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证明题
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE〃DF,BE=DF.求证:
△ABEM/XCDF.
•..AF=CE,FE=EF.
.-.AE=CF.
/DF//BE,
.-.ZAEB=ZCFD(两直线平行,内错角相等)
•..BE=DF
A:
AABE^ACDF(SAS)
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
连接BD;
VAB=ADBC=D
.-.ZADB=ZABDZCDB=ZABD;ffi角相加,ZADC=ZABC:
VBC=DCE\F是中点
・・・DE=BF;
・.・AB=ADDE=BF
ZADC=ZABC
AE=AFO
33.如图,在四边形ABCZ)中,E是AC上的一点,Z1=Z2,Z3=Z4,求证:
Z5=Z6.
证明:
在Z^ADC,AABC中
VAC=AC,ZBAC=ZDAC,ZBCA^ZDCA
AAADCAABC(两角加一边)
•「AB二AD,BC二CD
在ADEC与ZkBEC中
ZBCA^ZDCA,CE二CE,BC二CD
AADEC^ABEC(两边夹一角)
:
.ZDEC=ZBEC
34.已知仙〃庞,BC//EF,D,C在AF上,且ADNF,求证:
AABC#Z\DEF.
VAD=DF
・・・AC=DF
VAB//DE
・・・ZA=ZEDF
又VBC//EF
AZF=ZBCA
.•.△ABCWDEF(ASA)
35.己知:
如图,AB=AC,BD1AC,CE1AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点兄求证:
BE=CD.
证明:
VBDXAC
・・・ZBDC=90°
VCE±AB
「・ZBEC=90°
「・ZBDC=ZBEC=90°
•「AB=AC
・・・ZDCB=ZEBC
・・・BC=BC
ARtABDC^RtABEC(AAS)
・.・BE=CD
36、如图,在△ABC中,ADABAC的平分线,DELAB于E,DFLAC^Fo求证:
DE=DF.
证明:
・.・AD是ZBAC的平分线
「・ZEAD=ZFAD
VDEXAB,DF±AC
.•.ZBFD=ZCFD=90°
ZAED与ZAFD=90°
在AAED与△AFD中
ZEAD=ZFAD
AD=AD
ZAED=ZAFD
.•.AAED^AAFD(AAS)
・.・AE=AF
在ZkAEO与△AFO中
ZEAO=ZFAO
AO=AO
AE=AF
「•△AEO丝ZXAFO(SAS)
「・ZAOE=ZAOF=90°
「.AD_LEF
37.已知:
如图,AC1BC于C,Z)E_LAC于E,AZ)_LA8于A,8C=AE.若AB=5,求AO的长?
VADXAB
AZBAC=ZADE
又VAC1BC于C,DE^AC于E根据三角形角度之和等于180度AZABC=ZDAE
・.・BC=AE,AABC^ADAE(ASA)
/.AD=AB=5
38.如图:
AB=AC,MEXAB,MF±AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
VAB=AC
.,.ZB=ZC
VMEXAB,MF±AC
ZBEM=ZCFM=90°
在ABME和ZXCMF中
/ZB=ZCZBEM=ZCFM=90°ME=MF
AABME^ACMF(AAS)
.・.MB=MC.
39.如图,给出五个等量关系:
®AD=BC®AC=BD③CE=DE④ZD-ZC⑤ZDAB=ZCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
①AD=BC,@ZDAB=ZCBA
求证:
△DAB#Z\CBA
证明:
VAD=BC,ZDAB=ZCBA
又...AB=AB
AADAB^ACBA
40.在ZVIBC中,ZACB-90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD7MN于D,BELMN于E.
(1)当直线"V绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①AADC^ACEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
(1)①VZADC=ZACB=ZBEC=90°,.•.ZCAD+ZACD=90°,ZBCE+ZCBE=90°,ZACD+ZBCE=90°.
.•.ZCAD=ZBCE.VAC=BC,/.AADC^ACEB.②VAADC^ACEB,.♦.CE=AD,CD=BE..・.DE=CE+CD=AD+BE.
(2)VZADC=ZCEB=ZACB=90°,
「・ZACD=ZCBE.
又VAC=BC,
AAACD^ACBE.
・・・CE二AD,CD二BE.
「•DE二CE-CD二AD-BE
41.如图所示,己知AE±AB,AF±AC,AE=AB,AF二AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC±BF
(1)VAE±AB,AF±AC,
AZBAE=ZCAF=90°,
「・ZBAE+ZBAC=ZCAF+ZBAC,
即ZEAC=ZBAF,
在AABF和ZkAEC中,
VAE=AB,ZEAC=ZBAF,AF=AC,AAABF^AAEC(SAS),「•EC二BF;
(2)如图,根据
(1),AABF^AAEC,
「・ZAEC=ZABF,VAEXAB,
AZBAE=90°,
:
.ZAEC+ZADE=90°,
VZADE=ZBDM(对顶角相等),
AZABF+ZBDM=90°,
在ZiBDM中,ZBMD=180°-ZABF-ZBDM=180°-90°=90°,AECXBF.
42.如图:
BE±AC,
CF±AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM_LAN。
证明:
(1)
VBE±AC,CF±AB
AZABM+ZBAC=90°,ZACN+ZBAC=90°ZABM=ZACN
VBM=AC,CN=AB
「•△ABM丝ZXNAC
「•AM=AN
(2)
VAABM^ANAC
「・ZBAM=ZN
ZN+ZBAN=90°
「・ZBAM+ZBAN=90°
即ZMAN=90°
「・AM_LAN
43.如图,己知/A=ZD,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC//EF
在左ABF和左CDE中
AB=DE
ZA=ZD
AF=CD
.\AABF=ACDE(边角边)
AFB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
.・・四边形BCEF是平行四边形
ABCIIEF
44.如图,己知AC〃BD,EA、EB分别平分ZCAB和匕DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC
VZCAE=ZEAN
...AE为公共,
AACAE^AEAN
.-.ZANE=ZACE
又VAC平行BD
.•.ZACE+ZBDE=180
WZANE+ZENB=180
.•.ZENB=ZBDE
ZNBE=ZEBN
•••BE为公共边
AAEBN^AEBD
.,.BD=BN
.IAB=AN+BN=AC+BD
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE〃CF.
证明:
VAD是AABC的中线
BD=CD
•..DF=DE(已知)
ZBDE=ZFDC
AABDE^AFDC
则ZEBD=ZFCD
.•.BE〃CF(内错角相等,两直线平行)。
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE±AC,BFLAC,E,F是垂足,DE=BF.求证:
AB//CD.
证明:
VDE±AC,BF±AC
・.・ZCED=ZAFB=90°
又LAB二CD,BF=DE
・・・RtZlABFMRt/CDE(HL)
・.・AF=CE
ZBAF=ZDCE
AAB//CD
47、(10分)如图,已知Z1=Z2,Z3=Z4,求证:
AB二CD
V,Z3=Z4.*.OB=OC在左AOB和△DOC中Z1=Z2OB=OCZAOB=ZDOCAAOB^ADOC・.・AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB在AACB和ZkDBC中AC=DB,Z3=Z4BC=CBAACB^ADBCAAB=CD
48、(10分)如图,己知AC±AB,DB±AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
A
E
B
CE>DEo当ZAEB越小,则DE越小。
证明:
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且^OFB为等腰三角形。
RTABAE中,ZAEB为锐角,即ZAEB<90°
•.•DF//AE/.ZFDB=ZAEB<90°
ADFB中ZDFB=ZDBF=(180°-ZFDB)/2>45°
RTZXAFB中,ZFBA=90°-ZDBF<45°
ZAFB=90°-ZFBA>45°
.-.AB>AF
VAB=CEAF=DE
.,.CE>DE
49、(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE.
.-.ZABC=ZDCB
XVBE=CE,AB=DC
AAABE^ADCE
.,.AE=DE
50.如图9所示,AABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
ZADC=ZBDE.
图9
作CGXAB,交AD于H,
则ZACH=45。
/BCH=45°
VZCAH=90°-ZCDA,ZBCE=90°-ZCDA.-.ZCAH=ZBCE又VAC=CB,ZACH=ZB=45°
.•.△ACHWCBE,・・・CH=BEXVZDCH=ZB=45°,CD=DB.-.ACFD^ABED・.・ZADC=ZBDE
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