数学表达式解析前缀中缀后缀.docx
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数学表达式解析前缀中缀后缀
数学表达式解析(前缀、中缀、后缀)
前缀、中缀、后缀表达式
它们都是对表达式的记法,因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。
它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同:
前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前;中缀和后缀同理。
举例:
(3+4)×5-6就是中缀表达式
-×+3456 前缀表达式
34+5×6- 后缀表达式
中缀表达式(中缀记法)
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法,操作符以中缀形式处于操作数的中间。
中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式,但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的,因此计算表达式的值时,通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式,然后再进行求值。
对计算机来说,计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
前缀表达式(前缀记法、波兰式)
前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式的计算机求值:
从右至左扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(栈顶元素op次顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最左端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“-×+3456”:
(1)从右至左扫描,将6、5、4、3压入堆栈;
(2)遇到+运算符,因此弹出3和4(3为栈顶元素,4为次顶元素,注意与后缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
(3)接下来是×运算符,因此弹出7和5,计算出7×5=35,将35入栈;
(4)最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。
可以看出,用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
将中缀表达式转换为前缀表达式:
遵循以下步骤:
(1)初始化两个栈:
运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
(2)从右至左扫描中缀表达式;
(3)遇到操作数时,将其压入S2;
(4)遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
(4-1)如果S1为空,或栈顶运算符为右括号“)”,则直接将此运算符入栈;
(4-2)否则,若优先级比栈顶运算符的较高或相等,也将运算符压入S1;
(4-3)否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
(5)遇到括号时:
(5-1)如果是右括号“)”,则直接压入S1;
(5-2)如果是左括号“(”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到右括号为止,此时将这一对括号丢弃;
(6)重复步骤
(2)至(5),直到表达式的最左边;
(7)将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
(8)依次弹出S2中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下:
扫描到的元素
S2(栈底->栈顶)
S1(栈底->栈顶)
说明
5
5
空
数字,直接入栈
-
5
-
S1为空,运算符直接入栈
)
5
-)
右括号直接入栈
4
54
-)
数字直接入栈
×
54
-)×
S1栈顶是右括号,直接入栈
)
54
-)×)
右括号直接入栈
3
543
-)×)
数字
+
543
-)×)+
S1栈顶是右括号,直接入栈
2
5432
-)×)+
数字
(
5432+
-)×
左括号,弹出运算符直至遇到右括号
(
5432+×
-
同上
+
5432+×
-+
优先级与-相同,入栈
1
5432+×1
-+
数字
到达最左端
5432+×1+-
空
S1中剩余的运算符
因此结果为“-+1×+2345”。
后缀表达式(后缀记法、逆波兰式)
后缀表达式与前缀表达式类似,只是运算符位于操作数之后。
后缀表达式的计算机求值:
与前缀表达式类似,只是顺序是从左至右:
从左至右扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(次顶元素op 栈顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最右端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“34+5×6-”:
(1)从左至右扫描,将3和4压入堆栈;
(2)遇到+运算符,因此弹出4和3(4为栈顶元素,3为次顶元素,注意与前缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
(3)将5入栈;
(4) 接下来是×运算符,因此弹出5和7,计算出7×5=35,将35入栈;
(5)将6入栈;
(6)最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式:
与转换为前缀表达式相似,遵循以下步骤:
(1)初始化两个栈:
运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
(2)从左至右扫描中缀表达式;
(3)遇到操作数时,将其压入S2;
(4)遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
(4-1)如果S1为空,或栈顶运算符为左括号“(”,则直接将此运算符入栈;
(4-2)否则,若优先级比栈顶运算符的高,也将运算符压入S1(注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同,而这里则不包括相同的情况);
(4-3)否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
(5)遇到括号时:
(5-1)如果是左括号“(”,则直接压入S1;
(5-2)如果是右括号“)”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到左括号为止,此时将这一对括号丢弃;
(6)重复步骤
(2)至(5),直到表达式的最右边;
(7)将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
(8)依次弹出S2中的元素并输出,结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式(转换为前缀表达式时不用逆序)。
例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下:
扫描到的元素
S2(栈底->栈顶)
S1(栈底->栈顶)
说明
1
1
空
数字,直接入栈
+
1
+
S1为空,运算符直接入栈
(
1
+(
左括号,直接入栈
(
1
+((
同上
2
12
+((
数字
+
12
+((+
S1栈顶为左括号,运算符直接入栈
3
123
+((+
数字
)
123+
+(
右括号,弹出运算符直至遇到左括号
×
123+
+(×
S1栈顶为左括号,运算符直接入栈
4
123+4
+(×
数字
)
123+4×
+
右括号,弹出运算符直至遇到左括号
-
123+4×+
-
-与+优先级相同,因此弹出+,再压入-
5
123+4×+5
-
数字
到达最右端
123+4×+5-
空
S1中剩余的运算符
因此结果为“123+4×+5-”(注意需要逆序输出)。
编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式,并计算表达式的值。
其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式(波兰式)、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式(逆波兰式):
注:
(1)程序很长且注释比较少,但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来,还是比较容易理解的。
有耐心的话可以研究一下。
(2)此程序是笔者为了说明上述概念而编写,仅做了简单的测试,不保证其中没有Bug,因此不要将其用于除研究之外的其他场合。
[java] viewplain copy
1.package qmk.simple_test;
2.import java.util.Scanner;
3.import java.util.Stack;
4./**
5. * Example of converting an infix-expression to
6. * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN).
7. * Written in 2011-8-25
8. * @author QiaoMingkui
9. */
10.public class Calculator {
11. public static final String USAGE = "== usage ==\n"
12. + "input the expressions, and then the program "
13. + "will calculate them and show the result.\n"
14. + "input 'bye' to exit.\n";
15. /**
16. * @param args
17. */
18. public static void main(String[] args) {
19. System.out.println(USAGE);
20. Scanner scanner = new Scanner(System.in);
21. String input = "";
22. final String CLOSE_MARK = "bye";
23. System.out.println("input an expression:
");
24. input = scanner.nextLine();
25. while (input.length() !
= 0
26. && !
CLOSE_MARK.equals((input))) {
27. System.out.print("Polish Notation (PN):
");
28. try {
29. toPolishNotation(input);
30. } catch (NumberFormatException e) {
31. System.out.println("\ninput error, not a number.");
32. } catch (IllegalArgumentException e) {
33. System.out.println("\ninput error:
" + e.getMessage());
34. } catch (Exception e) {
35. System.out.println("\ninput error, invalid expression.");
36. }
37. System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):
");
38. try {
39. toReversePolishNotation(input);
40. } catch (NumberFormatException e) {
41. System.out.println("\ninput error, not a number.");
42. } catch (IllegalArgumentException e) {
43. System.out.println("\ninput error:
" + e.getMessage());
44. } catch (Exception e) {
45. System.out.println("\ninput error, invalid expression.");
46. }
47. System.out.println("input a new expression:
");
48. input = scanner.nextLine();
49. }
50. System.out.println("program exits");
51. }
52. /**
53. * parse the expression , and calculate it.
54. * @param input
55. * @throws IllegalArgumentException
56. * @throws NumberFormatException
57. */
58. private static void toPolishNotation(String input)
59. throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
60. int len = input.length();
61. char c, tempChar;
62. Stack
63. Stack
64. Stack
65. double number;
66. int lastIndex = -1;
67. for (int i=len-1; i>=0; --i) {
68. c = input.charAt(i);
69. if (Character.isDigit(c)) {
70. lastIndex = readDoubleReverse(input, i);
71. number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));
72. s2.push(number);
73. i = lastIndex;
74. if ((int) number == number)
75. expression.push((int) number);
76. else
77. expression.push(number);
78. } else if (isOperator(c)) {
79. while (!
s1.isEmpty()
80. && s1.peek() !
= ')'
81. && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {
82. expression.push(s1.peek());
83. s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));
84. }
85. s1.push(c);
86. } else if (c == ')') {
87. s1.push(c);
88. } else if (c == '(') {
89. while ((tempChar=s1.pop()) !
= ')') {
90. expression.push(tempChar);
91. s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));
92. if (s1.isEmpty()) {
93. throw new IllegalArgumentException(
94. "bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");
95. }
96. }
97. } else if (c == ' ') {
98. // ignore
99. } else {
100. throw new IllegalArgumentException(
101. "wrong character '" + c + "'");
102. }
103. }
104. while (!
s1.isEmpty()) {
105. tempChar = s1.pop();
106. expression.push(tempChar);
107. s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));
108. }
109. while (!
expression.isEmpty()) {
110. System.out.print(expression.pop() + " ");
111. }
112. double result = s2.pop();
113. if (!
s2.isEmpty())
114. throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");
115. System.out.println();
116. if ((int) result == result)
117. System.out.println("the result is " + (int) result);
118. else
119. System.out.println("the result is " + result);
120. }
121. /**
122. * parse the expression, and calculate it.
123. * @param input
124. * @throws IllegalArgumentException
125. * @throws NumberFormatException
126. */
127. private static void toReversePolishNotation(String input)
128. throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
129.
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