普通高等学校招生全国统一考试湖北卷数学试题 文 科 解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试湖北卷数学试题文科解析版
绝密*启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学
本试题卷共4页,三大题21小题,全卷满分150分,考试用时120分钟。
*祝考试顺利*
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A(或B)后的方框涂黑。
2.选择题的作答:
每小题迁出答案后,用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后。
再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:
本大题共10小题,每小5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数},则M∩N=()A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8}D{1,2,8}
1.【答案】C
【解析】因为N={x|x是2的倍数}={…,0,2,4,6,8,…},故MN={2,4,8}
所以C正确.
2.函数f(x)=3sin(x-π,x∈R的最小正周期为()
)
24
A.πB.xC.2πD.4π
2
2.【答案】D
【解析】由T=|2π|=4π,故D正确.
1
2
⎧log3x,x>0
⎩
3.已知函数f(x)=⎨2x,x≤0
1
,则f(f())=()
9
1
A.4B.
4
3.【答案】B
C.-4D-
4
【解析】根据分段函数可得f
(1)=log
9
1=-2,则
39
1
f(f())9
=f(-2)=2-2=1,
4
所以B正确.
4.用a、b、c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a∥y,b∥y,则a∥b;④若a⊥y,b⊥y,则a∥b.其中正确的是()A.①②B.②③C.①④D.③④
4.【答案】C
【解析】根据平行直线的传递性可知①正确;在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面;③中a、b还可以相交;④是真命题,故C正确.
5.函数y=的定义域为()
log0.5(4x-3)
A.(
33
1)B(
44
∞)C(1,+∞)D.(
3
1)∪(1,+∞)
4
5.【答案】A
【解析】由log0.5(4x-3)>0且4x-3>0可解得3 4 6.现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座,名每同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是() A.54 6.【答案】A B. 65 5⨯6⨯5⨯4⨯3⨯2 C. 2 D.6⨯5⨯4⨯3⨯2 【解析】因为每位同学均有5种讲座可选择,所以6位同学共有5⨯5⨯5⨯5⨯5⨯5=56种,故A 正确. 7.已知等比数列{a}中,各项都是正数,且a,1a,2a成等差数列,则a9+a10=() m1232 a+a A.1+B.1-C.3+2 7.【答案】C 78 D3-2 【解析】依题意可得: 2⨯1=a+2a ,即a=a+2a ,则有aq2=a+2aq可得 q2=1+2q,解得q=1+2或q=1-(舍) a+aaq8+aq9q2+q32 所以910 =11==q =3+2 ,故C正确 a+aaq6+aq71+q 7811 8.已知∆ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实m使得AM+AC=mAM成立,则m= A.2B.3C.4D.58.【答案】B 2 【解析】由题目条件可知,M为△ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,则AM= AD①, 3 因为AD为中线则AB+AC=2AD=mAM,即2AD=mAM②,联立①②可得m=3,故B正确. 9.若直线y=x+b与曲线y=3- 有公共点,则b的取值范围是() A.[1-2 9.【答案】D 1+2 ]B.[1- 2,3]C.[-1,1+22]D.[1-2 3] 【解析】曲线方程可化简为(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,依据数形结合,当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x-b距离等于2,解 得b=1+2 b=1+2 或b=1-22,因为是下半圆故可得 (舍),当直线过(0,3)时,解得b=3,故1-2 ≤b≤3,所以D正确. 10.记实数x1,x2,…xn中的最大数为max{x1,x2,…xn},最小数为min{x1,x2,…xn}.已知∆ABC的 a bcabc 三边边长为a、b、c(abc),定义它的倾斜度为tmax{,,}min{,,}, bcabca 则“t=1”是“∆ABC为等边三解形”的() A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件 C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 10.【答案】B 【解析】若△ABC为等边三角形时,即a=b=c,则max⎧a,b,c⎫=1=min⎧abc⎫则l=1;若△ABC ⎨bca⎬⎨,,⎬ 为等腰三角形,如a=2,b=2,c=3时, ⎩⎭⎩bca⎭ 则max⎧a,b,c⎫=3,min⎧abc⎫=2,此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以B正确. ⎨bca⎪2 ⎨,,⎬3 ⎩⎭⎩bca⎭ 二、填空题: 本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写,答错位置,书写不清,摸棱两可均不得分。 11.在(1-x2)10的展开中, 11.【答案】45 x4的系数为。 10 【解析】(1-x2)10展开式即是10个(1-x2)相乘,要得到x4,则取2个1-x2中的(-x2)相乘,其余选1,则系数为C2⨯(-x2)2=45x4,故系数为45. ⎧y≤x, 12.已知z=2x-y,式中变量x,y满足约束条件⎪x+y≥1,, ⎪x≤2, 则z的最大值为. 12.【答案】5 【解析】依题意,画出可行域(如图示),则对于目标函数y=2x-z,当直线经过A(2,-1)时,z取到最大值,Zmax=5. 13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为(用数字作答)。 13.【答案】0.9744 14 【解析】分情况讨论: 若共有3人被治愈,则P=C3(0.9)3⨯(1-0.9)=0.2916; 若共有4人被治愈,则P=(0.9)4=0.6561,故至少有3人被治愈概率P=P+P =0.9744. 212 14.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的珠(球的半么与圆柱的底面半径相同) 生解题交流 资料下载来源: 高中数学教师群: 247360252,高中数学学群: 536036395,高中数学秒杀方法群: 677837127, 后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是cm. 14.【答案】4 【解析】设球半径为r,则由3V+V =V可得3⨯4πr3+πr2⨯8=πr2⨯6r, 解得r=4. 15.已知椭圆c: x 球水柱3 x2 y21的两焦点为F,F,点P(x,y)满足00y21,则|PF|+PF|的取 212002012 值范围为,直线x0x+yy=1与椭圆C的公共点个数。 20 15.【答案】[2,22),0 【解析】依题意知,点P在椭圆内部.画出图形,由数形结合可得,当P在原点处时 (|PF1|+|PF2|)max=2,当P在椭圆顶点处时,取到(|PF1|+|PF2|)max为 2 x22 (-1)+(+1)=2,故范围为[2,22).因为(x0,y0)在椭圆+y =1的内部,则直线 x⋅x0+y⋅y 20 =1上的点(x,y)均在椭圆外,故此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为0个. 三、解答题: 本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分12分) 已经函数f(x)= cos2x-sin2x g(x)= 1sin2x-1. 224 (Ⅰ)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样变化得出? (Ⅱ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使用h(x)取得最小值的x的集合。 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、图象变换以及最值等基础知识和运算能力.(满分12分) 解: (Ⅰ)f(x)=1cos2x=1sin(2x+π=1sin2(x+π, 22224 所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移 1 π 个单位长度,再将所得的图象 4 向上平移 4 个单位长度即可. 111π1 (Ⅱ)h(x)=f(x)-g(x)= cos2x-sin2x+=cos(2x+)+. 224244 当2x+π=2kπ+z(k∈Z)时,h(x)取得最小值- 4 2+1=1-22. 244 h(x)取得最小值时,对应的x的集合为⎧x|x=kπ+3π∈Z⎫. ⎨8,k⎬ ⎩⎭ 17.(本小题满分12分) 为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况,从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位: 千克),并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示) (Ⅰ)在答题卡上的表格中填写相应的频率; (Ⅱ)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为多少; (Ⅲ)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库, 几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼,其中带有 记号的鱼有6条,请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。 17.本小题主要考查频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计等统计方法.(满分12分) 分组 频率 [1.00,1.05) 0.05 [1.05,1.10) 0.20 [1.10,1.15) 0.28 [1.15,1.20) 0.30 [1.20,1.25) 0.15 [1.25,1.30) 0.02 解: (Ⅰ)根据频率分布直方图可知,频率=组距⨯(频率/组距),故可得下表 (Ⅱ)0.30+0.15+0.02=0.47,所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47. (Ⅲ)120⨯100=2000,所以水库中鱼的总条数约为2000条. 6 18.(本小题满分12分) 如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA。 OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1 (Ⅰ)设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明: PQ⊥OA; (Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(满分12分) (Ⅰ)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N,连接CN,在△AOB 中,∠AOB=120且OA=OB,∴∠0AB=∠OBA=30。 在Rt△ AON中,∠0AN=30,∴0N=1AN。 2 在△ONB中, ∠NOB=120-90=30=∠OBN.∴NB=0N=1AN。 又 2 AB=3AQ,∴Q为AN的中点。 在△CAN中,P,Q分别为AC,AN的中点,∴PQ//CN.由OA⊥OC,OA⊥ON知: OA⊥平面CON。 又NC⊂平面CON,∴OA⊥CN.由PQ//CN,知OA⊥PQ. (Ⅱ)连结PN,PO. 由OC⊥OA,OC⊥OB知: OC⊥平面OAB。 购买1951年至今各地全部高考数学试卷及答案word版+微信“hehezmv” 又ON⊂平面OAB,∴OC⊥ON.又由ON⊥OA知: ON⊥平面AOC.∴OP是NP在平面 AOC内的射影。 在等腰Rt△COA中,P为AC的中点,∴AC⊥OP。 根据三垂线定理,知: AC⊥NP. ∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角。 在等腰Rt△COA中,OC=OA=1,∴OP=。 2 在Rt△AON中,ON=OAtan30=3, 3 ∴在Rt△PON中,PN==30, 6 2 ∴cos∠OPN=OP=2=15。 PN305 6 解法二: (Ⅰ)取O为坐标原点,以OA,OC所在的直线为x轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示)。 1 则A(1,0,0),C(0,0,1),B(- ,0)。 22 P为AC中点,∴ 11 P(,0,) 3 。 AB=(-, 3,0)。 2222 11 又由已知,可得AQ= 又 AB=(-,,0).326 11 OQ=OA+AQ=(,,0).∴PQ=OQ-OP=(0,,-). 2662 31 ∴ PQOA=(0,,-)(1,0,0)=0.故PQ⊥OA。 62 (Ⅱ)记平面ABC的法向量n=(n1,n2,n3),则由n⊥CA,n⊥AB,且CA=(1,0,-1)。 ⎧n1-n3=0, ⎪ 得⎨-3n +3n 故可取n=(1,3,1)。 =0, ⎩⎪2222 又平面OAC的法向量为e=(0,1,0)。 ∴cos 0,1,0)= 51 二面角O-AC-B的平面角是锐角,记为θ,则cosθ=15。 5 19.(本小题满分12分) 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位: m2),其中有部分旧住房需要拆除。 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同事也拆除面积为b(单位: m2)的旧住房。 (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少? (计算时取1.15=1.6) 19.本小题主要考查阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力,同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力.(满分12分) 解: (1)第1年末的住房面积a11-b=1.1a-b(m2), 10 第2年末的住房面积 (a11-b11-b=a11)2-b(1+11)=1.21a-2.1b(m2), )( 10101010 (Ⅱ)第3年末的住房面积 ⎡a(11)2-b(1+11)⎤11-b=a112-b⎡1+11+ 112⎤, ⎣⎢1010 ⎥⎦10 (10)⎢⎣ () ⎥ 1010⎦ 第4年末的住房面积 a(11)4-b⎡1+11+ 112+ 112⎤, 10⎢⎣ ()()101010⎦ ⎥ 第5年末的住房面积 a(11)5-b⎡1+11+ 112+ 112+ 114⎤ 10⎢⎣ ()()()10101010⎦ ⎥ 1-1.15 =1.1a- 1-1.1 b=1.6a-6b a 依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得b=, 20 所以每年拆除的旧房面积为 a(m2)。 20 20.(本小题满分13分) 已知一条曲线C在y轴右边,C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1。 (Ⅰ)求曲线C的方程 (Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FA·FB <0? 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。 20.本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.(满分13分) 解: (Ⅰ)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足: -x=1(x>0) 化简得y2=4x(x>0). (Ⅱ)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y2),B(x2,y2)。 ⎧x=ty+m ⎩ 设l的方程为x=ty+m,由⎨y2=4x 得y2 -4ty-4m=0,△=16(t2+m)>0, ⎧y1+y2=4t 于是⎨yy ① =-4m ⎩12 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2)。 FAFB<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0② y2 又x=,于是不等式②等价于 4 y2y2y2y2 12+y1y2-(1+2)+1<0 4444 ⇔(yy)2+-1⎡+2-⎤+< 12y1y2⎣(y1y2)2y1y2⎦10③ 164 由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2④ 对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于 m2-6m+1<0,即3-2 由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FAFB<0,且m的取值范围(3-22,3+22)。 21.(本小题满分14分) 设函数(f线方程为y=1 x)=1x3-ax2+bx+c,其中a>0,曲线y=(f 32 x)在点P(0,(f 0))处的切 (Ⅰ)确定b、c的值 (Ⅱ)设曲线y=(f x)在点(x1,(f x1))及(x2,(f x2))处的切线都过点(0,2)证明: 当x1≠x2时,f'(x1)≠f'(x2) (Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线y=(f x)的三条不同切线,求a的取值范围。 21.本小题主要考查函数的单调性、极值、导数等基本知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力。 (满分14分) 解: (Ⅰ)由f(x)=1x3-ax2+bx+c得: f(0)=c,f’(x)=x2-ax+b,f’(0)=b。 32 又由曲线y=f(x)在点p(0,f(0))处的切线方程为y=1,得到f(0)=1,f’(0)=0。 故b=0,c=1。 (Ⅱ)f(x)=1x3-ax2+1,f’(x)=x2-ax。 由于点(t,f(t))处的切线方程为 32 y-f(t)=f’(t)(x-t),而点(0,2)在切线上,所以2-f(t)=f’(t)(-t),化简得 2t3-at2+1=0,即t满足的方程为2t3-at2+1=0。 3232 下面用反证法证明。 假设f’(x1)=f'(x2)下列等式成立。 ,由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)) 及(x2,f(x2)) 处的切线都过点(0,2),则
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