)设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( ) A.6个B.5个C.4个D.3个 (2)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是( ) A.(0,1]B.[1,+∞) C.(0,1)D.(1,+∞) 答案 (1)A (2)B 【详细分析】 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),集合{2}的所有子集共有2个,故满足要求的集合M共有8-2=6(个). (2)A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),因为A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1. 题型三 集合的基本运算 例3 (1)(2014·辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)等于( ) A.{x|x≥0}B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1}D.{x|0 (2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________. 答案 (1)D (2)1或2 【详细分析】 (1)∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0或x≥1}, 在数轴上表示如图. ∴∁U(A∪B)={x|0 (2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A, ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2. 经检验知m=1和m=2符合条件. ∴m=1或2. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)(2014·浙江)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA等于( ) A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5} (2)设集合M={x|-1≤x<2},N={y|y A.-1≤a<2B.a≤2 C.a≥-1D.a>-1 答案 (1)B (2)D 【详细分析】 (1)因为A={x∈N|x≤- 或x≥ }, 所以∁UA={x∈N|2≤x< },故∁UA={2}. (2)∵M={x|-1≤x<2},N={y|y-1即可. 题型四 集合中的新定义问题 例4 若集合A具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; (Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时, ∈A. 则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( ) (1)集合B={-1,0,1}是“好集”; (2)有理数集Q是“好集”; (3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A. A.0B.1 C.2D.3 答案 C 【详细分析】 (1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为 -1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾. (2)有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时, ∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(3)因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 设U为全集,对集合X,Y,定义运算“ ”,满足X Y=(∁UX)∪Y,则对于任意集合X,Y,Z,X (Y Z)等于( ) A.(X∪Y)∪(∁UZ) B.(X∩Y)∪(∁UZ) C.[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D.(∁UX)∪(∁UY)∪Z 答案 D 【详细分析】因为X Y=(∁UX)∪Y, 所以Y Z=(∁UY)∪Z, 所以X (Y Z)=(∁UX)∪(Y Z) =(∁UX)∪(∁UY)∪Z,故选D. 遗忘空集致误 典例: 设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是________. 易错分析 集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的实数根所构成的集合,由B⊆A,可知集合B中的元素都在集合A中,在解题中容易忽视方程无解,即B=∅的情况,导致漏解. 【详细分析】因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1. 答案 (-∞,-1]∪{1} 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征. (2)已知集合B,若已知A⊆B或A∩B=∅,则考生很容易忽视A=∅而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论. 方法与技巧 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. 失误与防范 1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集). 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心. A组 专项基础训练 (时间: 30分钟) 1.下列集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 B 【详细分析】选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集合N表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y=1上的所有点组成的集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性,可知M,N表示同一个集合. 2.(2014·课标全国Ⅱ)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N等于( ) A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2} 答案 D 【详细分析】由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0, 解得1≤x≤2,故N={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2}. 3.已知全集S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁SA={3},则实数a等于( ) A.0或2B.0 C.1或2D.2 答案 D 【详细分析】由题意,知 则a=2. 4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ) A.2个B.4个 C.6个D.8个 答案 B 【详细分析】∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, ∴M∩N={1,3}. ∴M∩N的子集共有22=4个. 5.(2013·辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于( ) A.(0,1)B.(0,2] C.(1,2)D.(1,2] 答案 D 【详细分析】A={x|1<x<4},B={x|x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 6. 设全集U为整数集,集合A={x∈N|y= },B={x∈Z|-1 A.3B.4C.7D.8 答案 C 【详细分析】因为A={x∈N|y= }={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6}, 由题意知,图中阴影部分表示的集合为A∩B={1,2,3},所以其真子集有: ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个. 7.已知集合A={x|x>1},B={x|x2-2x<0},则A∪B等于( ) A.{x|x>0}B.{x|x>1} C.{x|1 答案 A 【详细分析】由x2-2x<0,得0 8.已知集合A={x|-1 A.(-∞,0]B.[0,+∞) C.(-∞,0)D.(0,+∞) 答案 B 【详细分析】用数轴表示集合A,B(如图) 由A⊆B得a≥0. 9.(2014·重庆)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=________. 答案 {7,9} 【详细分析】U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出Venn图,如图所示,阴影部分就是所要求的集合,即(∁UA)∩B={7,9}. 10.已知全集U=R,集合A={x∈Z|y= },B={x|x>5},则A∩(∁UB)=________. 答案 {3,4,5} 【详细分析】∵A={x∈Z|x≥3},∁UB={x|x≤5}, ∴A∩(∁UB)={3,4,5}. 11.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=__________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 【详细分析】A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.
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