北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题含答案精选5套.docx
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北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题含答案精选5套
第一章:
特殊的平行四边形单元测试卷
(典型题汇总)
(时间:
100分钟 满分:
120分)
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)
1.下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)
A.对角线互相平分B.对角线互相垂直
C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.下列命题中,真命题是(D)
A.两条对角线垂直的四边形是菱形B.对角线垂直且相等的四边形是正方形
C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
3.菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为(C)
A.2B.3C.1D.12
4.如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成(C)
A.22.5°角B.30°角C.45°角D.60°角
第5题图第6题图第7题图
5.如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的是(C)
A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形
C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时它是矩形
6.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6cm,8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是(B)
A.485cmB.245cmC.125cmD.53cm
7.如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是(D)
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
C.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,则CE的长为(C)
A.3B.3.5C.2.5D.2.8
第8题图第9题图第10题图
9.如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是(D)
A.12B.3)3C.1-3)3D.2-1
10.如图,点E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点,BE=BC,点P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于R,则PQ+PR的值为(D)
A.2)2B.12C.3)2D.2
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
11.已知菱形的周长是20cm,一条对角线长为8cm,则菱形的另一条对角线长为6cm.
12.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件AB=BC(答案不唯一),使其成为正方形.(只填一个即可)
13.如图,点E为正方形ABCD外一点,AE=AD,∠ADE=75°,则∠AEB=30°.
第13题图第15题图第16题图
14.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积是30cm2.
15.如图,矩形ABCD的对角线BD的中点为O,过点O作OE⊥BC于点E,连接OA,已知AB=5,BC=12,则四边形ABEO的周长为20.
16.如图,∠MON=45°,OA1=1,作正方形A1B1C1A2,周长记作C1;再作第二个正方形A2B2C2A3,周长记作C2;继续作第三个正方形A3B3C3A4,周长记作C3;点A1,A2,A3,A4…在射线ON上,点B1,B2,B3,B4…在射线OM上,依此类推,则第n个正方形的周长Cn=2n+1.
三、解答题
(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.如图,在正方形ABCD中,点E是对角线BD上的点,求证:
AE=CE.
证明:
∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CB,∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中,AB=CB,∠ABE=∠CBE,BE=BE,,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE
18.如图,已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4,周长为40cm,求菱形的高及面积.
解:
∵BD∶AC=3∶4,∴设BD=3x,AC=4x,∴BO=3x2,AO=2x,又∵AB2=BO2+AO2,∴AB=52x,∵菱形的周长是40cm,∴AB=40÷4=10(cm),即52x=10,∴x=4,∴BD=12cm,AC=16cm,∴S菱形ABCD=12BD·AC=12×12×16=96(cm2),又∵S菱形ABCD=AB·h,∴h=9610=9.6(cm),菱形的高是9.6cm,面积是96cm2
19.如图,在矩形ABCD中,点E为AD边上一点,EF⊥CE,交AB于点F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,求AE的长.
解:
∵EF⊥EC,∴∠1+∠3=90°.∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠1=∠2.又∵EF=EC,∴△EFA≌△CED(AAS),∴AE=CD.设AE=x,则DC=x.由矩形的周长为16得2x+2=8,∴x=3,即AE的长为3
四、解答题
(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.如图,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB.
(1)求证:
平行四边形ABCD是矩形;
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形
(2)AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一).理由:
∵四边形ABCD是矩形,又∵AB=AD,∴四边形ABCD是正方形(或:
∵四边形ABCD是矩形,又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形)
21.如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.
(1)求证:
△DCA≌△EAC;
(2)只需添加一个条件,即AD=BC(答案不唯一),可使四边形ABCD为矩形,请加以证明.
解:
(1)在△DCA和△EAC中,DC=EA,AD=CE,AC=CA,∴△DCA≌△EAC(SSS)
(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形.理由:
∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由
(1)知△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形
22.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE的延长线上,且AF=CE=AE.
(1)求证:
四边形ACEF是平行四边形;
(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.
解:
(1)由题意知∠FDC=∠DCA=90°,∴EF∥CA,∴∠AEF=∠EAC.∵AF=CE=AE,∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA.又∵AE=EA,∴△AEC≌△EAF,∴EF=CA,∴四边形ACEF是平行四边形
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.理由:
∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=12AB.∵DE垂直平分BC,∴BE=CE.∵AE=CE,∴AE=BE=CE=12AB,∴AC=CE,由
(1)得四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF.
(1)求证:
BE=BF;
(2)若∠ABE=20°,求∠BFE的度数;
(3)若AB=6,AD=8,求AE的长.
解:
(1)由题意得∠BEF=∠DEF.∵四边形ABCD为矩形,∴DE∥BF,∴∠BFE=∠DEF,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF
(2)∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABF=90°;而∠ABE=20°,∴∠EBF=90°-20°=70°;又∵∠BEF=∠BFE,∴∠BFE的度数为55° (3)由题意知BE=DE;设AE=x,则BE=DE=8-x,由勾股定理得(8-x)2=62+x2,解得x=74,即AE的长为74
24.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是ts(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:
AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?
请说明理由.
解:
(1)∵∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,∴DF=2t,又∵AE=2t,∴AE=DF
(2)能,理由:
∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF,又∵AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形,当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,即60-4t=2t,解得t=10,∴当t=10秒时,四边形AEFD为菱形 (3)①当∠DEF=90°时,由
(1)知四边形AEFD为平行四边形,∴EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°,∵∠A=60°,∴∠AED=30°,∴AD=12AE=t,又AD=60-4t,即60-4t=t,解得t=12;②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,在Rt△AED中∠A=60°,则∠ADE=30°,∴AD=2AE,即60-4t=4t,解得t=152;③若∠EFD=90°,则E与B重合,D与A重合,此种情况不存在.综上所述,当t=152s或12s时,△DEF为直角三角形
25.已知正方形ABCD中,点E,F分别为BC,CD上的点,连接AE,BF相交于点H,且AE⊥BF.
(1)如图1,连接AC交BF于点G,求证:
∠AGF=∠AEB+45°;
(2)如图2,延长BF到点M,连接MC,若∠BMC=45°,求证:
AH+BH=BM;
(3)如图3,在
(2)的条件下,若点H为BM的三等分点,连接BD,DM,若HE=1,求△BDM的面积.
解:
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ACB=∠ACD=45°,∵AE⊥BF,∴∠AEB+∠FBC=90°,∵∠FBC+∠BFC=90°∴∠AEB=∠BFC,∵∠AGF=∠BFC+∠ACF,∴∠AGF=∠AEB+45°
(2)过C作CK⊥BM于K,∴∠BKC=∠AHB=90°,∵∠BMC=45°,∴CK=MK,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ABH=∠BCK,∴△ABH≌△BCK(AAS),∴BH=CK=MK,AH=BK,∴BM=BK+MK=AH+BH (3)由
(2)得,BH=CK=MK,∵H为BM的三等分点,∴BH=HK=KM,过E作EN⊥CK于N,∴四边形HENK是矩形,∴HK=EN=BH,∠BHE=∠ENC,∴△BHE≌△ENC(ASA),∴HE=CN=NK=1,∴CK=BH=2,∴BM=6,连接CH,∵HK=MK,CK⊥MH,∠BMC=45°,∴CH=CM,∠MCH=90°,∴∠BCH=∠DCM,∴△BHC≌△DMC(SAS),∴BH=DM=2,∠BHC=∠DMC=135°,∴∠DMB=90°,∴△BDM的面积为12DM·BM=6.
第一章:
特殊的平行四边形单元测试卷
(典型题汇总)
1.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为( )
图1
A.2aB.22aC.3aD.3)3a
2.已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A.∠BAC=∠DCAB.∠BAC=∠DAC
C.∠BAC=∠ABDD.∠BAC=∠ADB
3.如图2,E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为( )
图2
A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形
C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它是矩形
4.如图3,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE交AE于点F,则BF的长为( )
图3
A.10)2B.10)5C.10)5D.15)5
5.如图4,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,若∠ABC=140°,则∠OED=________.
图4
6.如图5,四边形ABCD是菱形,AC=24,BD=10,DH⊥AB于点H,则线段BH的长为________.
图5
7.如图6为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为________m.
图6
8.如图7所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的值最小,则这个最小值为________.
图7
9.如图8所示,已知四边形ABCD,ADEF都是菱形,∠BAD=∠FAD,∠BAD为锐角.
(1)求证:
AD⊥BF;
(2)若BF=BC,求∠ADC的度数.
图8
10.如图9(a),在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使点B落在边AD上的点E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF.
(1)求证:
四边形BFEP为菱形.
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.
①当点Q与点C重合时(如图(b)),求菱形BFEP的边长;
②若限定点P,Q分别在边BA,BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.
图9
11.四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连接CE,以CE为边作正方形CEFG(点D,F在直线CE的同侧),连接BF.
(1)如图(a),当点E与点A重合时,请直接写出BF的长.
(2)如图(b),点E在线段AD上,AE=1.
①求点F到AD的距离;
②求BF的长.
(3)若BF=310,请直接写出此时AE的长.
图10
12.如图11①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置,使B'为BD的中点,连接AB',C'D,AD',BC',如图②.
(1)求证:
四边形AB'C'D是菱形;
(2)四边形ABC'D′的周长为________;
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形周长.
图11
参考答案
1.B2.C 3.C
4.B
5.20°.
6.5013
7.4600
8.6
9.解:
(1)证明:
如图,连接DB,DF.
∵四边形ABCD,ADEF都是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AD=DE=EF=FA.
在△BAD与△FAD中,
AB=AF,∠BAD=∠FAD,AD=AD,
∴△BAD≌△FAD,∴DB=DF,
∴点D在线段BF的垂直平分线上.
∵AB=AF,∴点A在线段BF的垂直平分线上,∴AD是线段BF的垂直平分线,∴AD⊥BF.
(2)如图,设AD⊥BF于点H,过点D作DG⊥BC于点G,则四边形BGDH是矩形,
∴DG=BH=12BF.
∵BF=BC,BC=CD,∴DG=12CD.
在直角三角形CDG中,
∵∠CGD=90°,DG=12CD,∴∠C=30°.
∵BC∥AD,∴∠ADC=180°-∠C=150°.
10.解:
(1)证明:
∵折叠纸片使点B落在边AD上的点E处,折痕为PQ,
∴点B与点E关于PQ对称,
∴PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF.
又∵EF∥AB,∴∠BPF=∠EFP,∴∠EPF=∠EFP,∴EP=EF,∴BP=BF=EF=EP,
∴四边形BFEP为菱形.
(2)①∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°.
∵点B与点E关于PQ对称,∴CE=BC=5cm.
在Rt△CDE中,DE=CE2-CD2=4cm,
∴AE=AD-DE=5-4=1(cm).
在Rt△APE中,AE=1cm,AP=3-PB=3-PE,∴PE2=12+(3-PE)2,
解得EP=53(cm),
∴菱形BFEP的边长为53cm.
②当点Q与点C重合时,如题图(b),点E离点A最近,由①知,此时AE=1cm;
当点P与点A重合时,如图所示,点E离点A最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3cm,∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.
11.解:
(1)过点F作FH⊥AB交BA的延长线于点H,如图(a)所示,则∠FHE=90°.
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴AD=CD=4,EF=CE,∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°,
∴∠FEH=∠CED.
在△EFH和△ECD中,
∠FHE=∠EDC=90°,∠FEH=∠CED,EF=CE,
∴△EFH≌△ECD(AAS),
∴FH=CD=4,AH=AD=4,
∴BH=AB+AH=8,
∴BF=BH2+FH2=82+42=45.
(2)过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,作FM⊥AB交BA的延长线于点M,如图(b)所示,则FM=AH,AM=FH.
①∵AD=4,AE=1,∴DE=3,
同
(1)得:
△EFH≌△CED,
∴FH=DE=3,EH=CD=4,
即点F到AD的距离为3.
②∵BM=AB+AM=4+3=7,FM=AE+EH=5,∴BF=BM2+FM2=74.
(3)分两种情况:
①当点E在边AD的左侧时,过点F作FH⊥AD于点H,交BC于点K,
如图(c)所示,同
(1)得△EFH≌△CED,
∴FH=DE=4+AE,EH=CD=4,
∴FK=8+AE.
在Rt△BFK中,BK=AH=EH-AE=4-AE,
由勾股定理得(4-AE)2+(8+AE)2=(310)2,解得AE=1或AE=-5(舍去),
∴AE=1;
②当点E在边AD的右侧时,过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,交BC的延长线于点K,如图(d)所示,同理得AE=2+41.
综上所述,AE的长为1或2+41.
12.解:
(1)证明:
∵BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,
∴∠ADB=60°.
由平移可得B′C′=BC=AD,∠D′B′C′=∠DBC=∠ADB=60°,
∴AD∥B′C′,∴四边形AB′C′D是平行四边形.
∵B′为BD的中点,
∴在Rt△ABD中,AB′=12BD=DB′.
又∵∠ADB=60°,∴△ADB'是等边三角形,
∴AD=AB′,
∴四边形AB′C′D是菱形.
(2)连接AC′.
由平移可得AB=C′D′,∠ABD′=∠C′D′B=30°,
AB∥C′D′,
∴四边形ABC′D′是平行四边形.
由
(1)可得AC′⊥B′D,
∴四边形ABC′D′是菱形.
∵AB=3AD=3,
∴四边形ABC′D′的周长为43.
故答案为43.
(3)将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下:
∴拼成的矩形的周长为6+3或23+3.
第一章:
特殊的平行四边形单元测试卷
(典型题汇总)
(时间:
90分钟 满分:
120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知ΔABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )
A.25B.20C.15D.10
2.四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件中能判定此四边形是正方形的是( )
①AC=BD,AB∥CD,AB=CD;②AD∥BC,∠BAD=∠BCD;③AO=CO,BO=DO,AB=BC;④AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.RtΔABC中,CD是斜边AB上的高,∠A=25°,则∠BCD度数为( )
A.25°B.65°C.15°D.35°
4.如图所示,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK+QK的最小值为( )
A.1B.
C.2D.
+1
5.(黄石中考)如图所示,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
6.(南昌中考)如图
(1)所示,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形,得到一个“图案”,如图
(2)所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图(3)所示,则新矩形的周长可表示为( )
A.2a-3bB.4a-8bC.2a-4bD.4a-10b
7.(丽水中考)如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:
分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
8.(上海中考)如图所示,已知AC,BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是( )
A.ΔABD与ΔABC的周长相等B.ΔABD与ΔABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
9.(聊城中考)如图所示,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则BC的长为( )
A.2
B.3
C.6
D.
10.(德州中考)如图所示,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②CE平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF=2
.
以上结论中,你认为正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=4,BF=3,则EF的长为 .
12.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,若AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为 .
13.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD
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