正方形中的45度角1.docx
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正方形中的45度角1
正方形中的45度角
5.(2012江苏宿迁12分)⑴如图1,在厶ABC中,BA=BCD,E是AC边上的两点,且满
足/DBE=1/ABC(0 以点B为旋转中心,将厶BEC按逆时针方向旋转 22 /ABC得到△BEA(点C与点A重合,点E到点E'处),连接DE。 求证: DE=DE. (2)如图2,在厶ABC中,BA=BC/ABC=90,D,E是AC边上的两点, 1 且满足/DBE=丄/ABC(C° dE=A[J+eC. 2 【答案】证明: (1)•••△BEA是厶BEC按逆时针方向旋转/ABC得到, •••BE=BE/E'BA=ZEBC •••/DBE=1/ABC•/ABDfZEBC=1/ABC 22 11 •••/ABDFZE'BA=/ABC即/E'BD=/ABCE'BD玄DBE 22 在厶E'BD和^EBD中,TBE=BE/E'BD玄DBEBD=BD •••△E'BD^AEBD(SAS。 •DE=DE (2)以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针方向旋转 /ABC=90,得到△BEA(点C与点A重合,点E到点E'处),连接DE。 由 (1)知DE=DE 由旋转的性质,知E'A=EC/E'AB=ZECB 又•••BA=BC/ABC=90,BACKACB=45。 •••/E'AD=ZE'AB+ZBAC=90。 在Rt△DEA中,DE2=aD+E'A2,.・.DE^aD+eC。 【考点】旋转的性质,等腰(直角)三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。 1 【分析】 (1)由旋转的性质易得BE=BEZE'BA=/EBC由已知ZDBE=-ZABC经等量 2 代换可得 ZE'BD=/DBE从而可由SAS^#^E'BD^AEBD得到DE=DE (2)由 (1)的启示,作如 (1)的辅助图形,即可得到直角三角形DEA,根据 勾股定理即可证得结论。 2.(2012宁夏区8分)正方形ABCD勺边长为3,E、F分别是ABBC边上的点,且ZEDF=45。 将厶DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM。 (1)求证: EF=FM (2)当AE=1时,求EF的长。 【答案】解: (1)证明: •••△DAE逆时针旋转90°得到△DCM: DE=DM/EDM90。 。 •••/EDF+/FDM=90°o •••/EDF=45°,aZFDM=ZEDF=45°o •/DF=DFDEF^ADMF(SAS。 •EF=MF (2)设EF=xo •/AE=CM=1,•BF=BM-MF=BMEF=4-x。 •••EB=2,「.在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2BF^EF2,即 22(4—x)2=x2 解得,x='o 5 •EF的长为—。 2 【考点】正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理, 【分析】 (1)由旋转可得DE=DMZEDM为直角,可得出/EDFVMDF=90,由/EDF=4—,得到/MDF为45°,可得出/EDF2MDF再由DF=DF利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF (2)由 (1)的全等得到AE=CM=1正方形的边长为3,用AB-AE求出EB的长, 再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x可得出BF=BM-FM=B—EF=4-x,在RtBF中,禾U 用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为EF的长。 3.(2012广东珠海7分)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形AB'CD(此时,点B'落在对角线AC上,点A'落在CD的延长线上),AB'交AD于点E,连接AA、CE 求证: (〔)△ADA◎△CDE (2)直线CE是线段AA的垂直平分线. 【答案】证明: (1)•••四边形ABCD是正方形,•••AD=CD/ADC=90。 •丄ADE=90。 根据旋转的方法可得: /EAD=45,•/AED=45。 二AD=DE ••在△AD人’和厶CDE中,AD=CDZEDCMADA=90,AD=DE •△ADA◎△CDE(SAS。 (2)•AC=AC,a点C在AA的垂直平分线上。 •AC是正方形ABCD的对角线,•/CAE=45。 •/AC=AC,CD=CB,•••AB=AD。 ••在△AEB和厶AED中,/EAB=ZEAD,ZAEB=ZAEDAB=AD, •△AEB◎△A'ED(AAS。 •-AE=AE。 •••点E也在AA的垂直平分线上。 •直线CE是线段AA的垂直平分线。 【考点】正方形的性质,旋转的性质,等腰三角形的判定,全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定。 【分析】 (1)根据正方形的性质可得AD=CDZADC=90,/EAD=45,则/A'DE=90,再计算出/AED=45,根据等角对等边可得AD=ED即可利用SAS证明厶AACED (2)首先由AC=AC,可得点C在AA的垂直平分线上;再证明△AEB◎△AED可得AE=AE,从而得到点E也在AA的垂直平分线上,根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA的垂直平分线。 (2011湖北咸宁,22,10分) (1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求.EAF的度数. (2)如图②,在Rt△ABD中,.BAD=90,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且ZMAN=45,将△ABM绕点A逆时针旋转90至厶ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由. (3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4, GF=6,BM=3,2,求AG,MN的长. 设MN=a,则a2=(12、、2-3、2-a)2(32)2. •a=5、2.即MN=5.2.10分 【思路分析】 (1)根据正方形的每个内角是直角,利用“HL”证明△ABE◎△AGE, 1 △AFG◎△AFD,从而得出•EAFBAD; (2)利用旋转过程前后的两个图形全等,得 2 到对应边、对应角相等,从而为证明△AMNAHN做好了足够铺垫•将线段MN的长转移为HN的长,从而将三条线段集中于Rt△HDN中•(3)利用 (1)的结论求出AG的长,进 而得出BD的长.利用 (2)的结论求出MN的长. 【方法规律】 (1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时,往往将问题转化为三 角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题• (2) 当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等;(3)平移、旋转、轴对称对应 了图形的全等,里面有太多的边、角相等问题,在证明中要仔细挖掘;(3)如果一个题目有 三个问号,前面的问号往往是后面问号解决的跳板,要注意利用前面的结论及时起跳,不要 解决最后一个问号时重起炉灶,浪费时间• 【易错点分析】因为找不到/HDN=90°而无法判断三条线段的关系•第(3)问不能很好的与第 (2)问发生对接,使线段MN的长计算受阻• 【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理 【推荐指数】★★★★★ 【题型】常规题,新题,好题,难题操作题,阅读题,压轴题 (2012山东东营10分) (1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求 证: CE=CF; (2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果/GCE=45° 请你利用 (1)的结论证明: GE=BE+GD. (3)运用 (1) (2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 【答案】解: (1)证明: 在正方形 ABCD中,TBC=CD,/B=ZCDF,BE=DF, •••△CBE◎△CDF(SAS)。 /•CE=CF。 (2)证明: 如图,延长AD至F,使DF=BE.连接CF。 由 (1)知厶CBE◎△CDF, •••/BCE=/DCF。 •••/BCE+ZECD=/DCF+ZECD, 即/ECF=ZBCD=90° 又/GCE=45°a/GCF=ZGCE=45°•/CE=CF,/GCE=ZGCF,GC=GC,•••△ECG◎△FCG(SAS)。 aGE=GF, (3)如图,过C作CG±AD,交AD延长线于G. aGE=DF+GD=BE+GD。 在直角梯形ABCD中,TAD//BC,A=ZB=90°。 又/CGA=90°AB=BC, •四边形ABCD为正方形。 •AG=BC。 已知/DCE=45° 根据 (1) (2)可知,ED=BE+DG。 •10=4+DG,即DG=6。 设AB=x,贝UAE=x—4,AD=x—6, 在RtAAED中,TDE2=AD2+AE2,即卩102=(x—6)2+(x—4)2解这个方程,得: x=12或x=—2(舍去)。 •AB=12。 11 •S梯形ABCD(ADBC)AB(612)12=108。 22 •梯形ABCD的面积为108。 【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形。 【分析】 (1)由四边形是ABCD正方形,易证得厶CBECDF(SAS),即可得CE=CF。 (2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由 (1)知厶CBE◎△CDF,易证得/ ECF=/BCD=90°,又由/GCE=45°,可得/GCF=/GCE=45°,即可证得厶ECGFCG,从而可得GE=BE+GD。 (3)过C作CG丄AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由 (1) (2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在RtAAED中,由勾股定理 DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得AB的长,从而求得直角梯形ABCD的面积。 一1 23.(2010年南充市)如图,△ABC内接于OO,AD丄BC,OE丄BC,OE=BC. (1)求/BAC的度数. (2)将厶ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.求证: 四边形AFHG是正方形. (3) (3)若BD=6,CD=4,求AD的长. 答案: (1)解: 连结0B和0C. 0E丄BC,「.BE=CE. 1 0E=—BC,「./BOC=90°•••/BAC=45° 2 E1E2 D 【答案】解: (1)证明: 在正方形 ABCD中,TBC=CD,/B=ZCDF,BE=DF, •••△CBE也厶CDF(SAS)。 /•CE=CF。 (2)证明: 如图,延长AD至F,使DF=BE.连接CF。 由 (1)知厶CBE◎△CDF, •••/BCE=ZDCF。 •••/BCE+ZECD=ZDCF+ZECD, 即/ECF=ZBCD=90° 又/GCE=45°GCF=ZGCE=45° •/CE=CF,/GCE=ZGCF,GC=GC, GD •••△ECG也厶FCG(SAS)。 •GE=GF, •GE=DF+GD=BE+GD。 (3)如图,过C作CG±AD,交AD延长线于G. 在直角梯形ABCD中,•/AD//BC,•/A=ZB=90°。 又/CGA=90°AB=BC, •四边形ABCD为正方形。 •AG=BC。 已知/DCE=45° 根据 (1) (2)可知,ED=BE+DG。 •10=4+DG,即DG=6。 设AB=x,贝UAE=x—4,AD=x—6, 在RtAAED中, DE2=AD2+AE2,即卩102=(x—6)2+(x—4) 解这个方程,得: x=12或x=—2(舍去)。 •••AB=12。 11 •-S梯形abcd(ADBC)AB(6-12)12=108。 22 •梯形ABCD的面积为108。 【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形。 【分析】 (1)由四边形是ABCD正方形,易证得厶CBECDF(SAS),即可得CE=CF。 (2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由 (1)知厶CBE◎△CDF,易证得/ ECF=/BCD=90°又由/GCE=45°可得/GCF=ZGCE=45°即可证得厶ECGFCG,从而可得GE=BE+GD。 (3)过C作CG丄AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由 (1) (2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在RtAAED中,由勾股定理DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得AB的长,从而求得直角梯形ABCD的面积。 一、正方形内的45。 角 (2012福建南平4分)如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上, 将AB、AD分别和AE、AF折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1,贝UEF的长为 【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,勾股定理。 【分析】•••正方形纸片ABCD的边长为3,「./C=90°,BC=CD=3。 根据折叠的性质得: EG=BE=1,GF=DF。 设DF=x,贝UEF=EG+GF=1+x,FC=DC—DF=3—x,EC=BC—BE=3—1=2。 在RtAEFC中,EF2=EC2+FC2,即(x+1)2=22+(3—x)2,解得: x=3。 2 335 •DF=,EF=1+=。 故选Bo 222 (2009益阳市)如图",△ABC中,已知/BAC=45°,AD丄BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换, 巧妙地解答了此题• 图11 请按照小萍的思路,探究并解答下列问题: (1)分别以AB、AC为对称轴,画出△ABD、△ACD的轴对 称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于 G点,证明四边形AEGF是正方形; ⑵设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值• 【答案】 (1)证明: 由题意可得: △ABD◎△ABE,△ACD◎△ACF •••/DAB=ZEAB,/DAC=ZFAC,又/BAC=45°, •••/EAF=90° 又•••AD丄BC •••/E=ZADB=90°/F=ZADC=90° 又•••AE=AD,AF=AD •AE=AF •四边形AEGF是正方形 (2)解: 设AD=x,贝UAE=EG=GF=x •/BD=2,DC=3 •BE=2,CF=3 •-BG=x—2,CG=x—3 在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2•••(x—2)2+(x—3)2=52化简得,x2—5x—6=0解得X1=6,X2=—1(舍)所以AD=x=6 (2011湖北咸宁,22,10分) (1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求•EAF的度数. (2)如图②,在Rt△ABD中,.BAD=90,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且/MAN=45,将△ABM绕点A逆时针旋转90至厶ADH位置,连接NH,试判 断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由. (3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4, GF=6,BM=3.2,求AG,MN的长. 【答案】 (1)在Rt△ABE和Rt△AGE中,AB=AG,AE=AE, •••△ABE◎△AGE.•••NBAE=NGAE.1分 同理,.GAF=DAF. 1 •-EAFBAD=45.2分 2 (2)MN2=ND2DH2.3分 •••.BAM=DAH,BAM.DAN=45, •ZHANZDAH£DAN=45.•ZHANZMAN. 又•••AM=AH,AN二AN, •△AMN◎△AHN.•MN=HN.5分 •••.BAD=90,AB二AD,•.ABD=ADB=45. (3)由 (1)知,BE=EG,DF=FG. 设AG二x,贝UCE=x-4,CF=x-6. 222 •••CE2CF2二EF2, •(x-4)2(x-6)2=102. 解这个方程,得x1=12,x2=-2(舍去负根). •AG=12 •BD=: AB2AD2»2AG2=12..2. 在 (2)中,MN2=ND2DH2,BM=DH, 设MN=a,则a2=(12•2-3.2-a)2(3一2)2. 10分 •a=5、.2.即MN=5.2. 【思路分析】 (1)根据正方形的每个内角是直角,利用“HL”证明△ABE◎△AGE, 1 △AFG◎△AFD,从而得出.EAF=丄.BAD; (2)利用旋转过程前后的两个图形全等,得 2 到对应边、对应角相等,从而为证明△AMNAHN做好了足够铺垫•将线段MN的长转移 为HN的长,从而将三条线段集中于Rt△HDN中.(3)利用 (1)的结论求出AG的长,进 而得出BD的长.利用 (2)的结论求出MN的长. 【方法规律】 (1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时,往往将问题转化为三角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题. (2) 当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等;(3)平移、旋转、轴对称对应 了图形的全等,里面有太多的边、角相等问题,在证明中要仔细挖掘;(3)如果一个题目有 三个问号,前面的问号往往是后面问号解决的跳板,要注意利用前面的结论及时起跳,不要 解决最后一个问号时重起炉灶,浪费时间• 【易错点分析】因为找不到/HDN=90°而无法判断三条线段的关系.第(3)问不能很好的与第 (2)问发生对接,使线段MN的长计算受阻. 【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理 【推荐指数】★★★★★ 【题型】常规题,新题,好题,难题操作题,阅读题,压轴题 (2011年上海市浦东新区中考预测)已知: 正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线 BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,/EAF=45 EF、BE、DF有怎样的数量关系? (1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段并证明你的猜想• (2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动时(不包括点B、C),如图1,求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围. (3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的OE和以F为圆心以FD为半径的OF之间的位置关系. (4)当点E在BC延长线上时,设AE与CD交 于点G,如图2.问"EGF与"EFA能否相似,若能相似,求出BE的值,若不可能相似,请说明理由. 25. (1)猜想: EF=BE+DF.(1分) 证明: 将"ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得"ABF',易知点F'、B、E在一直线上.图1.(1分) •/AF'=AF, /F,E=Z1+Z3=Z2+Z3=90°-45°=45°=ZEAF, 又AE=AE, •••"AF'E也"AFE. •••EF=FE=BE+DF.(1分) (2)由 (1)得EF=x+y 又CF=1-y,EC=1-x, 2*2*2(1_y)+(1_X)=(x+y)(1分) 1_x 化简可得y=40■x: : : 1(1+1分) 1+x (3)①当点E在点B、C之间时,由 (1)知EF=BE+DF,故此时OE与OF外切;(1分) 2当点E在点C时,DF=0,OF不存在. 3当点E在BC延长线上时,将"ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得"ABF',图2. 有AF'=AF,/仁/2,BF=FD,•/F'A=90°. •/F,E=ZEAF=45°. 又AE=AE, •••"AF'E6AFE.(1分) •EF二EF=BE-BF二BE-FD•…(1分) •此时OE与OF内切.(1分) 综上所述,当点E在线段BC上时,OE与OF外切;当点E在BC延长线上时,OE与OF内切. 4)"EGF与"EFA能够相似,只要当/EFG=ZEAF=45。 即可. 这时有CF=CE.(1分) 设BE=x,DF=y,由(3)有EF=x-y. 由CE2CF^EF2,得 (x-1f十(1+yf=(x-yi X—1 化简可得y=—x1.(1分) x
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