上海市静安区高考数学一模.docx
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上海市静安区高考数学一模
2020年上海市静安区高考数学一模
学校:
________班级:
________姓名:
________学号:
________
一、填空题(共12小题)
1.计算
(1﹣0.9n)= .
2.在单位圆中,60°的圆心角所对的弧长为 .
3.若直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°,则l1与l2的夹角为 .
4.若直线l的一个法向量为
=(2,1),则直线l的斜率k= ﹣ .
5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次,每个细胞分裂为两个细胞.则7小时后,1个此种细胞将分裂为个 .
6.设△ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2.现将△ABC(及其内部)绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体,则该旋转体的体积为 .
7.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1.则
的值为 ﹣ .
8.三倍角的正切公式为tan3α= .(用tanα表示)
9.设集合A共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为 .
10.现将函数y=secx,x∈(0,π)的反函数定义为反正割函数,记为:
y=arcsecx.则arcsec(﹣4)= .(请保留两位小数)
11.设双曲线
的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到坐标原点O的距离的最小值为 .
12.设a>0,a≠1,M>0,N>0,我们可以证明对数的运算性质如下:
我们将⊗式称为证明的“关键步骤“.则证明
(其中M>0,r∈R)的“关键步骤”为 .
二、单选题(共4小题)
13.“三个实数a,b,c成等差数列”是“2b=a+c“的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
14.设x,y∈R,若复数
是纯虚数,则点P(x,y)一定满足( )
A.y=xB.
C.y=﹣xD.
15.若展开(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5),则展开式中a3的系数等于( )
A.在1,2,3,4,5中所有任取两个不同的数的乘积之和
B.在1,2,3,4,5中所有任取三个不同的数的乘积之和
C.在1,2,3,4,5中所有任取四个不同的数的乘积之和
D.以上结论都不对
16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向,且塔顶的仰角为18°,此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处,此时测得塔底位于北偏西39°方向,则该塔的高度约为( )
A.265米B.279米C.292米D.306米
三、解答题(共5小题)
17.如图,在正六棱锥P﹣ABCDEF中,已知底边长为2,侧棱与底面所成角为60°.
(1)求该六棱锥的体积V:
(2)求证:
PA⊥CE.
18.请解答以下问题,要求解决两个问题的方法不同.
(1)如图1,要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,如何截取?
并求出这个最大矩形的面积.
(2)如图2,要在一个长半轴为2米,短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,如何截取?
并求出这个最大矩形的面积.
19.设{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn.
(1)设a1=40,a6=38,求Sn的最大值;
(2)设
,数列{bn}的前n项和为Tn,且对任意的n∈N*,都有Tn≤20,求d的取值范围.
20.已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0,焦点为F(1,1).
(1)求证:
抛物线Γ上任意一点P的坐标(x,y)都满足方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0;
(2)请指出抛物线Γ的对称性和范围,并运用以上方程证明你的结论;
(3)设垂直于x轴的直线与抛物线Γ交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
21.现定义:
设a是非零实常数,若对任意的x∈D,都有f(a﹣x)=f(a+x),则称函数y=f(x)为“关于a的偶型函数”.
(1)请以三角函数为例,写出一个“关于2的偶型函数”的解析式,并给予证明;
(2)设定义域为R的“关于a的偶型函数”y=f(x)在区间(﹣∞,a)上单调递增,求证:
y=f(x)在区间(a,+∞)上单调递减;
(3)设定义域为R的“关于
的偶型函数”y=f(x)是奇函数,若n∈N*,请猜测f(n)的值,并用数学归纳法证明你的结论.
2020年上海市静安区高考数学一模
参考答案
一、填空题(共12小题)
1.【分析】直接利用数列的极限的运算法则,求解即可.
【解答】解:
(1﹣0.9n)=1﹣
=1﹣0=1.
故答案为:
1.
【知识点】数列的极限
2.【分析】由弧长公式即可算出结果.
【解答】解:
由弧长公式l=|α|r=
×1=
,
故答案为:
.
【知识点】弧长公式
3.【分析】直接利用角的运算的应用求出结果.
【解答】解:
直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°,
所以直线l1和l2的夹角为180°﹣(152°﹣32°)=60°.
故答案为:
60°.
【知识点】两直线的夹角与到角问题
4.【分析】根据题意,分析可得直线l的方向向量为(1,k),进而分析可得
•
=2+k=0,解可得k的值,即可得答案.
【解答】解:
根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为
=(1,k),
若直线l的一个法向量为
=(2,1),则有
•
=2+k=0,解可得k=﹣2;
故答案为:
﹣2.
【知识点】直线的斜率
5.【分析】根据题意,分析可得7小时后,这种细胞总共分裂了7次,由等比数列的通项分析可得答案.
【解答】解:
根据题意,7小时后,这种细胞总共分裂了7次,
则经过7小时,1个此种细胞将分裂为个27个;
故答案为:
27
【知识点】等比数列的前n项和
6.【分析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体,由此求出组合体的体积.
【解答】解:
等腰直角三角形的直角边为
,斜边的高为1;
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体,其圆锥的底面半径为1,高为1;
所以几何体的体积为V=2×
×π×12=
.
故答案为:
.
【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)
7.【分析】根据ABCD是平行四边形可得出
,然后代入AB=2,AD=1即可求出
的值.
【解答】解:
∵AB=2,AD=1,
∴
=
=
=1﹣4
=﹣3.
故答案为:
﹣3.
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律
8.【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果.
【解答】解:
tan3α=tan(α+2α)=
=
=
.
故答案为:
.
【知识点】两角和与差的余弦函数
9.【分析】利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关,直接利用排列求解即可.
【解答】解:
因为集合A共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵,矩阵中的元素的位置变换,矩阵也不相同,所以元素位置不同的个数为
=720.6个元素组成的不同矩阵应该分为四种不同类型,6行1列,1行6列,2行3列,3行2列,4种类型,所以这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为720×4=2880.
故答案为:
2880
【知识点】排列、组合及简单计数问题
10.【分析】计算题;三角函数的求值.
【解答】解:
∵y=secx=
,x∈(0,π),
∴当y=﹣4时,cosx=﹣
,x=π﹣arccos
,
由查表得arccos
≈1.318
∴x=π﹣1.318≈1.82.
故答案为:
1.82.
【知识点】反函数
11.【分析】利用已知条件PF1⊥PF2,点P到坐标原点O的距离为c,转化求解c的最小值即可.
【解答】解:
双曲线
的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,
则点P到坐标原点O的距离为c,
所以c=
=
≥
,当且仅当a=
时,取得最小值:
.
故答案为:
.
【知识点】双曲线的简单性质
12.【分析】利用指数式与对数式的互化即可算出结果.
【解答】解:
设logaMr=b,∴ab=Mr,
∴rlogaM=b,
∴logaM=
,
∴a
=a
=(a
)r=(a
)r=ab=Mr,
∴关键步骤为:
a
=(a
)r=Mr.
【知识点】对数的运算性质
二、单选题(共4小题)
13.【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可.
【解答】解:
若“a,b,c成等差数列”,则“2b=a+c”,即“a,b,c成等差数列”是“2b=a+c”的充分条件;
若“2b=a+c”,则“a,b,c成等差数列”,即“a,b,c成等差数列”是“2b=a+c”的必要条件,
综上可得:
“a,b,c成等差数列”是“2b=a+c”的充要条件,
故选:
C.
【知识点】充要条件
14.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0列式求解.
【解答】解:
由
=
是纯虚数,
∴
,得x≠0,y=
.
故选:
B.
【知识点】复数代数形式的乘除运算
15.【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果.
【解答】解:
展开(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5),
则展开式中a3的系数可以看成一个因式取a,其余的两个因式是从5个因式中任意取.
故选:
A.
【知识点】二项式定理
16.【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用三角形的边角关系,即可求出该塔的高度.
【解答】解:
如图所示,
△ABC中,AB=1000,∠ACB=21°+39°=60°,∠ABC=90°﹣39°=51°;
由正弦定理得,
=
,
所以AC=
;
Rt△ACD中,∠CAD=18°,
所以CD=AC•tan18°=
×tan18°=
×0.3249≈292(米);
所以该塔的高度约为292米.
故选:
C.
【知识点】已知三角函数模型的应用问题
三、解答题(共5小题)
17.【分析】
(1)连结AD,过P作PO⊥底面ABCD,交AD于点O,则PA=2AO=4,由此能求出该六棱锥的体积.
(2)连结CE,交AD于点O,连结PG,推导出AD⊥CE,PG⊥CE,从而CE⊥平面PAD,由此能证明PA⊥CE.
【解答】解:
(1)解:
∵在正六棱锥P﹣ABCDEF中,底边长为2,侧棱与底面所成角为60°.
连结AD,过P作PO⊥底面ABCD,交AD于点O,
则AO=DO=2,∠PAO=60°,∴PA=2AO=4,
PO=
=2
,
SABCDEF=6×(
)=6
,
∴该六棱锥的体积V=
=
=12.
(2)证明:
连结CE,交AD于点O,连结PG,
∵DE=CD,AE=AD,∴AD⊥CE,O是CE中点,
∵PA=PC,∴PG⊥CE,
∵PG∩AD=G,∴CE⊥平面PAD,
∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥CE.
【知识点】直线与平面垂直的判定、棱柱、棱锥、棱台的体积
18.【分析】
(1)通过设出∠BOC=α,进而用α表示出OB,BC;最后表示出S利用三角函数即可求解;
(2)通过设出点C的坐标(m,n),进而表示出OB=m,BC=n,S=2mn;再利用点C为椭圆上的点,即满足其方程利用基本不等式求解即可;
【解答】解:
(1)设∠BOC=α,(
);
∴OB=cosα,BC=sinα;
∵S=2OB•BC,
∴S═2sinαcosα=sin2α;
∴当
时,即OB=
时,矩形面积最大为1;
(2)依题意可得:
椭圆方程为:
;
设:
点C坐标为(m,n)即:
OB=m,BC=n;
∴S=2OB•BC=2mn;
∵点C为椭圆上的点;
∴
;
∵
;
∴mn≤1,当且仅当
=
时取等号;
∴S≤2;
即矩形面积最大为2;当OB=
时取等号;
【知识点】基本不等式
19.【分析】
(1)运用等差数列的通项公式可得公差d,再由等差数列的求和公式,结合配方法和二次函数的最值求法,可得最大值;
(2)由题意可得数列{bn}为首项为2,公比为2d的等比数列,讨论d=0,d>0,d<0,判断数列{bn}的单调性和求和公式,及范围,结合不等式恒成立问题解法,解不等式可得所求范围.
【解答】解:
(1)a1=40,a6=38,可得d=
=﹣
,
可得Sn=40n﹣
n(n﹣1)•
=﹣
(n﹣
)2+
,
由n为正整数,可得n=100或101时,Sn取得最大值2020;
(2)设
,数列{bn}的前n项和为Tn,
可得an=1+(n﹣1)d,数列{bn}为首项为2,公比为2d的等比数列,
若d=0,可得bn=2;d>0,可得{bn}为递增数列,无最大值;
当d<0时,Tn=
<
,
对任意的n∈N*,都有Tn≤20,可得20≥
,且d<0,
解得d≤log20.9.
【知识点】等差数列的前n项和、数列的求和
20.【分析】
(1)由抛物线的定义可得|PF|=d(d为P到准线的距离),运用两点的距离公式和点到直线的距离公式,化简可得所求轨迹方程;
(2)由抛物线的方程的特点,考虑点关于直线y=x的对称点的特征和对称轴与准线和抛物线的交点的关系,以及直线和抛物线相切的特点,可得所求范围;
(3)设垂直于x轴的直线为x=t,代入抛物线的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0,运用韦达定理和中点坐标公式,以及参数方程化为普通方程可得所求轨迹方程.
【解答】解:
(1)证明:
抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0,焦点为F(1,1),
抛物线Γ上任意一点P的坐标(x,y),由抛物线的定义可得|PF|=d(d为P到准线的距离),
即为
=
,两边平方化简可得x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0;
(2)抛物线关于y=x对称,顶点为(0,0),范围为x≥﹣1,y≥﹣1,
由方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0,设抛物线上任一点(x,y)关于直线y=x对称的点为(y,x),满足原方程,
则抛物线关于直线y=x对称;由直线y﹣1=x﹣1即y=x,联立x+y+2=0,解得x=y=﹣1,
可得抛物线的顶点为(0,0);由x=﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0联立可得切点为(﹣1,3),
同样由y=﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0联立可得切点为(3,﹣1),
可得抛物线的范围为x≥﹣1,y≥﹣1;
(3)设垂直于x轴的直线为x=t,代入抛物线的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0,
可得t2﹣(2t+8)y+t2﹣8t=0,
设A(t,y1),B(t,y2),可得y1+y2=2t+8,
则AB的中点为(t,t+4),
则AB的中点的轨迹方程为直线y=x+4.
【知识点】直线与抛物线的位置关系
21.【分析】
(1)可取f(x)=cos(x﹣2),由新定义和诱导公式即可得到结论;
(2)运用单调性的定义,结合新定义可得对任意的x∈R,都有f(a﹣x)=f(a+x),即为f(x)=f(2a﹣x),即可得证;
(3)由新定义和奇函数的定义,可得f(x)为最小正周期为2的函数,计算猜想f(n)=0,n∈N*,由数学归纳法的步骤,注意由n=k到n=k+1,运用新定义和奇函数的定义,可得证明.
【解答】解:
(1)函数f(x)=cos(x﹣2)为“关于2的偶型函数”.
理由:
由f(2﹣x)=cos(2﹣x﹣2)=cos(﹣x)=cosx,f(2+x)=cos(2+x﹣2)=cosx,
可得对任意的x∈R,都有f(2﹣x)=f(2+x),故f(x)=cos(x﹣2)为“关于2的偶型函数”;
(2)证明:
设a<x1<x2,则﹣a>﹣x1>﹣x2,即有a>2a﹣x1>2a﹣x2,
由对任意的x∈R,都有f(a﹣x)=f(a+x),即为f(x)=f(2a﹣x),
y=f(x)在区间(﹣∞,a)上单调递增,可得f(2a﹣x1)>f(2a﹣x2),
即有f(x1)>f(x2),可得y=f(x)在区间(a,+∞)上单调递减;
(3)设定义域为R的“关于
的偶型函数”,
可得对任意的x∈R,都有f(
﹣x)=f(
+x),即为f(﹣x)=f(1+x),
又f(x)为奇函数,可得f(﹣x)=﹣f(x),
即有f(x+1)=﹣f(x),则f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),可得f(x)为最小正周期为2的函数,
由f(0)=0,可得f
(1)=f(0)=0,f
(2)=f(0)=0,猜想f(n)=0,n∈N*;
证明:
当n=1时,f
(1)=f(0)=0成立,
假设n=k,k∈N*时,f(k)=0,
当n=k+1时,f(k+1)=f﹣(k)=﹣f(k)=0,
可得n=k+1时,f(k+1)=0,
综上可得f(n)=0,n∈N*.
【知识点】函数与方程的综合运用、数学归纳法
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