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新人教版圆全章学案
第二十四章圆
24.1圆的有关性质
24.1.1圆
预习检测
1.举出几个生活中使用圆形的例子.
2.以2cm为半径画一个圆,能画多少个?
3.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做.其固定的端点O叫做,线段OA叫做.
4.连接圆上任意两点的线段叫做,经过圆心的弦叫做.过圆内一点可以做
条弦,其中最长的弦是.
5.连接圆上任意两点间的部分叫做,简称.以A,B为端点的弧记作.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做.的弧叫优弧;的弧叫劣弧.
6.能够重合的两个圆叫.半径相等的两个圆是;反之,同圆或等圆的半径.在同圆或等圆中,能够的弧叫等弧.
问题思考
1.圆是一个“圆面”还是一个“圆周”?
确定一个圆的要素有几个?
它们分别起什么作用?
2.说说弦和直径的关系,弧和半圆的关系.
3.半径相等的圆是等圆,那么长度相等的弧是等弧么?
为什么?
4.平面内,点P到圆的最大距离是10,最小距离是2,则圆的半径是多少?
若平面内,点P到圆的最大距离是
,最小距离是
,则圆的半径是多少?
当堂检测
1.下列说法中,结论错误的是( )
A.直径相等的两个圆是等圆
B.长度相等的两条弧是等弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
2.如图24-1-1,MN为⊙O的弦,∠M=30°,则∠MON等于( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
3.如图24-1-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3.将其绕B点顺时针旋转一周,则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环.该圆环的面积为( )
A.
πB.3πC.9πD.6π
4.如图24-1-3将一个含有60°角的三角板,按图所示的方式摆放在半圆形纸片上,O为圆心,则∠ACO=度.
5.如图24-1-4,以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E,连结OD、OE,若∠A=65°,则∠DOE=度.
6.如图24-1-5,AB是⊙O直径,CD是⊙O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,
∠AEC=20°,则∠AOC的度数为.
7.如图24-1-6,A、B是⊙O上点,C、D是AB上的两点,且AC=BD,求证:
OC=OD.
24.1.2垂直于弦的直径
预习检测
1.圆是对称图形,对称轴是.
2.如图24-1-7,AB是⊙O的一条弦,沿直径CD对折,则直线AB与直线CD的关系是.
⑴图24-1-7是对称图形.其对称轴是.
⑵你能发现图中有哪些等量关系:
,
说一说你的理由.
3.如图24-1-7,已知AB为弦,
⑴若直径CD⊥AB,则有结论:
;
⑵若直径CD平分AB(AB不是直径),则有结论:
;
⑶若弦CD是AB的垂直平分线,则弦CD必过,是圆的.
问题思考
1.垂径定理是运用圆的什么性质得到的?
其中题设和结论分别有哪些?
结合这些题设和结论,你能得到哪些新的命题?
试着验证这些命题的正确性.
2.命题:
“平分弦的直径垂直于弦”是真命题吗?
如果是真命题,请说明理由;如果是假命题,请举出反例.
当堂检测
1.如图24-1-8,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是().
A.CE=DEB.
C.∠BAC=∠BADD.AC>AD
2.如图24-1-9,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,
则弦AB的长是()
A.4B.6C.7D.8
3.如图24-1-10,⊙O的半径为5mm,弦AB=8mm,则圆心O到AB的距离是()
A.1mmB.2mmC.3mmD.4mm
4.如图24-1-11,⊙O的半径OC为6cm,弦AB垂直平分OC,则AB=cm,
∠AOB=.
5.如图24-1-12,AB为⊙O的弦,∠AOB=90°,AB=a,则OA=,O点到AB的距
离=.
6.某居民小区一处圆形下水管道破裂,维修人员准备更换一段新管道,如图24-1-13所示,污水水面宽度为60cm,水面到管道顶部距离为10cm,则修理人员应准备_____cm内径的管道(内径指内部直径).
7.如图24-1-14,将半径为4cm的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为.
8.如图24-1-15,AB是⊙O的弦,P是AB上一点,若AB=10,PB=4,OP=5,求⊙O的
半径的长.
9.如图24-1-16,AB为⊙O的直径,CD为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD分别
交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由.
24.1.3弧、弦、圆心角
预习检测
1.在正三角形、正方形、各边相等时各角也相等,那么,在同一个圆中,将其分成相等的几部分(弧),这些弧所对的弦之间有何关系呢?
2.圆既是对称图形,也是对称图形,就是它的对称中心,而且把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形.
3.顶点在的角叫做圆心角.
4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦也;
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的相等,所对的相等;
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的相等,所对的相等;
问题思考
1.弧、弦、圆心角之间的关系是根据圆的什么性质得到的?
这些命题中的题设和结论分别有哪些?
结合这些题设和结论,可以得到哪些正确的命题?
2.在弧、弦、圆心角之间的关系中,“在同圆或等圆中”这个条件能否去掉?
为什么?
3.如图24-1-17,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F.
⑴如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?
为什么?
⑵如果OE=OF,那么
与
的大小有什么关系?
AB与CD的大小有什么关系?
为什么?
∠AOB与∠COD呢?
⑶根据上面的结果,你能得到哪些结论?
当堂检测
1.在同圆中,下列四个命题:
(1)圆心角是顶点在圆心的角;
(2)两个圆心角相等,它们所对的弦也相等;(3)两条弦相等,它们所对的弧也相等;(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有()A.4个B.3个C.2个D.1个
2.如图24-1-18,已知⊙O的半径OA=6,
,则
所对的弧
的长
为()
A.
B.
C.
D.
3.如图24-1-19,⊙O中,如果
=2
,那么()
A.AB=2ACB.AB=ACC.AB<2ACD.AB>2AC
4.如图24-1-20,AB为⊙O的一固定直径,它把⊙O分成上,下两个半圆,自上半圆上
一点C作弦CD⊥AB,∠OCD的平分线交⊙O于点P,当点C在上半圆(不包括A,B
两点)上移动时,点P()
A.到CD的距离保持不变B.等分
C.随C点移动而移动D.位置不变
5.如图24-1-21,AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE=.
6.如图24-1-22,A、B、C、D在⊙O上,AB=CD.求证:
∠AOC=∠DOB.
7.如图24-1-23,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的两点,且C为
的中点,若∠BAD=20°,求∠ACO的度数.
24.1.4圆周角
预习检测
1.如图24-1-23,你能分别指出⊙O中的圆周角和有圆心角吗?
若图中的∠BOC=100°,则图中的∠BAC与∠ABO分别是多少度?
2.顶点在,并且两边都与圆,我们把这样的角叫做圆周角.
3.圆周角定理:
一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的.
4.同弧和等弧所对的圆周角.半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是.
问题思考
1.圆周角与圆心角有什么区别与联系?
2.作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角.通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.
⑴一条弧所对的圆周角有多少个?
⑵同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
⑶同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系?
3.在圆周角定理中,能去掉“同圆或等圆”吗?
若把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”性质成立吗?
4.如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?
为什么?
当堂检测
1.如图24-1-25,弦AB、CD相交于E点,若∠BAC=27°,∠BEC=64°,则∠AOD等于().
A.37°B.74°C.54°D.64°
2.如图24-1-26,A、B、C三点在⊙O上,∠AOC=100°,则∠ABC等于().
A.140°B.110°C.120°D.130°
3.如图24-1-27,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是()
A.∠4<∠1<∠2<∠3B.∠4<∠1=∠3<∠2
C.∠4<∠1<∠3∠2D.∠4<∠1<∠3=∠2
4.如图24-1-28,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于()
A.100°B.110°C.120°D.130°
5.如图24-1-29,△ABC是⊙O的内接正三角形,若P是
上一点,则∠BPC=_____;若M是
上一点,则∠BMC=_____.
6.半径为2a的⊙O中,弦AB的长为
,则弦AB所对的圆周角的度数是________.
7.如图24-1-30,A、B是⊙O的直径,C、D、E都是圆上的点,则
∠1+∠2=_______.
8.如图24-1-31,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?
为什么?
24.2点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系
预习检测
1.爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛.他们把靶子钉在一面土墙上,规则是谁掷出落点离红心越近,谁就胜.如图24-2-1中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点,你认为这一轮中的成绩最好.
2.点和圆有种位置关系,分别是.
3.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆内
;点P在圆上
;点P在圆外
.
注:
符号“
”读作“等价于”,即从符号的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端.
4.平面上的一个圆,把平面上的点分成三类:
圆上的点,圆内的点和圆外的点.
圆的内部可以看成是到圆心的距离的点的集合;圆的外部可以看成是到
圆心的距离的点的集合.
5.若⊙O的半径为6,线段OP的长度为8,则点P与圆的位置关系是.
问题思考
1.探究下列问题:
⑴平面上有一点A,经过已知A点的圆有个;
⑵平面上有两点A、B,经过已知点A、B的圆有个,它们的圆心分布在
.
⑶平面上有三点A、B、C,经过A、B、C三点的圆有几个?
圆心在哪里?
由此,得出结论:
.
⑷经过三角形的三个顶点可以做个圆,这个圆叫做三角形的.
其圆心是三角形三条边的的交点,叫做这个三角形的,它到三角形
的距离相等.
2.根据上面的探究思考下列问题:
⑴经过同一条直线上的三个点能做出一个圆吗?
试着说说你的理由.
⑵一个三角形的外接圆有几个?
一个圆的内接三角形有几个?
⑶三角形的外心的位置与三角形的形状有何关系?
⑷经过任意四个点能作一个圆吗?
请举例说明.
3.到已知点O的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的所有点组成的图形是什么?
4.如图24-2-2,有A、B、C三个城市,现在想建一个电力供应站,使它到三个城市的距离相等,你认为应该建在什么地方?
当堂检测
1.下列说法正确的是().
A
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