一节课微积分入门.docx

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一节课微积分入门

一节课微积分入门

“一节课微积分入门”原本是笔者制作的一个教学视频，在酷6网上点击率一度突破12万（可惜现在删了，但土豆网上还有），而大学教授的同类视频，点击率最高才2千多。

笔者身边好几个学不懂微积分的人都在里面受益。

这是笔者独创的一套最简捷，清晰，易懂的教学方法，从零开始，在短短的40分钟内，让大家理解：

微积分最基本的原理，牛莱公式的本质含义和基本求导方法。

希望能在微积分教学的历史长河中留下一朵小小的浪花。

考虑到很多朋友不喜欢看教学视频，而更喜欢阅读文档，笔者把最基本的教学思路整理下来，供大家学习和参考，（看不懂的可以网上搜视频做为辅助学习）

目录：

1巧妙的叠加方法

2问题的提出：

求y=x2曲线围成的面积

3切割法求出近似面积

4寻找“远房表叔”来帮忙

5对“远房表叔”进行切割和叠加

6“表叔”和“表侄”的一一对应。

7一一对应关系式的提出

8一一对应关系式的进一步表达：

牛莱公式

9一一对应关系式的变形：

导函数的定义

10求导的2个例题

11导函数的意义

1巧妙的叠加方法

方法一非常麻烦，要测1千次，再加1千次，方法二就简单多了，因为反正不需要知道每个小棍子的长度，只测一次就够了。

这就是“叠加法”，在后面的微积分学习中，我们会非常巧妙的用到“叠加法”。

2问题的提出：

求y=x2曲线围成的面积

这种曲线围成的面积，显然用初等数学无法解决，这就需要我们巧妙构思，另辟蹊径了。

3切割法求出近似面积

我们把横坐标切成1000份，然后切割出999个小长方形，每个小长方形的宽都是1/1000，小长方形的长则是该点对应的函数值，这样每个小长方形的面积都可以求出来了。

阴影部分面积≈999个小长方形面积的总和。

但这种方法，要计算近1千次，再相加近1千次，太麻烦了，而且还只能得到近似值，显然我们不是我们想要的方法。

我们想到了例题中“叠加法”，可是怎么用“叠加法”呢？

4寻找“远房表叔”来帮忙

这时，我们要请一位“大神”登场了，自己解决不了，请“远房表叔”来帮忙。

我们为什么说y=1/3x3是y=x2的远房表叔呢？

这位表叔又能帮什么忙呢？

我们拭目以待。

为了区别，原来的“表侄“标记为P（x）=x2,，”表叔“标记为Q（x）=1/3x3

5对“远房表叔”进行切割和叠加

在这里，为了和“表侄”一一对应，“表叔”同样把横坐标切成1000份，但不再切割成小长方形，而是像上楼梯一样，切成1000根红色的小木棍。

其中第一根小木棍因为太短而忽略掉，余下的999根小木棍（L1至L999），放到右边去叠加，首尾相连构成一条直线（即前面的例题中的“叠加法”），正好是当x=1时，Q（x）=1/3x3的函数值。

所以，L总长度≈1/3，

6“表叔”和“表侄”的一一对应

现在我们进一步分析这个图形，先来计算一个例子：

第700根小木棍的长度。

最后得到的三项中，第一项是

，第二项是

比第一项要小近千倍，第三项

比第一项要小近百万倍，所以都可以忽略，只保留第一项。

而第一项恰恰就是“表侄”的第700个小长方形的面积。

原来他们果然有关联，是亲戚关系。

这里要强调的是，只有Q（x）=1/3x3才能和P（x）=x2进行一一对应。

别的函数即使切成1000份，也无法和P（x）=x2进行一一对应，不信大家自己可以去计算，所以“表叔”是不能乱认的。

因为存在着一一对应关系，999个小长方形的求和，就可以转化为999根小木棍的求和了。

而999根小木棍的求和，我们刚才已经用“叠加法”算出来了，是1/3。

除了切成1000份外，表叔和表侄，还可以同时切成10万份，同时切成10亿份，那么前面的忽略项更加可以忽略了，表叔和表侄更加实现了一一对应。

当切割成无数份后，表叔和表侄完全的一一对应，我们可以得到确定的答案：

这个曲线围成的面积问题彻底解决。

7一一对应关系式的提出

现在，我们把这个例子理论化和公式化，以寻找普遍的规律。

在上题中，第700个小长方形和第700根小木棍一一对应，用x替代x700，用△x代替1/1000，我们就可以得到一一对应关系式了。

△x表示微小增量，趋近于零。

两个函数之间，如果存在一一对应关系式，那么就构成表叔表侄的亲戚关系，前者称做导函数，后者称为原函数。

（看不懂的话，可以参考教学视频）

8一一对应关系式的进一步表达：

牛莱公式

将一一对应关系式，换种写法，用dx来替代△x，改写成

，再引入积分符号

（表示叠加），即为牛莱公式。

可以初步理解为“小面积的叠加”，转化为“小线段的叠加”，再转化为“一次性算出”。

9一一对应关系式的变形：

导函数的定义

将一一对应关系式中的△x移到方程的右边，即可初步得到导函数的定义式。

根据导函数的定义式，就可以求出一些简单的导函数了。

12求导函数的2个例题

从这个例题，更加可以清晰的看到，为什么Q（x）=1/3x3能和P（x）=x2进行一一对应，不用再做复杂的切割图形了。

在这个例题中，可以看到求导时，遇到求不下去的情况，需要一些技巧和方法。

这里就利用了一个极限。

X很小时，SinX≈X

13导函数的意义

1,导函数可以理解为原函数点切线的斜率。

这个大家自己分析。

2重点：

导函数可以理解为原函数随自变量（x）的变化率。

为了理解这一点，我们以非常熟悉的速度定义式为例。

可以看到，速度定义式和导函数定义式其实是一样的，所以，速度是位移对时间的导函数。

3同样是一秒，速度慢的车能走10米位移，快点的车能走20米位移，更快的能走30米位移，可见速度（导函数）反应了位移（原函数）随时间（自变量）的变化率。