命题及其关系充分条件与必要条件复习.docx
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命题及其关系充分条件与必要条件复习
考点测试2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础小题
1.命题“若a∉A,则b∉B”的否命题是( )
A.若a∉A,则b∉BB.若a∈A,则b∈B
C.若b∈B,则a∉AD.若b∉B,则a∈A
答案 B
解析 由原命题与否命题的定义知选B.
2.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( )
A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0
B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0
C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0
答案 D
解析 写逆否命题只要交换命题的条件与结论,并分别否定条件与结论即可.
3.命题“若x2+3x-4=0,则x=-4”的逆否命题及其真假性为( )
A.“若x=-4,则x2+3x-4=0”为真命题
B.“若x≠-4,则x2+3x-4≠0”为真命题
C.“若x≠-4,则x2+3x-4≠0”为假命题
D.“若x=-4,则x2+3x-4=0”为假命题
答案 C
解析 根据逆否命题的定义可以排除A,D,由x2+3x-4=0,得x=-4或1,故选C.
4.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数
答案 C
解析 在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,互为逆否的命题是成对出现的,故真命题的个数和假命题的个数都是偶数.
5.设A,B是两个集合,则“x∈A”是“x∈(A∩B)”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 如果x∈(A∩B),则x∈A且x∈B;但当x∈A,x∉B时,x∉(A∩B),所以“x∈A”是“x∈(A∩B)”的必要不充分条件,故选B.
6.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“已知a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题
答案 B
解析 对于选项A,命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故选项A为假命题;对于选项B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知选项B为真命题;对于选项C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故选项C为假命题;对于选项D,原命题为真,所以逆否命题为真,逆命题、否命题均为假,故选项D为假命题.综上可知,选B.
7.设集合M={x|0 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为集合N={x|0 8.a<0,b<0的一个必要条件为( ) A.a+b<0B.a-b>0 C. >1D. <-1 答案 A 解析 若a<0,b<0,则一定有a+b<0,故选A. 9.在等比数列{an}中,a1>0,则“a1 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 设等比数列{an}的公比为q,若a1 10.若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,则q是r的________.(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”) 答案 逆否命题 解析 由4种命题的相互关系,可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题. 11.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值围是________. 答案 [1,2) 解析 根据题意得 解得1≤x<2,故x∈[1,2). 12.设p,r都是q的充分条件,s是q的充要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的________条件,r是t的________条件.(用“充分”“必要”或“充要”填空) 答案 充分 充要 解析 由题知p⇒q⇔s⇒t,又t⇒r,r⇒q,故p是t的充分条件,r是t的充要条件. 二、高考小题 13.[2016·高考]设p: 实数x,y满足x>1且y>1,q: 实数x,y满足x+y>2,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当x>1且y>1时,x+y>2,所以充分性成立; 令x=-1,y=4,则x+y>2,但x<1,所以必要性不成立, 所以p是q的充分不必要条件.故选A. 14.[2015·高考]设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 答案 D 解析 由原命题和逆否命题的关系可知D正确. 15.[2015·高考]“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若sinα=cosα,则cos2α=cos2α-sin2α=0,所以充分性成立;若cos2α=0,则cos2α=sin2α,即|sinα|=|cosα|,所以必要性不成立,故选A. 16.[2016·高考]已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A. 17.[2016·高考]设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( ) A.充要条件B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 令x=1,y=-2,满足x>y,但不满足x>|y|;又x>|y|≥y,∴x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件. 18.[2016·高考]已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 解法一: 记g(x)=f(f(x))=(x2+bx)2+b(x2+bx) = 2- = 2- . 当b<0时,- + <0, 即当 2- + =0时,g(x)有最小值,且g(x)min=- , 又f(x)= 2- ,所以f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,都为- ,故充分性成立.另一方面,当b=0时,f(f(x))的最小值为0,也与f(x)的最小值相等.故必要性不成立.选A. 解法二: 函数f(x)=x2+bx在x=- 处取得最小值且最小值为- ; 令f(x)=t,则f(f(x))=f(t)=t2+bt ,函数f(f(x))=f(t)=t2+bt 也在t=- 处取得最小值,为保证f(t)与f(x)的最小值相等,则需满足- ≤- ,解得b≥2或b≤0,所以“b<0”是“f(f(x))与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件,故选A. 三、模拟小题 19.[2017·中原名校联考]已知p: a<0,q: a2>a,则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为綈p: a≥0,綈q: 0≤a≤1,所以綈q⇒綈p且綈p 綈q,所以綈p是綈q的必要不充分条件. 20.[2017·模拟]若p是q的充分不必要条件,则下列判断正确的是( ) A.綈p是q的必要不充分条件 B.綈q是p的必要不充分条件 C.綈p是綈q的必要不充分条件 D.綈q是綈p的必要不充分条件 答案 C 解析 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q,q p,由互为逆否命题的两命题等价可得綈q⇒綈p,綈p 綈q,∴綈p是綈q的必要不充分条件.故选C. 21.[2017·黄冈质检]设集合A={x|x>-1},B={x||x|≥1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( ) A.-1 C.x>-1D.-1 答案 D 解析 由题意可知,x∈A⇔x>-1,x∉B⇔-1 22.[2016·二练]已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m= ”是“A∩B={4}”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 A∩B={4}⇒m2+1=4⇒m=± ,故“m= ”是“A∩B={4}”的充分不必要条件. 23.[2016·五校联考]若f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f (2)=2,设P={x|f(x+t)+1<3},Q={x|f(x)<-4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数t的取值围是( ) A.t≤-1B.t>-1 C.t≥3D.t>3 答案 D 解析 P={x|f(x+t)+1<3}={x|f(x+t)<2}={x|f(x+t) (2)},Q={x|f(x)<-4}={x|f(x) 24.[2017·“江南十校”联考]已知函数f(x)= +a(x≠0),则“f (1)=1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填写) 答案 充要 解析 若f(x)= +a是奇函数,则f(-x)=-f(x), 即f(-x)+f(x)=0,∴ +a+ +a=2a+ + =0,即2a+ =0,∴2a-1=0,即a= ,f (1)= + =1.若f (1)=1,即f (1)= +a=1,解得a= .∴“f (1)=1”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.[2017·统考]已知命题p: 对数loga(-2t2+7t-5)(a>0,a≠1)有意义;q: 关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0. (1)若命题p为真,数t的取值围; (2)若命题p是命题q的充分不必要条件,数a的取值围. 解 (1)由对数式有意义得1 . (2)∵命题p是命题q的充分不必要条件,∴1 是不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0解集的真子集. 解法一: 因方程t2-(a+3)t+(a+2)=0两根为1,a+2,故只需a+2> ,解得a> . 解法二: 令f(t)=t2-(a+3)t+(a+2),因f (1)=0,故只需f <0,解得a> . 2.[2017·正定中学月考]已知条件p: |5x-1|>a和条件q: >0,请选取适当的实数a的值,分别利用所给出的两个条件作为A,B构造命题: “若A则B”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么? 并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 解 已知条件p即5x-1<-a或5x-1>a, ∴x< 或x> . 已知条件q即2x2-3x+1>0,∴x< 或x>1; 令a=4,则p即x<- 或x>1, 此时必有p⇒q成立,反之不然. 故可以选取一个实数是a=4,A为p,B为q,对应的命题是若p则q. 3.[2017·模拟]已知命题p: ≤2,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,数m的取值围. 解 解法一: 由 ≤2,得-2≤x≤10, ∴綈p: A={x|x>10或x<-2}. 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0), ∴綈q: B={x|x>1+m或x<1-m,m>0}. ∵綈p是綈q的必要而不充分条件, ∴BA⇔ 解得m≥9. 解法二: ∵綈p是綈q的必要而不充分条件, ∴q是p的必要而不充分条件, ∴p是q的充分而不必要条件. 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0). ∴q: Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}. 又由 ≤2,得-2≤x≤10, ∴p: P={x|-2≤x≤10}. ∴PQ⇔ 解得m≥9. 4.[2016·莱州一中模拟]已知集合P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}. (1)若(P∪S)⊆P,数m的取值围; (2)是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件? 若存在,求出m的取值围;若不存在,请说明理由. 解 由x2-8x-20≤0,解得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. 由|x-1|≤m,可得1-m≤x≤1+m, ∴S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)要使(P∪S)⊆P,则S⊆P. ①若S=∅,此时m<0. ②若S≠∅,此时 解得0≤m≤3. 综合①②知实数m的取值围为(-∞,3]. (2)由题意“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则S=P, 则 ∴ ∴这样的m不存在.
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- 命题 及其 关系 充分 条件 必要条件 复习