高等数学课程内容及基本要求.docx
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高等数学课程内容及基本要求.docx
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高等数学课程内容及基本要求
高等数学课程内容及基本要求
高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。
通过本课程的学习,使学生系统的获得一元函数微积分、向量与空间解析几何、多元函数微积分、常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法,为学习物理、电工、电子等课程和以后扩大数学知识面,打好基础。
在课堂讲授的同时,辅以课堂练习与讨论,引导学生认真阅读教材,独立完成作业,逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力,掌握学习方法,培养自学能力。
高等数学是全校公共基础课,对于我校各工科专业,高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要,有着举足轻重的作用。
该课程不但是学习复变函数、概率统计、积分变换等课程的必修课,而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。
课程内容及基本要求
(一)函数、极限与连续(20学时)
内容:
函数概念、初等函数,数列极限、函数极限,无穷大与无穷小,极限存在准则、无穷小的比较,函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
基本要求
1.深刻理解函数的定义,回球函数的定义域,会用函数对应法则求函数值与复合函数,了解初等函数的构成,会建立简单应用问题的函数关系,了解隐函数与反函数的概念,了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。
2.理解数列极限的定义和几何意义,知道收敛数列有界性和保号性,掌握极限的四则运算法则及复合运算法则,会用极限存在的两个准则:
夹逼准则与单调有界准则。
3.理解函数极限、左右极限定义,掌握两个重要极限,知道函数极限存在与左右极限的关系,知道极限存在时函数的有界性、保号性,掌握极限运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
4.理解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念,会用等价无穷小求极限。
5.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,会辨别函数间断点的类型,了解闭区间上连续函数的性质(有界、最值、介值、零点)并会应用这些性质。
。
重点:
极限概念,极限的四则运算法则,利用两个重要极限求极限,函数的连续性。
难点:
极限的定义,极限存在准则。
(二)导数与微分(12学时)中值定理,罗必达法则,导数的应用。
内容:
导数概念及导数公式,复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数
的求导法则,高阶导数,函数的微分。
基本要求
1.理解导数及左右导数的定义,知道函数可导性及连续性之间的关系,理解导数的及几何意义,会求平面曲线的切线和法线方程,会用导数描述一些物理量。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,熟练应用基本求导公式和求导法则求一般函数的导数。
3.了解高阶导数的概念、求导法则,会求简单函数的阶导数,会求分段函数一阶、二阶导数。
4.理解微分的概念、微分与导数得关系,掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。
重点:
导数的定义,初等函数导数的求法(一阶及二阶)。
难点:
复合函数求导法,高阶导数的求法
(三)微分中值定理与导数的应用(16学时)
内容:
中值定理,罗必达法则,导数的应用。
基本要求
1.理解并会用罗尔(Rolle)、、拉格朗日(Lagrange)、柯西(Cauchy)、泰勒(Taylor)定理,
2.掌握洛必达法则求不定式极限的方法。
3.掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式与恒等式的方法。
4.掌握用导数求极值、最大值和最小值的方法及其方法。
5.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求水平、铅直和斜渐近线,会描绘一些简单函数的图形。
6.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。
重点:
罗尔定理,拉格朗日定理,洛必达法则,用导数判断函数的单调性及极值。
难点:
泰勒定理。
(四)一元函数积分学(28学时)
上一页
内容:
不定积分、定积分的概念与性质,换元积分法、分部积分法,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的几何应用和物理应用,广义积分。
基本要求
1.理解原函数与不定积分的概念与性质。
2.掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法。
3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
4.理解定积分的概念与性质。
5.会求变上限的积分的导数,掌握牛顿-莱布尼兹(N-L)公式。
6.掌握定积分的换元法、分部积分法,知道常用的定积分公式。
7.掌握用定积分表示和计算一些几何量和物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值)。
8.了解广义积分的概念,会计算广义积分。
重点:
不定积分、定积分的换元积分法、分部积分法,变上限函数及其求导定理,牛顿–莱布尼兹公式。
难点:
换元积分法。
(五)向量代数与空间解析几何(14学时)
内容:
空间直角坐标系与向量的运算,空间直线与平面方程,空间曲线与曲面。
基本要求
•理解空间直角坐标系、向量概念及其表示。
2.掌握向量的运算(线性运算、数量积与向量积)。
3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示式,掌握用坐标表示式进行向量运算的方法。
4.掌握平面、直线方程及其求法。
5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
6.会求两点间、点到直线、点到平面的距离。
7.知道曲面的一般方程及其图形。
8.了解常用二次曲面的方程及其图形,会求转轴是坐标轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
9.了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标面上的投影,并会求其方程。
重点:
空间直线、平面方程,常用的二次曲面方程。
难点:
曲面方程。
(六)多元函数微分学(20学时)
基本内容:
多元函数与极限,偏导数及其求导法则,全微分及其应用,微分法在的几何上的应用,方向导数与梯度,多元函数的极值、最大值与最小值。
基本要求:
1.理解多元函数的概念及二元函数的几何意义,会求多元函数的定义域。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念,了解有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解偏导数的概念及其几何意义,掌握一阶偏导数和高阶偏导数的求法,知道混合偏导数与求偏导数的顺序无关的条件。
4.理解全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变形。
5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法,了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数。
6.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
7.了解空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线的概念,会求其方程。
8.理解多元函数极值与条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件。
了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值.会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单函数的最大值和最小值,并会解一些简单的应用问题。
重点:
二元函数偏导数的概念,复合函数一阶、二阶偏导数的求法,二元函数的极值,拉格朗日乘数法。
难点:
复合函数(特别是抽象函数)、隐函数的二阶偏导数求法,方向导数与梯度的概念,拉格朗日乘数法。
(七)多元函数的积分(34学时)
内容:
二重、三重积分的概念、性质与计算,二重积分的应用。
曲线、曲面积分的概念及计算,格林公式,高斯公式,斯托克斯公式。
基本要求
1.理解二重积分、三重积分的概念,了解二、三重积分的性质与积分中值定理。
2.掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法,会计算三重积分(直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系)。
3.会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形面积、立体体积、曲面面积、薄板或立体的质心、转动惯量、引力)。
4.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两者之间的关系,掌握两类曲线积分的计算法。
5.掌握格林(Green)公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数,会解全微分方程。
6.了解两类曲面积分的概念、性质及两者之间的关系。
7.会用高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式计算曲面、曲线积分。
8.了解散度、旋度的概念,并会计算。
9.会用曲线、曲面积分计算曲线、曲面的质量、重心、转动惯量、引力、功、环流量及通量等。
重点:
二重积分和三重积分的计算方法,两类曲线、曲面积分的概念及计算,格林公式,高斯公式。
难点:
三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下的计算方法。
第二类曲线、曲面积分,高斯公式,斯托克斯公式。
(八)常微分方程(16学时)
内容:
微分方程的基本概念,一阶微分方程,可降阶的高阶微分方程,二阶常系数线性微分方程
基本要求
1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解的概念
2.掌握变量可分离的方程和一阶线性微分方程的解法。
3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换求解某些微分方程。
4.会用降阶法求解三类方程:
。
5.理解线性微分方程解的性质和解的结构,知道求特解可用试探法(试探有无型特解)。
6.掌握常系数齐次线性微分方程通解解法。
7.会解或的常系数线性非齐次微分方程。
8.了解欧拉方程
9.会用微分方程解决一些简单的应用问题。
重点:
可分离变量及一阶线性微分方程的解法,二阶常系数齐次线性微分方程解法,自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。
难点:
伯努利方程和全微分方程的解法,自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。
(九)无穷级数(22学时)
内容:
常数项级数的概念及性质,常数项级数的审敛法。
幂级数,函数展开成幂级数及应用,傅里叶级数。
基本要求
1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件。
2.掌握几何级数和级数的敛散性。
3.掌握正项级数的比较法、极限法、比值与根值判别法,交错级数的莱布尼兹判别法。
4.了解级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛于收敛的关系。
5.了解函数项级数收敛域及和函数的概念,知道幂级数的收敛半径、收敛区间,会用比值法、根值法求幂级数的收敛区间。
6.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导与逐项求积,
会求一些简单幂级数的和函数。
7.了解函数展开成幂级数的充分必要条件。
掌握的麦克劳林级数展开式,会利用这些展开式将一些简单的函数展开成幂级数。
8.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷(Dirichlet)收敛定理,会将定义在上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数或余弦级数,会写出傅里叶级数和函数的表达式。
重点:
几何级数、级数的敛散性,正项级数的比较、比值判别法,交错级数的莱布尼兹判别法,幂级数收敛半径及收敛区间的求法,函数展开成幂级数,简单的幂级数和函数的求法。
难点:
正项级数的比较判别法,用间接法将函数展开为幂级数,幂级数的和函数的求法,泰勒级数。
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