已知三角函数值求角教案1.docx
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已知三角函数值求角教案1
已知三角函数值求角教案1
教学目标
1.使学生掌握已知三角函数值求角(给值求角)的方法和步骤.
2.通过启发学生总结给值求角的步骤,培养学生归纳、类比、总结的能力.
3.培养学生严谨的科学态度,促进良好个性品质发展.
教学重点与难点
重点是给值求角的基本方法.难点在于归纳给值求角的基本步骤.
教学过程设计
一、复习引入
师:
我们学习了5组诱导公式,如何概括这5组公式?
生:
k·360°+α(k∈Z),-α,180°±α,360°-α的三角函数值等于α的同一三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
师:
那么k·360°+α,……这些角从“形”这一角度看,与α又有什么关系呢?
(这应在诱导公式那一节有所渗透,或曾经留给同学思考过.)
生:
角k·360°+α(k∈Z)的终边与α角的终边相同,180°-α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形,180°+α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形,360°-α和-α终边相同,与α的终边关于x轴成轴对称图形.
师:
α是什么样角?
生:
使三角函数有意义的任意角.
师:
如果把α看作是锐角,那么k·360°+α(k∈Z),180°±α,360°-α各是第几象限角?
它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系?
生:
k·360°+α(k∈Z)是第一象限角,180°-α是第二象限角,180°+α是第三象限角,360°-α是第四象限角.这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数.
(如图1,帮助学生形象思维与记忆.)
师:
利用这幅图,记忆诱导公式的符号是不是变得直观了?
!
那么诱导公式又有什么功能呢?
生:
把任意角的三角函数转化为0°~90°间角的三角函数,然后就可以查表求值了.
师:
这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系,那么同一三角函数值之间有没有关系?
生:
有关系,那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值,要么等于这个值的相反数,相等还是相反由这些角所在象限决定.
师:
可以这样说,这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值.每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值(当值存在时),这个值由α唯一确定.那么反过来,知道某个角α的某个三角函数值,要反求α,这个α怎么求?
是否唯一?
这与我们本节课要研究的知识有关.
二、讲授新课
(板书)已知三角函数值求角.
师:
我们先来研究给正弦值求角.
(板书)
例1求满足下列条件的角α的取值集合.
师:
满足这个条件的角α有几个?
生:
因为α是三角形的内角,所以α∈(0,π),而在这个范围内正弦值等于
师:
那么这两个角有什么关系?
生:
这两个角的和是π.
知条件的角还有别的吗?
师:
在每个单调递增(或递减)区间内,角的正弦值随角α的增大而增大(或减小),所以在每个象限由一个三角函数值求得的角将是唯一的(角存在).以下情况类似,我
师:
由
(1)、
(2)可以看到,正弦值相同的角,由于限制条件不同,求得的角的集合一般也不相同,我们再改变α的范围,看看情况又有什么变化.
(板书)
[0,2π),所以α的范围缩小为[0,π),这与
(2)的条件是相同的,所以α的取值集
(板书)
师:
这时满足条件的角α有多少个?
生:
满足条件的角有无数个.
师:
这无数个角之间有什么关系?
(问题提得含糊).
生:
这些角终边相同.
师:
这是从“形”的角度去看的,那么翻译成“数”的关系是什么呢?
生:
这些角的弧度数相差2π整数倍.
师:
怎么表示这些角?
生:
先找一个特殊角,然后加上2kπ(k∈Z)就行了.
师:
你准备找哪一个特殊角?
为什么?
师:
能写出α的取值集合吗?
师:
如果把“α”是第一象限角”改为“α是第二象限角”,α的取值集合如何求?
师:
如果去掉“α是第一象限角”这个条件呢?
师:
由这几个例题可以看到,角α的取值与[0,2π)间的角密切相关,找到这个范围内的角,便可得到所有的角.再看(5).
(板书)
师:
满足这个条件的角α有几个?
各是什么?
如何求出?
(板书)
师:
由上面六道题的解法能否概括出给正弦值求角的步骤?
生:
需求正弦值等于所给的值的绝对值的锐角α0.
生:
要求属于区间[0,2π)的角α0,π-α0,π+α0,2π-α0.
师:
是不是非要求这四个角?
生:
根据所给的值判断一下角所在的象限,如果值为正,找第一、二象限的角α0,π-α0;如果值为负,找第三、四象限的角π+α0,2π-α0.
生:
还得根据角的限定范围求出适合条件的所有解.
师:
我们把解决步骤归纳如下(为方便先不考虑轴上角).
(板书)
(1)由已知正弦值确定角α所在象限;
(2)求出锐角α0,使α0的正弦值与已知值的绝对值相等;
(3)根据四个象限的角的形式,写出[0,2π)间的角(α0,π-α0,π+α0,2π-α0);
(4)写出满足条件的所有的角.
师:
对于sinα=±1,sinα=0的类型,我们没有细致去分析,同学们可从角的终边位置加以判断,以下也暂不涉及轴上角.下面我们来研究给余弦值求角的问题.求解时注意类比和归纳.
(板书)
例2根据下列条件求角α.
分析给余弦值求角的问题完全可以由正弦类比而来.找到[0,2π)上余弦值等
再根据余弦值的正负及α角限定的范围求α.
师:
做完这几个题,能否归纳出给余弦值求角的步骤?
生:
与刚才的步骤一样,只不过当所给的余弦值大于零时,角是第一、四象限角;当所给的余弦值小于零时,角是第二、三象限的角.
师:
这个步骤可以再推广吗?
生:
可以推广到给正切值求角,给余切值求角,和给正割、余割值求角.
师:
如果是给正切值求角,与正弦、余弦略有差别的地方是什么?
生:
当正切值大于零时,角是第一、三象限角,当正切值小于零时,角是第二、四象限角.
师:
很好.我们今天研究了给三角函数值求角的课题,要掌握解决问题的步骤,如果遇到不是形如f(x)=m(f是某个三角函数)时,要注意转化思想的运用.
(板书)
例3求满足下列条件的角的集合.
分析
(3)由cosA≠0(若cosA=0,则sinA=0,与sin2x+cos2x=1矛盾),得tanA=
三、小结
师:
给值求角是给角求值的逆运算,而我们今天研究的重点是给值求角的步骤,关于求解步骤可概括为:
定象限,找锐角,写形式,求全角.第四步是求出所有满足条件的角,这时要用终边相同角的关系.
四、作业
(1)阅读课本;
(2)课本习题P162练习一第1题
(1),
(2),(3).第2题
(2),第3题
(1),
(2);P164.习题十三第7.8题.
课堂教学设计说明
本课题内容简单,所以在例题的选择上,花费了较多时间,我希望通过例1每小问的解决,使学生能归结出给正弦值求角的步骤.而例2是课上发挥的实录,因为再重复例1,只是把正弦化为余弦没有太大的意义,所以希望通过例2让学生明白如何去找满足条件,但不在区间[0,2π)内的角.例3的设计是想渗透转化的数学思想,对这个例题的解答大部分同学没有困难.当然如果时间不够,将例3删去,换成一些练习题,让学生当堂练习、巩固,使学生加深对步骤的记忆也很有成效.
本教案设计的教学时间是安排在“三角函数线”之前的,如果将“三角函数线”知识提前,那么从给正弦值求角开始就应充分利用三角函数线这一直观图形,从实际效果看,还是应先讲三角函数线,那么给值求角问题不过是三角函数线的一种应用.
在现代教学中要充分发挥学生的主体作用,要设置问题,让学生参与研究,探讨,在研究中提高能力,提高水平,相应的教学质量也会有所提高.
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- 关 键 词:
- 已知 三角函数 值求角 教案