相似三角形构造相似辅助线1双垂直模型.docx

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相似三角形构造相似辅助线1双垂直模型

构造相似辅助线

（1）——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1），正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB=

，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：

MC：

NC=AP：

PB．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）

A.

B.

C.

D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D两点的坐标。

6.答案：

解：

分两种情况

第一种情况，图象经过第一、三象限

过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：

＝90°

由双垂直模型知：

△OCA∽△ADB∴

∵A（2，1），

＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB

∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1

∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3）

∴此时正比例函数表达式为：

y＝3x

第二种情况，图象经过第二、四象限

过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：

＝90°

由双垂直模型知：

△OCA∽△ADB∴

∵A（2，1），

＝45°∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB

∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2

∴D点坐标为（3，1）∴B点坐标为（3，﹣1）

∴此时正比例函数表达式为：

y＝

x

7.答案：

解：

情形一：

情形二：

情形三：

8.答案：

证明：

方法一：

连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC

根据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°

∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN

∴MC：

CN=PD：

DC∵PD=DA∴MC：

CN=DA：

DC

∵PD//BC∴DA：

DC=PA：

PB∴MC：

CN=PA：

PB

方法二：

如图，

过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E

由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则

，

根据等比性质可知

，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：

CN=PA：

PB

9.答案：

A

解题思路：

如图

过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC，又由B（1，3）

∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90°∴∠1+∠2=90°

∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3

∴△DMC∽△AND，∴

设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM＝

∴3x＋

＝3∴x＝

∴

，则

。

答案为A

10.答案：

解：

过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。

∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点

∴A（1,0），B（0,2）∴OA=1，OB=2，AB=

∵AB：

BC=1:

2∴BC=AD=

∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO

又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴

∴GB=2，GC=4∴GO=4∴C（4,4）

同理可得△ADF∽△BAO，得

∴DF=2，AF=4∴OF=5∴D（5,2）