数学奥林匹克初中训练题3.docx

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数学奥林匹克初中训练题3

数学奥林匹克初中训练题3

第一试

一、选择题（每小题7分,共42分）

1.给出如下4个命题:

①若m、n为已知数,单项式2x5yn-2与（m+5）x|m-n+4|y的和为单项式,则m+n的值为-3或7.

②若M、N都是只含有一个字母x的多项式,M、N的次数分别为6次、3次,则M-N2是次数不超过6的多项式.

③若m为自然数,则关于x的方程（-x）m+1（-x）2m-2（-x）3m+1=xx+1x6m-1的解是x=-1,0,1.

④已知AM、DN分别是△ABC、△DEF的高,AB=DE,AC=DF,AM=DN.若∠BAC=40°,∠ABC=35°,则∠DFE=105°.其中,错误命题的个数是（）个.

（A）0（B）1或2（C）3（D）4

2.如图,ABCD是边长为1的正方形,对角线AC所在的直线上有两点M、N,使∠MBN=135°.则MN的最小值是（）.

（A）1+

（B）2+

（C）3+

（D）2

3.已知实数a、b、c满足

.则代数式ab+ac的值是（）.

（A）-2（B）-1（C）1（D）2

4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,BC=18,D是AB上一点,AC=BD,E是CD的中点.则AE的长是（）.

（A）12（B）9（C）9

（D）以上都不对

5.已知实数a、b、c、d满足2005a3=2006b3=2007c3=2008d3,

则a-1+b-1+c-1+d-1的值为（）.

（A）1（B）0（C）-1（D）±1

6.已知在平面直角坐标系xOy中,直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B,P是线段AB上一点,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为（）.

（A）3（B）4（C）6（D）8

二、填空题（每小题7分,共28分）

1.如图,AD是△ABC的角平分线,∠C=2∠B,AB=a2-4b+4,AC=8c-27-2b2,CD=9+4a-c2.则BC=.

2.已知实数a、b、c满足a-b+c=7,①ab+bc+b+c2+16=0.②

则（a-1-b-1）abc（a+b+c）a+b+c的值为.

3.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F、G分别是AB、OC、OD的中点,OA=AD,OB=BC,CD=

AB.则∠FEG的度数是.

4.如图所示的四边形ABCD是一片沙漠地的示意图,点A、B在x轴上,E（2,6）,F（3,4）.折线OFE是流过这片沙漠的水渠,水渠东边的沙漠由甲承包绿化,水渠西边的沙漠由乙承包绿化.现甲乙两人协商:

在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直,并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变.若准备在AB上找一点P,使得水渠取直为EP,则点P的坐标为.

第二试

一、（20分）现有三个圆柱型的容器M、N、P,其轴截面如图（a）、（b）、（c）所示,内底面积分别为S1cm2、S2cm2、S3cm2,内高分别为h1cm、h2cm、h3cm,容积分别为V1cm3、V2cm3、V3cm3（V1>V2>V3）.这三个圆柱型容器M、N、P可以拼成六个不同形状的容器（将三个容器从上至下依次拼接为PNM、NPM、PMN、MPN、NMP、MNP）,其容积为M、N、P的容积之和.

现向这6个容器均匀注水,注水速度相同,直至注满为止.其中有三个容器的水深h（cm）与注水时间t（s）的变化规律如图7、8、9所示.

（1）图7、8、9所反映的规律分别是这6个容器中的哪一个?

（2）求h1、h2、h3的值及S1∶S2∶S3的比值;

（3）若V3=

cm3,注水速度为

cm3／s,其中m、n为常数,求M、P、N这三个容器的容积之和.

二、（25分）如图10,两条平行线l1、l2之间的距离为6,l1、l2间有一半径为1的定圆⊙O切直线l2于点A,P是直线l1上一动点.过P作⊙O的两条切线PB、PC,切点分别为B、C,分别交直线l2于点M、N.试问AM·AN是一个定值吗?

若是,求出该定值;若不是,说明理由.

三、（25分）已知k为常数,关于x的一元二次方程（k2-2k）x2+（4-6k）x+8=0的解都是整数.求k的值.

数学奥林匹克初中训练题3参考答案

第一试

一、1.D.

（1）当m=-5,n>2时,单项式2x5yn-2与0的和2x5yn-2还是单项式.此时,m+n可为大于-3的所有整数,故命题①错.

（2）当M=x6+1,N=x3+1时,M-N2=-2x3.而-2x3是三次单项式,故命题②错.

（3）当m=0时,x=0使得（-x）2m-2和x6m-1无意义,此时,x=0不是原方程的解,故命题③错.

（4）当DN在△DEF的内部时（如图11）.

易证Rt△AMC≌Rt△DNF.所以,∠DFE=∠ACM=∠BAC+∠ABC=75°.故命题④错.

2.B.

设AM=x.易证△ABM∽△CNB.所以,AB/CN=AM/CB,即1/CN=x/1,亦即CN=1/x.

故MN=AM+AC+CN=

3.A.

题设等式化为4（ab+1）（ac+1）+（ab-ac）2=0,

即（ab+ac）2+4（ab+ac）+4=0,

亦即[（ab+ac）+2]2=0.

故ab+ac=-2.

4.B.

如图,延长AC至点F,使CF=AD.联结BF,过点C作CG∥AB交BF于点G,联结DG、AG.

因为AC=DB,CF=AD,所以,AC+CF=DB+AD,即AF=AB

又∠BAC=60°,所以,△ABF为等边三角形.

故AF=BF,∠F=60°.因为CG∥AB,所以,△CFG为等边三角形.

故CF=FG=CG.易知△AGF≌△BCF,有AG=BC=18.

又CG平行且相等AD,故四边形ACGD是平行四边形.

因此,CD与AG互相平分,即E为AG的中点.

故AE=

AG=

×18=9.

5.D.

设x=1/a+1/b+1/c+1/d,

2005a3=2006b3=2007c3=2008d3=k3.

显然,a、b、c、d、k同号且不为零,则

由已知的第二个等式得

于是,有

=x.

所以,x=0,x=-1,x=1.

因a、b、c、d同号,则x≠0.

故x=a-1+b-1+c-1+d-1=±1.

6.C.

设点P的坐标为（x0,y0）,矩形OMPN的面积为S.则x0>0,y0>0,S=x0y0.

因为点P（x0,y0）在y=2kx+3-4k上,所以,y0=2kx0+3-4k.

故S=x0（2kx0+3-4k）=2kx20+（3-4k）x0.

因此,S最大=

即16k2-（24-8S最大）k+9=0.

因为k为实数,则有Δ=[-（24-8S最大）]2-4×16×9≥0.故|24-8S最大|≥24.

解得S最大≥6或S最大≤0（舍去）.

当S最大=6时,k=-3/4.

二、1.7/3.

延长AC至点E,使CE=CD,联结DE.则有∠E=∠CDE=

∠ACD=∠B.

因为AD是∠BAC的平分线,则∠BAD=∠EAD,AB/BD=AC/CD.

所以,△ABD≌△AED.

故AB=AE=AC+CE=AC+CD.

因为AB=a2-4b+4,AC=8c-27-2b2,CD=9+4a-c2,

则a2-4b+4=（8c-27-2b2）+（9+4a-c2）,即（a-2）2+2（b-1）2+（c-4）2=0.

所以,a=2,b=1,c=4.从而,AB=4,AC=3,CD=1.

易知BD=4/3,因此,BC=BD+CD=7/3.

2.-1.

由式①得（-b）+（a+c+1）=8.③

由式②得（a+c+1）（-b）=c2+16.④

所以,a+c+1、-b是方程x2-8x+c2+16=0的两个根.

于是,有Δ=（-8）2-4（c2+16）≥0.从而,c2≤0.

易知c=0.进而x1=x2=4,即a+c+1=4,-b=4,亦即a=3,b=-4.

故（a-1-b-1）abc（a+b+c）a+b+c=（3-1+4-1）0[3+（-4）+0]3-4+0=-1.

3.120°.

如图,联结AG、BF、FG,过点E作EP⊥FG于点P.

设AB=2a,则CD=

AB=2

a.

因为OA=AD,G是OD的中点,于是,AG⊥OD.

所以,∠AGB=90°.同理,∠AFB=90°.

因此,A、B、F、G四点共圆,其直径为AB、圆心为E.

又F、G分别是OC、OD的中点,所以,FG=

CD=3a=2asin

∠FEG.

故

∠FEG=60°,∠FEG=120°.

4.（5/3,0）.

如图,联结OE,过点F作FP∥OE交AB于点P,联结EP交OF于点G.

因OE∥PF,则S△OEF=S△OEP.

故S△OEF-S△OEG=S△OEP-S△OEG,

即S△EFG=S△OGP.

所以,EP为水渠取直路线,点P即为所求.

易求直线OE的解析式为y=3x.

因为OE∥PF,于是,直线PF的解析式可设为y=3x+b.

又F（3,4）,则有4=3×3+b,即b=-5.所以,直线PF的解析式为y=3x-5.

当y=0时,3x-5=0,x=5/3.

因此,点P的坐标为（5/3,0）.

第二试

一、

（1）从图7知注满M、N、P三个容器共需60s,从图8知注满M、N、P三个容器中的两个容器需要54s,于是,注满图8所示的容器的最上面一个容器需要60-54=6（s）.

同理,注满图9所示的容器的最上面一个容器需要60-24=36（s）.由此可知,注满第三个容器需要60-6-36=18（s）.

因为注水速度一定,且V1>V2>V3,所以,注满M、N、P三个容器分别需要36s、18s、6s.

因此,图7、8、9所反映的规律分别是NPM、PMN、MNP三种形式的容器.

（2）设注水速度为Vcm3／s.由图7、8、9及第

（1）问的结果知

h1+h3=24,h2+h1=30,h2+h3=18;

V1+V2+V3=60V,V2+V1=54V,V3+V2=24V.

解得h1=18,h2=12,h3=6;V1=36V,V2=18V,V3=6V.

所以,S1=V1/h1=36V/18=2V,

S2=V2h2=18V/12=32V,

S3=V3h3=6V/6=V.

故S1∶S2∶S3=2V∶32V∶V=4∶3∶2.

（3）因为m2+4m+4.125=（m+2）2+0.125,

所以,当m=-2时,m2+4m+4.125的最小值为0.125.因此,V3≤72.因注水速度V=

即

n2+（6-V）n+（45-3V）=0,

故Δ=（6-V）2-4×1×（45-3V）≥0.从而,V≥12或V≤-12（舍去）.

当n=3时,V的最小值为12.

由

（2）知,V3=6V.

又V3≤72,6V≥72,则V3=6V=72.

此时,m=-2,n=3.于是,V=12.

故V1+V2+V3=60V=60×12=720（cm3）.

因此,所求的容积之和为720cm3.

二、如图,过点P作PD⊥l2于点D,联结OA、OB、OC、OM、ON、OP.则PD=6,OA=OB=OC=1.

设AM=m,AN=n,PC=p,DN=x,则DM=m+n-x.

由题意知,⊙O是△PMN的内切圆,所以,BM=AM=m,CN=AN=n,PB=PC=p;

OA⊥MN,OB⊥PM,OC⊥PN.又S△PMN=S△OMN+S△ONP+S△OPM=

MN·OA+

PN·OC+

PM·OB

=

（MN+PN+PM）=m+n+p,

S△PMN=

MN·PD=3（m+n）,

则m+n+p=3（m+n）.

故p=2m+2n.①

在Rt△PDN和Rt△PDM中,由勾股定理得

PD2+DN2=PN2,

PD2+MD2=PM2,

即62+x2=（p+n）2,②

62+（m+n-x）2=（m+p）2.③

②-③得

（m+n）（2x-m-n）=（n-m）（m+n+2p）=5（n-m）（m+n）,

即x=3n-2m.④

把式④代入式②得36+（3n-2m）2=（2m+3n）2,

即36=24mn.

从而,mn=1.5,即AM·AN=1.5.

因此,AM·AN为定值,且定值为1.5.

三、当k=0时,原方程化为4x+8=0,解得x=-2.故当k=0时,原方程的解都是整数.

当k=2时,原方程化为-8x+8=0,解得x=1.故当k=2时,原方程的解都是整数.

当k≠0或2时,原方程化为（kx-2）[（k-2）x-4]=0.

解得x1=2/k,x2=

.

由x1=2/k,得k=2/x1.

把k=2/x1代入x2=

中,得x1x2+2x1-x2=0.

故（x1-1）（x2+2）=-2=1×（-2）=2×（-1）.

因为x1、x2为整数,所以,x1-1、x2+2也均为整数.于是,有

x1-1=1,x2+2=-2或x1-1=-2,x2+2=1

或x1-1=2,x2+2=-1或x1-1=-1,x2+2=2.

分别解得x1=2,x2=-4或x1=-1,x2=-1或x1=3,x2=-3或x1=0,x2=0（舍去）.

故k=1,-2,2/3.

综上,k的值为-2,0,1,2或2/3.